2. Uttryck med parenteser
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Uttryck med parenteser
Innehållet handlar om att använda parenteser inom algebra och matematik. Den förklarar hur man kan förenkla och lösa olika uttryck och ekvationer som innehåller parenteser. Det finns specifika regler för hur man hanterar plus och minus framför parenteser, och hur man multiplicerar in ett tal eller uttryck i en parentes. Sidan innehåller också exempel och lösningar som visar hur dessa regler kan användas i praktiken. Detta är användbart för studenter som vill förstå och tillämpa dessa koncept inom matematik och algebra.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Uttryck med parenteser
Sida av 9
Om uttryck innanför parenteser inte bara består av tal, utan även variabler, behöver man använda särskilda räkneregler för att förenkla dem. Dessa regler är olika beroende på om man ska addera, subtrahera eller multiplicera med parenteser.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Plustecken framför parentes
- Minustecken framför parentes
- Distributiva lagen
Förkunskaper
Teori
Plustecken framför parentes
Om en parentes ska adderas till ett uttryck kan parentesen tas bort. Termerna innanför parentesen påverkas inte.
Regel
a+(b−c)=a+b−cExempelvis kan uttrycket 3+(x−5) tolkas som 3 adderat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså adderas till 3 så man kan skriva om det som
3+(x−5)=3+x+(−5).
Detta kan förenklas med teckenreglerna för addition.
Alltså kan 3+(x−5) förenklas till 3+x−5.
Teori
Minustecken framför parentes
Om en parentes ska subtraheras från ett uttryck ska termerna i parentesen byta tecken när parentesen tas bort.
Regel
a−(b−c)=a−b+cExempelvis kan uttrycket 3−(x−5) tolkas som 3 subtraherat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså subtraheras från 3 så man kan skriva om det som
3−(x−5)=3−(+x)−(−5).
Detta kan förenklas med teckenreglerna för subtraktion.
Uttrycket 3−(x−5) förenklas till 3−x+5. Ett minustecken framför parentesen innebär alltså att termerna byter tecken när parentesen tas bort.
Exempel
Ta bort parenteser
Förenkla uttrycket 10+(x−3)−(9−2x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3x-2"]}}
Ledtråd
Ett plustecken framför parentesen låter innehållet vara som det är, medan ett minustecken kräver att alla tecken inuti parentesen vänds.
Lösning
När en parentes föregås av ett plustecken kan parentesen tas bort utan att något händer. När en parentes föregås av ett minustecken ska samtliga termer inuti parentesen byta tecken när parentesen tas bort.
10+(x−3)−(9−2x)
RemovePar
Ta bort parentes
10+x−3−(9−2x)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
10+x−3−9+2x
RearrangeTerms
Omarrangera termer
x+2x+10−3−9
SimpTerms
Förenkla termerna
3x−2
Teori
Distributiva lagen
Distributiva lagen används när man multiplicerar in ett tal eller uttryck, t.ex. 7 eller 5x, i en parentes. Det multipliceras då med alla termer inuti parentesen.
Om två parenteser multipliceras ihop använder man den s.k. utvidgade distributiva lagen.
Exempel
Multiplicera in i parentes
Förenkla uttrycket 4(3−7x+y) genom att multiplicera in 4.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["12-28x+4y"]}}
Ledtråd
Använd distributiva lagen.
Lösning
När man multiplicerar in fyran ska den multipliceras med alla termer inuti parentesen.
När man multiplicerat in 4 får man alltså 12−28x+4y.
Övning
Öva på att förenkla uttryck
Förenkla det givna algebraiska uttrycket genom att följa de regler som diskuterades i lektionen. Kom ihåg att multiplicera en variabel med sig själv resulterar i kvadraten av variabeln. Den kvadrerade variabeln kan skrivas som a2, b2, c2 eller x2.
Regel
Utvidgade distributiva lagen
Utvidgade distributiva lagen används när man multiplicerar ihop parenteser. Alla termer i ena parentesen multipliceras då med alla termer i den andra.
Övning
Multiplicera termer med parentes
Förenkla det givna algebraiska uttrycket.
Uttryck med parenteser
Övningar
Förenkla uttrycket så långt som möjligt.
2a(a+35a)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4a^2}{3}"]}}
ba(b1+2b1+21)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["b"],"constants":["a"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{3a+ab}{2b^2}"]}}
43a(4+2a)+32(34x−65x)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["a"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3a+\\dfrac{3a^2}{8}+\\dfrac{x}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
När vi multiplicerar in a2 i parentesen ska termen multipliceras med båda termer.
För att addera bråken behöver vi hitta en gemensam nämnare. Vi förlänger första bråket med 3 så att nämnaren blir 6 och kan därefter addera bråken.
Vi multiplicerar ab med de tre bråken inuti parentesen och förenklar uttrycket.
För att addera bråken behöver vi hitta en gemensam nämnare. Vi förlänger första bråket med 2 och det sista med b så att nämnaren blir 2b^2.
Multiplicera först in bråken i parenteserna och förenkla sedan.
Oftast vill man svara med bråk på sin enklaste form så vi förkortar dem.
security
report
code
Förenkla uttrycket.
−(4−(7+y)−(y−(x+3)))
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2y-x"]}}
security
report
code
security
report
code
Här finns det många parenteser. Vi börjar inifrån och tar bort parentesen runt x+3.
Nu tar vi bort de innersta parenteserna. Båda har minustecken framför så tecknen ändras för termerna innanför.
security
report
code
Inköpspriset för två olika sorters hårspray är 60 kr/st. respektive 70 kr/st. Ställ upp ett uttryck för det totala inköpspriset för totalt 50 st. burkar givet att det köpts in x st. av sorten som kostar 60 kr/st.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3500-10x"]}}
security
report
code
security
report
code
För att ställa upp ett uttryck för det totala inköpspriset måste vi veta hur många burkar av varje sort som köpts in samt vad de kostar per burk. Den enda informationen vi saknar är antalet 70 kr-burkar. Men eftersom vi vet att det köpts in 50 burkar totalt samt x st. 60 kr-burkar kan antalet 70 kr-burkar uttryckas (50-x)st. Vi multiplicerar inköpspriset för respektive spray-sort med antalet som köpts in för att ta reda på inköpspriset för varje sort. &Pris60kr-burkar: 60x 0.33em] &Pris70kr-burkar: 70(50-x) Nu summerar vi dessa uttryck samt förenklar genom att multiplicera in 70 i parentesen och förenkla termer.
Det totala inköpspriset kan alltså beskrivas av uttrycket 3500-10x.
security
report
code
Ett pappersföretag producerar gula, blå och röda pappersark i olika tjocklekar. På ett dygn producerar de x st. gula papper samt dubbelt så många blå papper och hälften så många röda papper som gula. Ställ upp och förenkla ett uttryck som beskriver det totala antalet producerade papper på ett skottår, givet att y dygn är produktionsfria.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1281x-\\dfrac{7xy}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Totala antalet papper på ett skottår får vi genom att multiplicera antalet dygn där produktionen är igång med antalet papper som produceras på 1 dygn. Antalet dygn med produktion får vi genom att subtrahera antalet produktionsfria dygn, y, från antalet dygn på ett skottår, dvs. 366: 366-y. Nu ställer vi upp ett uttryck för antalet papper som produceras på 1 dygn. Vi vet att företaget gör x gula papper per dygn. Dessutom vet vi att antalet blå papper är dubbelt så många som antalet gula, dvs. 2x, samt att antalet röda papper är hälften av antalet gula, alltså x2. Summan av dessa ger oss det totala antalet papper på 1 dygn: x+2x+x/2. Vi förenklar uttrycket innan vi går vidare.
Totala antalet producerade papper på 1 dygn kan alltså förenklat skrivas 7x2. Nu multiplicerar vi detta med antalet dygn där produktion är igång: 7x/2*(366-y). Till sist förenklar vi detta uttryck genom att multiplicera in 7x2 i parentesen.
Totala antalet papper som produceras på fabriken under ett skottår kan alltså beskrivas av uttrycket 1281x-7xy/2.
security
report
code
Celeste ska åka på sommarläger. Tabellen nedan visar kostnaden för de saker hon behöver köpa med lägrets logotyp.
| Artikel | Kostnad (kr) |
| T-shirt | 120,00 |
| Shorts | 90,00 |
| Strumpor | 45,00 |
ABCD4(255,00)4(120,00)+4(90,00)+4(45,00)4(120,00)+90,00+45,004(120,00+90,00+45,00)
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Enligt den givna tabellen kostar en T-shirt 120,00 kr, ett par shorts kostar 90,00 kr, och ett par strumpor kostar 45,00 kr. Vi vet att Celeste behöver köpa 4 av varje vara. Med hjälp av denna information kan vi skriva ett uttryck som representerar den totala kostnaden i dollar för dessa varor. 4( 120,00+ 90,00+ 45,00) Lägg märke till att vi fick uttrycket från alternativ D. Vi kan utvärdera detta uttryck för att hitta den totala kostnaden för varorna. Om vi börjar med att utföra additionen inom parenteserna får vi uttrycket från alternativ A. 4(120,00+90,00+45,00) = 4(255,00) Vi kan dock förenkla vårt uttryck genom att använda den distributiva lagen. På så sätt får vi uttrycket från alternativ B. 4(120,00+90,00+45,00) = 4(120)+4(90,00)+4(45,00) Detta innebär att uttrycken från alternativen A, B och D är ekvivalenta och representerar den totala kostnaden för varorna. Nu ska vi kontrollera om uttrycket från alternativ C representerar den totala kostnaden. För att göra detta kan vi utvärdera detta uttryck och jämföra resultatet med värdet av de andra tre uttrycken.
| Alternativ | Utvärdera |
|---|---|
| A | 4(255)=1 020 |
| B | 4(120,00)+4(90,00)+4(45,00)=480+360+180=1 020 |
| C | 4(120,00)+90,00+45,00=480+90,00+45,00=615,00 |
| D | 4(120,00+90,00+45,00)=4(255)=1 020 |
Vi kan se att uttrycket från alternativ C inte är ekvivalent med de andra tre uttrycken. Detta innebär att det inte kan användas för att hitta den totala kostnaden för varorna. Därför är det rätta alternativet C.
security
report
code
Fyll i de saknade tecknen eller siffrorna. Skriv ett ekvivalent uttryck till 8k−(5+2k) utan parenteser. Förenkla sedan.
8k−(5+2k)=8k◯5◯2k=8k◯2k◯5=abk◯5
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["k"],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":false,"numinput":6,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-","-","-","-","6k","-"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill skriva om följande uttryck utan parenteser och förenkla. 8k-(5+2k) För att ta bort parenteser, låt oss börja med att skriva om subtraktionen som addition och multiplicera - 1 med termerna i parenteserna med hjälp av den distributiva lagen.
Därefter kommer vi att använda den kommutativa och associativa lagen för att ordna om och gruppera liknande termer.
Slutligen kan vi fylla i luckorna i övningen. 8k-(5+2k) & = & 8k - 5 - 2k & = & 8k - 2k - 5 & = & 6 k - 5
security
report
code
Uttryck med parenteser
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll