{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
close expand
Integraler som modeller

Sannolikhetsfördelningar

En sannolikhetsfördelning beskriver hur sannolikheterna för olika händelser är fördelade i ett utfallsrum. För en vanlig sexsidig tärning där alla utfall är lika sannolika, kan man illustrera fördelningen som staplar med höjden

Fördelningar där alla sannolikheter är lika stora kallas likformiga. Låt säga att de sidor på tärningen som har fem och sex prickar istället får fyra prickar var. Då är sannolikhetsfördelningen inte likformig.

Båda dessa fördelningar är diskreta eftersom utfallen, dvs. heltalen 1 till 6 respektive 1 till 4, är diskreta. Men sannolikhetsfördelningar kan även vara kontinuerliga, t.ex. när utfallet är en tid.

Begrepp

Täthetsfunktion

En täthetsfunktion är en funktion f(x) som beskriver hur sannolikheten för något fördelas över tid eller något annat kontinuerligt utfallsrum. Funktionsvärdena anger inte direkt sannolikheten för en specifik händelse, utan funktionen används för att bestämma sannolikheten att man får ett utfall inom ett visst intervall, axb. Det gör man med integralen
Inga sannolikheter kan vara negativa vilket innebär att täthetsfunktioner inte heller kan anta negativa värden. Därför kan integralen tolkas som arean under kurvan till täthetsfunktionen mellan x-värdena a och b. Om man integrerar täthetsfunktionen över alla reella tal, alltså från till får man att
eftersom sannolikheten att hamna någonstans i utfallsrummet är 1.

Exempel

Bestäm sannolikheten med hjälp av täthetsfunktionen

fullscreen
Företaget C-3PilO AB som tillverkar pilkastningsrobotar har nyss byggt en ny prototyp, R2-Pil2. När man låter R2-Pil2 kasta mot en piltavla följer pilarnas avstånd i cm från tavlans mittpunkt täthetsfunktionen
Piltavlan är indelad i olika zoner med hjälp av cirklar med radierna 1,2,3 och 4 cm. Hur stor är sannolikheten att en pil träffar den näst innersta zonen?
Visa Lösning expand_more
Den näst innersta zonen är det område då avståndet från mittpunkten är mellan 1 och 2 cm. Alltså ska vi beräkna sannolikheten att avståndet mellan en pil och mittpunkten är mellan 1 och 2: P(1<r<2). Eftersom vi har täthetsfunktionen given kan vi beräkna den sökta sannolikheten med hjälp av integralen
För intervallet 1<r<2 gäller att Vi bestämmer först en primitiv funktion till f(r) för att beräkna integralen.
Vi är nu redo att beräkna integralen.
Beräkna
Sannolikheten att en pil träffar den näst innersta zonen är alltså

Begrepp

Likformig sannolikhetsfördelning

Om en sannolikhetsfördelning är likformig är alla utfall lika sannolika. Två fördelningar som ofta beskrivs som likformiga är numret som fås vid en lottdragning och vilken tid på dygnet en person är född. För en lottdragning med 30 nummer kan sannolikheten beskrivas av
där x är en händelse i utfallsrummet Summan av alla möjliga sannolikheter är 1 eftersom sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 1. Om man anger födelsetid i x antal timmar efter midnatt fås den kontinuerliga täthetsfunktionen

Exempel

Ställ upp en integral för att beräkna sannolikheten

fullscreen

Ställ upp en integral som kan användas för att beräkna sannolikheten att man slumpmässigt väljer ett tal mellan 0.2 och 0.65 på en tallinje som går från 0 till 1.

Visa Lösning expand_more
För att kunna ställa upp denna integral måste vi först bestämma täthetsfunktionen som beskriver sannolikhetsfördelningen. Varje tal mellan 0 och 1 är lika sannolikt, och man kan inte välja några andra tal — därför är sannolikhetsfördelningen likformig. Om vi kallar täthetsfunktionen f(x) måste det därför gälla att
samt att funktionsvärdet är samma så länge x är mellan 0 och 1. Vi vet då att
för någon konstant a. Vi kan rita upp f(x).
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Integralen mellan 0 och 1 har värdet 1 och motsvarar arean 1a under kurvan. Det här ger oss att a=1. Täthetsfunktionen är alltså
I intervallet 0.2x0.65 har funktionen alltid värdet 1. Den sökta integralen blir därför

Begrepp

Exponentialfördelning

Om en sannolikhetsfördelning kan beskrivas av täthetsfunktionen
där k>0, säger man att fördelningen är exponentiell. Till höger om y-axeln följer grafen en vanlig exponentialkurva och är därför relativt enkel att integrera. Till vänster är den 0.
Fenomen som förenklat kan beskrivas av en exponentialfördelning är t.ex. hur lång tid det går innan nästa gång man ser en Jeep och livslängden hos en glödlampa. Exponentialfördelningen är också tätt sammankopplad med sönderfall av radioaktiva preparat och man använder den för att bestämma bl.a. halveringstider.
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community