DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
Dashboard Logga ut
2b
Kurs 2b Visa detaljer
8. Regression
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel 5
7. 

Regression

Regression inom matematiken refererar till processen att anpassa matematiska funktioner till mätdata. Det används för att skapa modeller av verkliga processer. Innehållet förklarar olika typer av regression, såsom linjär och icke-linjär regression, och hur de kan tillämpas med olika metoder som minsta kvadratmetoden. Linjär regression anpassar en rak linje till kända datapunkter, medan icke-linjär regression kan involvera kvadratiska eller exponentiella funktioner. Lektionen inkluderar också exempel och instruktioner om hur man utför regression med hjälp av räknare, anpassar funktioner till datapunkter och visualiserar data genom spridningsdiagram.

Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation Metod Resonemang Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
8 sidor teori
19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Regression
Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Regression
  • Spridningsdiagram
  • Linjär regression
  • Icke-linjär regression

Förkunskaper
Koncept

Regression

Regression innebär att man anpassar matematiska funktioner till mätdata. Det används bland annat för att skapa modeller av verkliga förlopp. Olika sorters regressioner används beroende på vilka samband som finns, t.ex. linjär regression och icke-linjär regression.

Koncept

Spridningsdiagram

Ett spridningsdiagram är ett sätt att visualisera mätdata med två parametrar i ett koordinatsystem. Om man t.ex. mäter höjden på tomatplantor vid olika tidpunkter får man ett antal datapunkter som kan markeras i ett koordinatsystem med tiden som x-koordinat och höjden som y-koordinat. Då har man gjort ett spridningsdiagram.

Varje punkt i diagrammet motsvaras av höjden på en planta efter en viss tid.
Koncept

Linjär regression

Linjär regression är den form av regression som används när man anpassar en rät linje till kända datapunkter. Detta kan antingen göras för hand, med hjälp av en linjal och ögonmått, eller med hjälp av räknare. Räknaren använder matematiska metoder som den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har linjär regression använts för att anpassa en rät linje till ett antal datapunkter.

I det här spridningsdiagrammet motsvaras varje punkt av höjden på en tomatplanta efter en viss tid.
Exempel

Anpassa en rät linje med ögonmått

Använd ögonmått för att anpassa en rät linje till datapunkterna i spridningsdiagrammet och ange dess ekvation.

Svar
Exempel linje:

Exempel ekvation: y = 0,5x + 1.

Ledtråd
Linjen måste inte nödvändigtvis gå genom punkterna.

Lösning
Har man inte möjlighet att använda en räknare för att anpassa en rät linje får man göra så gott man kan med ögonmått. Det enklaste sättet är att använda en linjal och testa sig fram tills man hittar en linje som passar så bra som möjligt med så många punkter som möjligt. I det här fallet kan en sådan linje exempelvis se ut på följande sätt.

Linjen skär y-axeln vid 1, vilket innebär att m-värdet för den räta linjen är 1. Vi ser också att linjen stiger med ett steg i y-led för varje två steg i x-led, vilket ger riktningskoefficienten k = Δ y/Δ x = 1/2 = 0,5. Den räta linjen vi har anpassat till datapunkterna har alltså ekvationen y = 0,5x + 1. Beroende på hur man har ritat sin linje är det möjligt att man får en lite annorlunda ekvation än denna, men den kan vara precis lika rätt.
Koncept

Icke-linjär regression

Icke-linjär regression innebär att man anpassar en funktion som inte är linjär. Det kan t.ex. röra sig om andragradsfunktioner eller exponentialfunktioner. Till skillnad från linjär regression kan detta vara svårt att göra för hand och för det mesta används den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har en andragradskurva anpassats till mätpunkterna.

Digitala verktyg

Regression på räknare

På de flesta grafritande räknare kan man göra regression, dvs. anpassa funktioner till datapunkter.

1
Skriv in värden
expand_more
Skriv in värden Det första steget är att skriva in datapunkterna i räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på knappen STAT och sedan välja alternativet Edit genom att markera det och trycka på knappen ENTER.

Fönster i räknaren som visar Stat och sedan Edit

När man gör detta visas ett antal kolumner markerade L1, L2, L3 osv.

Räknare som visar två tomma listor

Med hjälp av piltangenterna kan man markera var i listorna man vill fylla i värden. Punkterna som funktionen ska anpassas till matas in med x-värdena i listan L_1 och motsvarande y-värden i L_2. Skriv in värdena med sifferknapparna följt av ENTER.

Räknare som visar två listor där man matat in värden

Det går att ta bort värden med DEL och det går även att skjuta in värden med INS (2nd + DEL).

2
Gör regression
expand_more
När värdena är införda kan regressionen utföras genom att igen trycka på knappen STAT, följt av piltangenten åt höger för att välja menyalternativet CALC. I denna meny listas de olika regressioner som finns tillgängliga.

Räknare som visar listan CALC och där man valt LinReg

Bland annat finns

Genom att pila ned till något alternativ och trycka på ENTER, följt av ENTER igen, utförs den valda regressionen. T.ex. kan man välja linjär regression.

Räknare som visar en anpassad linjär funktion

Räknaren skriver ut det generella uttrycket för funktionen och de konstanter som den har anpassat. Här blev den anpassade funktionen y=5,92x-6,72.

Övning

Passar linjen?

Givet ett spridningsdiagram och en linje, avgör om linjen korrekt representerar den linjära regressionen av data.


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Regression
Uppgift 4.1

Ett av de vanligaste sätten att göra den faktiska anpassningen av funktioner till datapunkter är minsta kvadratmetoden. För en samling med n datapunkter, (x_1,y_1), (x_2,y_2) ...(x_n,y_n), räknar man ut hur det vertikala avståndet mellan datapunkterna och funktionen. Man kvadrerar sedan alla dessa avstånd och summerar dem. För funktionen f får man då (y_1 - f(x_1))^2 + (y_2 - f(x_2))^2 + ... + (y_n - f(x_n))^2. Den funktion som gör att denna summa blir så liten som möjligt är den som enligt minsta kvadratmetoden passar bäst in på datapunkterna. Använd minsta kvadratmetoden för att bestämma den linjära funktion f(x) = ax som bäst passar in på följande värden: (1,2) (2,3) (4,5). Svara exakt.

Vi vill med hjälp av minsta kvadratmetoden anpassa en funktion f(x) = ax till de tre punkterna (1,2), (2,3) och (4,5). Det vi är ute efter är alltså den konstant a som gör att summan av de vertikala avstånden, i kvadrat, blir så liten som möjligt. Vi börjar med att ställa upp uttryck för alla avstånd: &y_1 - f(x_1) = 2 - f(1) = 2 - a &y_2 - f(x_2) = 3 - f(2) = 3 - 2a &y_3 - f(x_3) = 5 - f(4) = 5 - 4a. Vi kvadrerar sedan dessa och utvecklar med andra kvadreringsregeln, vilket ger &(2 - a)^2 = 4 - 4a + a^2 &(3 - 2a)^2 = 9 - 12a + 4a^2 &(5 - 4a)^2 = 25 - 40a + 16a^2. Vi lägger till sist ihop de kvadrerade avstånden.

Detta uttryck ger alltså ett mått på hur mycket funktionen avviker från punkterna, och när uttrycket är så litet som möjligt ligger funktionen så nära punkterna som möjligt dvs. vi vill göra g(a) = 21a^2 - 56a + 38 så liten som möjligt. Det är en andragradsfunktion där koefficienten framför a^2 är positiv, vilket innebär att den har en minimipunkt. Denna punkt ligger på symmetrilinjen, som vi kan hitta genom att sätta g(a)=0 och påbörja en lösning med pq-formeln.

Symmetrilinjen ges av den första termen, 5642, som är like med 43. g(a) är alltså som minst när a = 43. Sätter vi in detta i f(x) får vi den funktion som enligt minsta kvadratmetoden stämmer bäst in på punkterna: f(x) =ax ⇒ f(x)= 4/3x.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Regression

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y