Uttryck med parenteser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om uttryck innanför parenteser inte bara består av tal, utan även variabler, behöver man använda särskilda räkneregler för att förenkla dem. Dessa regler är olika beroende på om man ska addera, subtrahera eller multiplicera med parenteser.
Regel

Plustecken framför parentes

Om en parentes ska adderas till ett uttryck kan parentesen tas bort. Termerna innanför parentesen påverkas inte.

Regel

a+(bc)=a+bca+(b-c)=a+b-c


Exempelvis kan uttrycket 3+(x5)3+(x-5) tolkas som 3 adderat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså adderas till 3 så man kan skriva om det som 3+(x5)=3+x+(-5). 3+(x-5)=3+x+(\text{-} 5). Detta kan förenklas med teckenreglerna för addition.

3+x+(-5)3+x+(\text{-} 5)
3+x53+x-5

Alltså kan 3+(x5)3+(x-5) förenklas till 3+x5.3+x-5.

Regel

Minustecken framför parentes

Om en parentes ska subtraheras från ett uttryck ska termerna i parentesen byta tecken när parentesen tas bort.

Regel

a(bc)=ab+ca-(b-c)=a-b+c

Exempelvis kan uttrycket 3(x5)3-(x-5) tolkas som 3 subtraherat med hela parentesen. Varje term innanför parentesen ska alltså subtraheras från 33 så man kan skriva om det som 3(x5)=3(+x)(-5). 3-(x-5)=3-(+x)-(\text{-} 5). Detta kan förenklas med teckenreglerna för subtraktion.

3(+x)(-5)3-(+x)-(\text{-} 5)
3x(-5)3-x-(\text{-} 5)
3x+53-x+5

Uttrycket 3(x5)3-(x-5) förenklas till 3x+5.3-x+5. Ett minustecken framför parentesen innebär alltså att termerna byter tecken när parentesen tas bort.

Uppgift

Förenkla uttrycket 10+(x3)(92x).10+(x-3) -(9-2x).

Lösning

När en parentes föregås av ett plustecken kan parentesen tas bort utan att något händer. När en parentes föregås av ett minustecken ska samtliga termer inuti parentesen byta tecken när parentesen tas bort.

10+(x3)(92x)10+(x-3) -(9-2x)
10+x3(92x)10+x-3 -(9-2x)
10+x39+2x10+x-3 -9+2x
x+2x+1039x+2x+10-3-9
3x23x-2
Visa lösning Visa lösning
Regel

Distributiva lagen

Distributiva lagen används när man multiplicerar in ett tal eller uttryck, t.ex. 7 eller 5x5x, i en parentes. Det multipliceras då med alla termer inuti parentesen.

Law of distr 1a.svg
Om två parenteser multipliceras ihop använder man den s.k. utvidgade distributiva lagen.
Uppgift

Förenkla uttrycket 4(37x+y)4(3-7x+y) genom att multiplicera in 4.

Lösning

När man multiplicerar in fyran ska den multipliceras med alla termer inuti parentesen.

4(37x+y)4(3-7x+y)
4347x+4y4\cdot3-4\cdot7x+4\cdot y
1228x+4y12-28x+4y

När man multiplicerat in 4 får man alltså 1228x+4y12-28x+4y.

Visa lösning Visa lösning


Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla de algebraiska uttrycken.

a

3x+(42y)7+6y3x + (4 - 2y) - 7 + 6y

b

3y2+2x(5y+2x)+13y^2 + 2x - (5y + 2x) + 1

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera in faktorn som står utanför parentesen och förenkla.


a

7(5a+2b)7(5a + 2b)

b

4x(8x3y+2)4x(8x - 3y + 2)

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande uttryck.


a

-5y(y3)\text{-} 5y(y-3)

b

2t+43t(t+8)2t+4-3t(t+8)

c

9x+10(0.2x+1.3y)13y9x+10(0.2x+1.3y)-13y

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man har uttrycket 14(3x+9).14-(3x+9).


a

Förenkla uttrycket genom att använda reglerna för att ta bort parenteser.

b

Förenkla uttrycket genom att först skriva om det till 14+(-1)(3x+9)14+(\text{-} 1)(3x+9) och multiplicera in (-1).(\text{-} 1). Jämför resultaten.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken.

a

7x3x(x+8x)7x-3x-(x+8x)

b

7x(3xx)+8x7x-(3x-x)+8x

c

7x(3xx+8x)7x-(3x-x+8x)

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arthur har fått uppgiften att förenkla uttrycket 4(3x+2)+84(3x+2)+8 och fått svaret 3x+4.3x+4. Vad kan ha gått fel?

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Multiplicera in och förenkla uttrycken så långt det går.


a

4(2y3)+(y6)34(2y-3)+(y-6)\cdot3

b

3(4x+10y)6\dfrac{3(4x+10y)}{6}

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en verktygslåda finns det xx st. skruvmejslar och yy st. skiftnycklar. Ställ upp ett uttryck som beskriver antalet skruvmejslar och skiftnycklar i 8080 st. verktygslådor. Svara med en summa.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken så långt som möjligt.


a

a2(a+5a3)\dfrac{a}{2}\left(a+\dfrac{5a}{3}\right)

b

ab(1b+12b+12)\dfrac{a}{b}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2}\right)

c

3a4(4+a2)+23(4x35x6)\dfrac{3a}{4}\left(4+\dfrac{a}{2}\right)+\dfrac23\left(\dfrac{4x}{3}-\dfrac{5x}{6}\right)

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket -(4(7+y)(y(x+3))).\text{-}(4-(7+y)-(y-(x+3))).

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Inköpspriset för två olika sorters hårspray är 6060 kr/st. respektive 7070 kr/st. Ställ upp ett uttryck för det totala inköpspriset för totalt 5050 st. burkar givet att det köpts in xx st. av sorten som kostar 6060 kr/st.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett pappersföretag producerar gula, blå och röda pappersark i olika tjocklekar. På ett dygn producerar de xx st. gula papper samt dubbelt så många blå papper och hälften så många röda papper som gula. Ställ upp och förenkla ett uttryck som beskriver det totala antalet producerade papper på ett skottår, givet att yy dygn är produktionsfria.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I elektronik finns det elektriska kretsar, vilka består av elektroniska komponenter sammankopplade av elektriska ledningar. Två exempel på komponenter är batterier, som tillför ström till kretsen, och resistorer, som utgör hinder för strömmens rörelse i kretsen. Nedan beskrivs två olika sätt att koppla ihop komponenter.

Seriekoppling
Om flera komponenter i en elektrisk krets är anslutna direkt efter varandra säger man att de är seriekopplade. Det gäller t.ex. för komponenterna i följande krets, som består av ett batteri och fem resistorer.

Resistorers resistans, eller motstånd, mäts i enheten Ohm (Ω\Omega) och den totala resistansen, R,R, av de seriekopplade resistorerna i figuren beräknas med formeln R=R1+R2+R3+R4+R5. R=R_1+R_2+R_3+R_4+R_5.
Parallellkoppling
Om komponenterna istället är anslutna parallellt med varandra säger man att de är parallellkopplade, t.ex. som resistorerna i följande krets.

Det totala motståndet, R,R, för resistorerna i den parallellkopplad kretsen ovan beräknas med formeln 1R=1R1+1R2. \dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}.
Krets med både parallellkopplingar och seriekopplingar
I följande figur visas en elektrisk krets med en kombination av seriekopplade och parallellkopplade resistorer. För att bestämma totala motståndet för kretsen beräknar man först motståndet för de parallellkopplade resistorerna. Sedan kan man se dessa kopplingar som seriekopplade med övriga resistorer.

Lös följande uppgifter baserat på denna krets.

a

Skriv ett förenklat uttryck för det totala motståndet i kretsen.

b

Beräkna kretsens totala motstånd givet att resistorerna har följande motstånd. R1:150 ΩR2:220 ΩR3:120 ΩR4:330 Ω\begin{aligned} R_1:150\ \Omega\quad R_2:220\ \Omega\\[0.1em] R_3:120\ \Omega\quad R_4:330\ \Omega \end{aligned} Avrunda till en decimal.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet av uttrycket 8x+4y58x+4y-5 om du vet att


a

2x+y=20.2x+y=20.

b

12y+24x+6=60.12y+24x+6=60.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För att multiplicera ihop två likadana parenteser med två termer brukar man använda sig av första kvadreringsregeln som säger att (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2.(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2. Visa med hjälp av areaberäkningar i nedanstående figur att denna regel stämmer.

Exercise559 1.svg
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under vilka omständigheter gäller likheten (ab)c=a(bc)? (a-b)-c=a-(b-c)?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}