Logga in
| 12 sidor teori |
| 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Två vektorer, v1 och v2, sägs vara parallella om de har samma riktning eller om de har motsatta riktningar.
Två vektorer, v1 och v2, sägs vara motsatta om de har samma längd men motsatta riktningar.
Betrakta följande par av vektorer.
Vektorerna har motsatt riktning. Detta innebär att de är parallella.
Eftersom vektorerna inte har samma längd, är de inte motsatta.
Skriv vektorerna u och v på koordinatform.
Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor.
För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna. För v noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i x-led.
Skillnaden är 4 längdenheter i x-led och 2 i y-led. Det innebär att koordinatformen för u är (4,2). Skillnaden i x-led är −3 längdenheter och 1 i y-led, så koordinatformen för v är (−3,1).
En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer
som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v=(6,4) delats upp i komposanterna vx=(6,0) och vy=(0,4).
Dela upp vektorn v i komposanter.
Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor. Skriv en vektor för var och en av dessa förskjutningar.
Från startpunkt till slutpunkt ser vi att v ändras med 7 steg åt vänster och 8 steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: (−7,−8). Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant som nedan.
Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i x-led, dvs. −7 steg så yx har koordinatformen (−7,0). På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i y-led, dvs. −8 steg så koordinatformen för vy blir (0,−8).
Längden av en vektor v brukar skrivas ∣v∣, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.
Vad är längden av vektorerna u och v?
Använd formeln för en vektors längd.
Vi går igenom en vektor i taget.
Vektorn u är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså 5 le.
a=4 och b=3
Beräkna potens
Addera termer
Beräkna rot
Längden på vektorn v är också 5 le.
Alla storheter har en storlek, men endast vektorer har en riktning. Vi undersöker dem i ordning.
Varken temperatur, volym eller massa kan ha riktning. Det kan inte vara 22 ^(∘)C åt vänster
, juicens volym kan inte vara 2dl åt vänster
och din massa är inte 75kg åt vänster
. Alla tre är skalärer.
En hastighet har däremot en riktning. Du kan säga cyklistens hastighet är 30.km /h. åt vänster
. Det är därför en vektor. På liknande sätt spelar det stor roll om du drar med en kraft uppåt eller nedåt i dörrhandtaget. Därför är även kraft en vektor.
Position och avstånd kan tyckas vara samma sak, men det finns en tydlig skillnad. En apelsin kan ha positionen 1m framför dig, 1m till höger om dig osv. Oavsett var apelsinen befinner sig är avståndet till apelsinen alltid detsamma, 1m. En position anges som hur långt och åt vilket håll i förhållande till något, och är alltså en vektor. Avståndet anger däremot bara hur långt
, och är därför en skalär. Vi sammanfattar svaren i en tabell.
Storhet | Skalär/Vektor | |
---|---|---|
A | Temperatur | Skalär |
B | Volym | Skalär |
C | Massa | Skalär |
D | Hastighet | Vektor |
E | Kraft | Vektor |
F | Position | Vektor |
G | Avstånd | Skalär |
I lösningen till deluppgift A har vi funnit att alternativen A, B, C och G skalärer.
Ange vektorn på koordinatform.
Vi bestämmer skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna för vektorn.
Dessa skillnader, dvs. Δ x och Δ y, ger oss x- och y-koordinaterna för vektorn.
Startpunkt | Slutpunkt | Δ x | Δ y |
---|---|---|---|
(- 10,2) | (- 4,6) | -4 -(- 10)=6 | 6-2=4 |
Vektorn kan alltså skrivas v=(6,4).
Återigen bestämmer vi skillnaden i x- respektive y-led mellan vektorns start- och slutpunkter.
Vi får nu x- och y-koordinaten för vektorn genom skillnaderna Δ x och Δ y.
Startpunkt | Slutpunkt | Δ x | Δ y |
---|---|---|---|
(8,- 6) | (2, - 4) | 2-8=-6 | - 4-(- 6)=2 |
Vi kan alltså skriva vektorn som u=(-6,2).
Vilka vektorer är likadana?
Två vektorer är identiska om de har samma storlek och riktning. Vi ser att alla vektorer är lika långa, så de har alla samma storlek. Men vilka har samma riktning? Vi kan parallellförflytta dem för att lättare se det.
Nu ser vi att v och a är parallella, så de är lika. u och w lutar på samma sätt, men har motsatt riktning (även kallat antiparallella). De beskriver alltså inte samma vektor. Sammanfattningsvis gäller alltså v=a.
I diagrammet finns tre vektorer.
För att skriva en vektor på koordinatform bestämmer vi skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkt. Vektorern u har startpunkt i (0,0), dvs. origo, så dess koordinatform ges av slutpunktens koordinater.
Nu kan vektorns koordinatform skrivas. u=(- 9,2)
Men v börjar inte i origo, så för den måste vi bestämma skillnaden i x- och y-led.
Med denna information kan vi skriva vektorns koordinatform. v=(5,4)
Precis som i deluppgift A finner vi att w har startpunkt i (0,0). Därför bestäms dess koordinatform av slutpunktens koordinater.
Vektor w kan alltså i koordinatform skrivas som w=(7,- 6).
Kan följande beskrivas med en vektor eller en skalär?
En vektor beskriver både storlek och riktning. Kostnaden för en bil har visserligen en storlek, exempelvis 50 000 kr, men saknar riktning, Detta är alltså en skalär.
Vinden har både fart (dvs. storlek) och blåser i en riktning. Detta är därför en vektor.
Sveriges befolkning har en storlek, ca 9 miljoner men har befolkningen en riktning? Nej, en befolkning har ingen riktning så det måste vara en skalär.
Ett flygplan åker i en viss riktning. Flygresan har alltså både en storlek (farten) och riktning. Det är en vektor.
Bestäm koordinaterna för vektorerna a, b och c. Varje ruta är 1 l.e.
Koordinaterna för en vektor anger vektorns förändring i x- och y-led. Om vi börjar med att titta på a, ser vi att den rör sig 4 rutor åt höger i x-led och 1 ruta uppåt i y-led.
Vektor a:s koordinater blir alltså a=(4,1). Nu gör vi på samma sätt med de andra vektorerna. Kom ihåg att om vektorn går nedåt eller åt vänster blir koordinaten negativ.
Koordinaterna blir alltså b=(-2,-4) och c=(-2,1).
Vi ser att vi nu har vi samma vektorer igen, fast inplacerade i ett koordinatsystem. Eftersom en vektors koordinater endast beror på förändringen i 'x- och 'y-led, och inte på var vektorn är placerad, är koordinaterna identiska med dem i förra deluppgiften.
Vektorerna har alltså koordinaterna a=(4,1), b=(-2,-4) och c=(-2,1).
Vi kan även lösa uppgiften genom att parallellförflytta vektorerna till origo och avläsa koordinaterna.
Vi ser att vektorernas slutpunkter hamnar i (4,1), (-2,-4) och (-2,1). Vektorernas koordinater blir då samma, a=(4,1), b=(-2,-4) och c=(-2,1).
Rita vektorn och identifiera sedan vilket av diagrammen som representerar den.
Vektorn v=(4,2) representeras av en pil som går 4 steg åt höger på x-axeln och 2 steg uppåt på y-axeln.
Detta motsvarar alternativ C.
Vektorn w=(5,-3) representeras av en pil som går 5 steg åt höger på x-axeln och 3 steg nedåt på y-axeln.
Detta motsvarar alternativ A.
Beräkna längden av vektorn. Avrunda till två decimalers noggrannhet.
Vi använder formeln för beräkning av en vektors längd. En av koordinaterna är negativ, men formeln fungerar oavsett.
Längden på vektorn är alltså sqrt(65) le. vilket är ungefär 8.06 le.
Vi gör på samma sätt och sätter in vektorns koordinater i längdformeln.
Längden blir sqrt(89)≈ 9.43 le.
I nedanstående koordinatsystem har vektorn v ritats.
Rita komposanter vx och vy för vektorn, dvs. vektorns vågräta och lodräta komposant.
Vilken längd har vx och vy?
Vilka är komposanternas koordinater?
Komposanten i y-led börjar i startpunkten till v och går längs med y-axeln tills den når samma y-koordinat som v. Komposanten i x-led drar vi längs med x-axeln tills den når samma x-koordinat som v.
Lod- och vågräta vektorer i ett koordinatsystem är enkla att bestämma längden på, då det bara är att räkna hur många steg de går i höjd- eller sidled.
Den vågräta komposanten v_x är 6 l.e. och den lodräta komposanten v_y är 8 l.e.
Eftersom komposanterna börjar i origo kan deras koordinatform utläsas av vektorns slutpunkt. Den vågräta vektorn slutar i punkten (- 6, 0) och den lodräta slutar i (0,8) så deras koordinater blir
v_x=(- 6,0) och v_y=(0,8).