1c
Kurs 1c Visa detaljer
5. Vektorer
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 5
4. 

Vektorer

Vektorer är matematiska objekt som beskriver både storlek och riktning. De används inom fysik och matematik för att representera storheter som hastighet, acceleration och kraft. Vektorer kan beskrivas med koordinater, och deras längd kan beräknas med Pythagoras sats. De kan också representeras grafiskt som pilar. Vektorer kan parallellförflyttas utan att ändra sina egenskaper, och de kan beskrivas i både vågrät och lodrät form. Vektorer är skiljer sig från skalärer, vilka har storlek men ingen riktning. Ett exempel på en vektor är vindens fart och riktning.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
12 sidor teori
17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Vektorer
Sida av 12
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Vektor
  • Parallellavektorer
  • Motsatta vektorer
  • Koordinatform för vektor
  • Parallellförflyttning av vektor
  • Komposant
  • Längden av en vektor
Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis
Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten och slutpunkten brukar man namnge den och om den riktas åt andra hållet får den namnet
Teori

Parallella vektorer

Två vektorer, och sägs vara parallella om de har samma riktning eller om de har motsatta riktningar.

Fyra parallella vektorer med olika längder.
I exemplet ovan är vektorerna och alla parallella. Observera att parallella vektorer kan ha olika längd.
Teori

Motsatta vektorer

Två vektorer, och sägs vara motsatta om de har samma längd men motsatta riktningar.

Fyra vektorer. v_1 och v_2 är motsatta.
I exemplet ovan är och motsatta. Vektorerna och är inte motsatta eftersom deras riktningar inte är motsatta. Vektorerna och är inte motsatta eftersom de inte har samma längd. När två vektorer är motsatta kan den ena skrivas som den negativa av den andra.
Följande applet kan användas för att visualisera en vektor och dess motsatta vektor.
En vektor v och dess motsatta.
Exempel

Beskriver ett par vektorer

Betrakta följande par av vektorer.

a Är vektorerna parallella?
b Är vektorerna motsatta?

Ledtråd

a Parallella vektorer har samma eller motsatt riktning.
b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning.

Lösning

a Parallella vektorer har samma riktning eller motsatt riktning. Detta innebär att om de placeras tillsammans, kommer de att ligga på samma linje.

Vektorerna har motsatt riktning. Detta innebär att de är parallella.

b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning. Det konstaterades i del A att de givna vektorerna har motsatt riktning. Dock kan det ses, genom att placera dem bredvid varandra, att de inte har samma längd.

Eftersom vektorerna inte har samma längd, är de inte motsatta.

Teori

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i och led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i och led mellan start- och slutpunkten.
Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Skriv vektorerna och på koordinatform.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i och led mellan start- och slutpunkterna. För noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i led.

Skillnaden är längdenheter i led och i -led. Det innebär att koordinatformen för är Skillnaden i -led är längdenheter och i led, så koordinatformen för är

Teori

Parallellförflyttning av vektor

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i och led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av
Översättning av vektorn (3,3).
Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Teori

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät komposant och en lodrät komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn delats upp i komposanterna och

En vektor v och dess komposant vx och vy.
Exempel

Dela upp vektor i komposanter

Dela upp vektorn i komposanter.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor. Skriv en vektor för var och en av dessa förskjutningar.

Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att ändras med steg åt vänster och steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät komposant och en lodrät komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i led, dvs. steg så har koordinatformen På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i -led, dvs. steg så koordinatformen för blir

Teori

Längden av en vektor

Längden av en vektor brukar skrivas vilket utläses normen eller absolutbeloppet av Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

och komposanten av vektorn har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där är hypotenusan. Längden för kateterna är och och Pythagoras sats ger då
Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.
Exempel

Vad är vektorns längd?

Vad är längden av vektorerna och

Ledtråd

Använd formeln för en vektors längd.

Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Vektor

Vektorn är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså le.

Vektor

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln
Koordinatformen anger förändringen i och led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i och led är och så vektorn är

Längden på vektorn är också le.

Vektorer
Övningar