Sannolikhetsfördelningar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En sannolikhetsfördelning beskriver hur sannolikheterna för olika händelser är fördelade i ett utfallsrum. För en vanlig sexsidig tärning där alla utfall är lika sannolika, 1/6,1/6, kan man illustrera fördelningen som staplar med höjden 1/6.1/6.

Fördelningar där alla sannolikheter är lika stora kallas likformiga. Låt säga att de sidor på tärningen som har fem och sex prickar istället får fyra prickar var. Då är sannolikhetsfördelningen inte likformig.

Båda dessa fördelningar är diskreta eftersom utfallen, dvs. heltalen 11 till 66 respektive 11 till 4,4, är diskreta. Men sannolikhetsfördelningar kan även vara kontinuerliga, t.ex. när utfallet är en tid.
Begrepp

Täthetsfunktion

En täthetsfunktion är en funktion f(x)f(x) som beskriver hur sannolikheten för något fördelas över tid eller något annat kontinuerligt utfallsrum. Funktionsvärdena anger inte direkt sannolikheten för en specifik händelse, utan funktionen används för att bestämma sannolikheten att man får ett utfall inom ett visst intervall, axb.a \leq x \leq b. Det gör man med integralen P(axb)=abf(x)dx. P(a \leq x \leq b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \, \text d x . Inga sannolikheter kan vara negativa vilket innebär att täthetsfunktioner inte heller kan anta negativa värden. Därför kan integralen tolkas som arean under kurvan till täthetsfunktionen mellan xx-värdena aa och b.b. Om man integrerar täthetsfunktionen över alla reella tal, alltså från -\text{-} \infty till ,\infty, får man att P(-<x<)=-f(x)dx=1 P(\text{-} \infty \lt x \lt \infty) = \displaystyle\int_{\text{-} \infty}^{\infty}f(x) \, \text d x = 1

eftersom sannolikheten att hamna någonstans i utfallsrummet är 11.
Uppgift

Företaget C-3PilO AB som tillverkar pilkastningsrobotar har nyss byggt en ny prototyp, R2-Pil2. När man låter R2-Pil2 kasta mot en piltavla följer pilarnas avstånd i cm från tavlans mittpunkt täthetsfunktionen f(r)={r18,0r60,annars. f(r) = \begin{cases}\dfrac{r}{18}, & 0 \leq r \leq 6 \\ 0, & \text{annars.}\end{cases} Piltavlan är indelad i olika zoner med hjälp av cirklar med radierna 1,2,3 och 41, 2, 3 \text{ och }4 cm. Hur stor är sannolikheten att en pil träffar den näst innersta zonen?

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Likformig sannolikhetsfördelning

Om en sannolikhetsfördelning är likformig är alla utfall lika sannolika. Två fördelningar som ofta beskrivs som likformiga är numret som fås vid en lottdragning och vilken tid på dygnet en person är född. För en lottdragning med 3030 nummer kan sannolikheten beskrivas av P(x)=130 P(x) = \dfrac{1}{30} där xx är en händelse i utfallsrummet {1,2,,30}.\{1,2,\ldots,30\}. Summan av alla möjliga sannolikheter är 11 eftersom sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 11. Om man anger födelsetid i xx antal timmar efter midnatt fås den kontinuerliga täthetsfunktionen

f(x)={124,0x<240,annars. f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{24}, & 0 \leq x < 24 \\ 0, & \text{annars.}\end{cases}
Uppgift

Ställ upp en integral som kan användas för att beräkna sannolikheten att man slumpmässigt väljer ett tal mellan 0.20.2 och 0.650.65 på en tallinje som går från 00 till 1.1.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentialfördelning

Om en sannolikhetsfördelning kan beskrivas av täthetsfunktionen f(t)={ke-kt,t00,annars, f(t)=\begin{cases}k\cdot e^{\text{-} kt}, \quad t\geq 0 \\ 0, \quad \qquad \,\text{annars,} \end{cases} där k>0,k>0, säger man att fördelningen är exponentiell. Till höger om yy-axeln följer grafen en vanlig exponentialkurva och är därför relativt enkel att integrera. Till vänster är den 0.0.

Fenomen som förenklat kan beskrivas av en exponentialfördelning är t.ex. hur lång tid det går innan nästa gång man ser en Jeep och livslängden hos en glödlampa. Exponentialfördelningen är också tätt sammankopplad med sönderfall av radioaktiva preparat och man använder den för att bestämma bl.a. halveringstider.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Datorspelsdesignern Danesh har bestämt sig för att hur högt karaktärerna i hennes spel hoppar ska slumpas vid varje hopp, för att göra spelet mer verklighetstroget. Täthetsfunktionen hon valt att karaktärernas hopphöjd ska följa är f(x)={1xln(2),30x600,annars, f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x \ln(2)}, & 30 \leq x \leq 60 \\ 0, & \text{annars,} \end{cases} där xx är höjden mätt i cm.

a

Bestäm en primitiv funktion till f(x)f(x) som gäller i intervallet 30<x<60.30 < x < 60.

b

Bestäm värdet av integralen av f(x)f(x) mellan x=30x = 30 och x=45.x = 45.

c

Tolka resultat i deluppgift B.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kattgodis placeras i ett rum med katter. Sannolikheten att kattgodisen äts upp fördelas över tid enligt täthetsfunktionen f(t)=0.8e-0.8t, f(t)=0.8\cdot e^{\text{-}0.8t}, där tt är tiden i sekunder efter att godisen lagts ut.

a
Beräkna sannolikheten att kattgodisen äts upp inom 33 sekunder. Svara i hela procent.
b
Utan att beräkna den, tolka följande integral och avgör vilket värde den borde ha.

00.8e-0.8tdt \displaystyle\int_{0}^{\infty}0.8\cdot e^{\text{-}0.8t} \, \text d t

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En isotop av det högst verkliga och inte alls påhittade ämnet tinium har halveringstiden T=139T = 139 dagar. Bestäm sannolikheten att en atom tinium har sönderfallit efter 300300 dagar om täthetsfunktionen för livslängden av en atom är f(x)=ln(2)Teln(2)x/T, f(x) = \dfrac{\ln(2)}{T} \cdot e^{-\ln(2) \cdot x / T} \,, där xx mäts i dagar. Svara i hela procent.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas grafen till täthetsfunktionen f(x)={0.05x+0.15,0x40,annars. f(x) = \begin{cases} 0.05x+0.15, & 0\leq x \leq4 \\ 0, & \text{annars.} \end{cases}

a
Beräkna sannolikheten att xx antar ett värde mellan 11 och 2.2.
b
Udo läser av att funktionsvärdet för x=3x=3 är ca 0.30.3 och utbrister glatt: "Det betyder ju att sannolikheten att få 33 ungefär är 30%!30\,\%!" Har Udo rätt? Förklara.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skapa en täthetsfunktion som beskriver en sannolikhetsfördelning med följande egenskaper:

  • Sannolikheten att få ett utfall x<-1x < \text{-} 1 eller x>1x > 1 är 0.0.
  • Sannolikheten att ett utfall är till höger om yy-axeln är nollskild och mindre än att utfallet är till vänster om yy-axeln.
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag har undersökt hur länge kunder som ringer till deras kundservice behöver vänta innan de får svar. De har funnit att väntetiden tt minuter har en fördelning som kan beskrivas med täthetsfunktionen f(t)=16e-tundefined6,t0. f(t) = \frac{1}{6}e^{\text{-}\left.t\middle/6\right.},\quad t\geq0.

a
Bestäm sannolikheten att en kund som ringer till företaget behöver vänta högst 1010 minuter på svar.
b
Företaget vill informera om resultatet av undersökningen genom följande formulering: ”Vår kundundersökning visar att 50%50\,\% av våra kunder behöver vänta högst xx minuter.” Bestäm värdet på x.x.
Nationella provet VT13 Ma4
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Mänskligheten har nyligen drabbats av en hemsk förbannelse! Vid varje tidpunkt finns det en risk att man spontant förvandlas till en gås, utan möjlighet att återvända till sitt normala liv. Sannolikheten att man har blivit en gås efter en viss tid kan beskrivas av täthetsfunktionen f(t)={0.014e-0.014t,t00,annars, f(t) = \begin{cases} 0.014e^{\text{-} 0.014 t}, & t \geq 0 \\ 0, & \text{annars,} \end{cases} där tt är tiden i dagar från att förbannelsen lades. Bestäm sannolikheten att alla personer i en familj på 44 fortfarande är människor efter 3030 dagar. Avrunda svaret till hela procent.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tivolit Röda Lund finns en attraktion som heter Knasiga huset. Det är så pass stort att det omöjligt att gå igenom det under 11 minut. Man kan inte heller vara inne längre än 77 minuter. För en slumpmässigt vald besökare visar det sig att sannolikheten att hen är inne minst 11 men max 33 minuter är hälften så stor som mellan 33 och 55 minuter, men tre gånger så stor som från 55 till och med 77 minuter. Bestäm en täthetsfunktion som beskriver denna sannolikhetsfördelning och rita upp den.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Exponentialfördelningens täthetsfunktion är f(t)={ke-kt,t00,annars, f(t)=\begin{cases}k \cdot e^{\text{-} k t},& t\geq0 \\ 0,& \text{annars,} \end{cases} där k>0.k>0. Men Bruce säger att en allmän avtagande exponentialfunktion beskrivs av y=Ce-kty=C\cdot e^{\text{-} kt} och menar att täthetsfunktionen istället borde vara f(t)={Ce-kt,t00,annars. f(t)=\begin{cases}C \cdot e^{\text{-} k t},& t\geq0 \\ 0,& \text{annars.} \end{cases} Använd detta för att visa att CC måste vara lika med k.k.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tina är ute och surfar under sin semester i Portugal. Efter hårt studerande av sin egen surfing inser hon att om hon är ute och surfar 22 timmar kommer hon garanterat falla exakt 11 gång. Om hon surfar kortare än så är det inte säkert att hon faller. På grund av vågornas beteende just idag kan sannolikheten att hon faller modelleras med täthetsfunktionen f(t)={1.5(t10)2,9t110,annars f(t) = \begin{cases} 1.5 \cdot (t - 10)^2, & 9 \leq t \leq 11 \\ 0, & \text{annars} \end{cases} under hennes tur mellan klockan 99 och 1111 på förmiddagen. Idag är hon inte särskilt sugen på att falla i vattnet och bli blöt och kall — hon vill inte att sannolikheten att hon faller ska överstiga 50%.50\, \%. Tina räknar fram den optimala tiden för henne så att hon kan surfa så mycket som möjligt. Hur länge surfar hon under förmiddagen?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en viss slumpmässig händelse kan följande täthetsfunktion tilldelas. f(x)={x3+x6,0xa0,annars f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^3 + x}{6}, & 0 \leq x \leq a \\ 0, & \text{annars} \end{cases}

a
Bestäm a.a.
b
För kontinuerliga sannolikhetsfördelningar är den så kallade kumulativa sannolikheten K(b)K(b) definierad som sannolikheten att xbx \leq b och motsvarar integralen

K(b)=P(xb)=-bf(x)dx. K(b) = P(x \leq b) = \displaystyle\int_{\text{-} \infty}^{b}f(x) \, \text d x . När man sätter in olika värden på bb är det alltså integralens övre gräns som varierar. Bestäm ett uttryck för K(b)K(b) som inte innehåller några integraler, givet täthetsfunktionen f(x).f(x). Tips: Definiera K(b)K(b) med hjälp av minst 22 intervall.

c
Den kumulativa sannolikhetsfunktionen K(b)K(b) är väldigt användbar om man vill beräkna flera sannolikheter som följer samma täthetsfunktion. Beräkna K(1.5)K(1)K(1.5) - K(1) och tolka resultatet.
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}