Uttryck med parenteser

I uttrycket som ska beräknas finns 8x+4y, men vi känner bara till att 2x+y=20. Om vi multiplicerar båda sidor med 4, får vi däremot veta vad 8x+4y är.

Detta sätter vi in i vårt uttryck och beräknar.

Uttryckets värde är alltså 75.

Vi utgår ifrån det vi vet, dvs. 12y+24x+6=60, och försöker får loss uttrycket 8x+4y för att sätta in det, på samma sätt som i föregående deluppgift. Om vi skriver om uttrycket så ser vi att vi kan få ut 8x+4y genom att dividera med tre.

Detta värde sätter vi in i uttrycket vi vill beräkna.

Uttryckets värde är 13.

Arean för hela kvadraten i bilden är just (a+b)^2. Vi vill undersöka om detta är lika med det som står i högerledet genom att undersöka bilden. Det kan vi göra genom att ställa upp ett uttryck för summan av de färgade områdenas olika areor, och sedan likställa detta med (a+b)^2. Denna likhet måste gälla, eftersom de representerar samma area.

Arean av de mindre områdena

Nu uttrycker vi arean för varje färgade bit för sig och summerar sedan dessa. Vi kan börja med den blå biten som är en kvadrat med sidan a, och alltså får arean a^2.

På liknande sätt kan vi uttrycka arean av de gröna bitarna som a * b=ab. Eftersom vi har två likadana kan vi uttrycka deras totala area som ab+ab=2ab.

Det röda området är en kvadrat med sidan b, vilket ger den arean b^2.

Alla färgade bitar tillsammans får då den totala arean a^2+2ab+b^2.

Slutsats

Nu har vi beräknat arean på två olika sätt. Eftersom uttrycken beskriver samma område måste de vara lika, dvs. (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2. Alltså gäller likheten.

Låt oss börja med att förenkla båda leden genom att ta bort båda parenteser. I vänsterledet kan parentesen tas bort utan vidare då den inte har något minustecken framför sig. I högerledet måste vi däremot byta tecken på alla termer inuti parentesen.

Nu har vi ett negativ tal som är lika med sin positiva motsvarighet. Det finns bara ett tal som uppfyller detta: 0. Likheten uppfylls alltså om c=0.