Logga in
| 8 sidor teori |
| 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Regression innebär att man anpassar matematiska funktioner till mätdata. Det används bland annat för att skapa modeller av verkliga förlopp. Olika sorters regressioner används beroende på vilka samband som finns, t.ex. linjär regression och icke-linjär regression.
Ett spridningsdiagram är ett sätt att visualisera mätdata med två parametrar i ett koordinatsystem. Om man t.ex. mäter höjden på tomatplantor vid olika tidpunkter får man ett antal datapunkter som kan markeras i ett koordinatsystem med tiden som x-koordinat och höjden som y-koordinat. Då har man gjort ett spridningsdiagram.
Linjär regression är den form av regression som används när man anpassar en rät linje till kända datapunkter. Detta kan antingen göras för hand, med hjälp av en linjal och ögonmått, eller med hjälp av räknare. Räknaren använder matematiska metoder som den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har linjär regression använts för att anpassa en rät linje till ett antal datapunkter.
Exempel linje:
Exempel ekvation: y=0,5x+1.
Linjen måste inte nödvändigtvis gå genom punkterna.
Har man inte möjlighet att använda en räknare för att anpassa en rät linje får man göra så gott man kan med ögonmått. Det enklaste sättet är att använda en linjal och testa sig fram tills man hittar en linje som passar så bra som möjligt med så många punkter som möjligt. I det här fallet kan en sådan linje exempelvis se ut på följande sätt.
Icke-linjär regression innebär att man anpassar en funktion som inte är linjär. Det kan t.ex. röra sig om andragradsfunktioner eller exponentialfunktioner. Till skillnad från linjär regression kan detta vara svårt att göra för hand och för det mesta används den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har en andragradskurva anpassats till mätpunkterna.
Skriv in värden Det första steget är att skriva in datapunkterna i räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på knappen STAT och sedan välja alternativet Edit genom att markera det och trycka på knappen ENTER.
När man gör detta visas ett antal kolumner markerade L1, L2, L3 osv.
Med hjälp av piltangenterna kan man markera var i listorna man vill fylla i värden. Punkterna som funktionen ska anpassas till matas in med x-värdena i listan L1 och motsvarande y-värden i L2. Skriv in värdena med sifferknapparna följt av ENTER.
Det går att ta bort värden med DEL och det går även att skjuta in värden med INS (2nd + DEL).
När värdena är införda kan regressionen utföras genom att igen trycka på knappen STAT, följt av piltangenten åt höger för att välja menyalternativet CALC. I denna meny listas de olika regressioner som finns tillgängliga.
Bland annat finns
Genom att pila ned till något alternativ och trycka på ENTER, följt av ENTER igen, utförs den valda regressionen. T.ex. kan man välja linjär regression.
Räknaren skriver ut det generella uttrycket för funktionen och de konstanter som den har anpassat. Här blev den anpassade funktionen y=5,92x−6,72.
Givet ett spridningsdiagram och en linje, avgör om linjen korrekt representerar den linjära regressionen av data.
Kompisarna David och Anton driver varsitt företag. Under det senaste halvåret har de sammanställt omsättningen för sina företag i tusentals kr.
Månad | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|
Davids företag | 102 | 117 | 135 | 165 | 182 | 195 |
Antons företag | 197 | 213 | 234 | 256 | 258 | 278 |
Vi börjar med att sätta ut datapunkterna från tabellen i ett koordinatsystem. När vi gjort detta kan vi avgöra vilken typ av regression som passar för att modellera företagens tillväxt.
Tillväxten för båda företag verkar följa en linjär utveckling så vi använder vår miniräknare för att anpassa varsin linjär funktion till omsättningarna.
Företagens tillväxt uppskattas alltså av funktionerna
David: &y=20x+80 [0.5em]
Anton: &y=16x+183,
där x är antalet månader efter att mätningarna började och y är omsättningen. Vi vill veta när de två företagen omsätter lika mycket pengar, alltså när funktionerna är lika stora. Vi likställer dem och löser ut x.
Enligt beräkningarna är företagens omsättningar lika stora ungefär 26 månader efter x=0. Här är det dock viktigt att komma ihåg att x anger tiden efter att mätningarna påbörjades, och det var för sex månader sedan. Det innebär att det är 26 - 6 = 20 månader kvar tills omsättningarna för de två företagen kommer att vara lika stora.
I tabellen och diagrammet visas längd och vikt för tio män från samma arbetsplats.
Namn | Längd (cm) | Vikt (kg) |
---|---|---|
Anders | 187 | 90 |
Leif | 183 | 85 |
Göte | 190 | 85 |
Bengt | 189 | 85 |
Per | 190 | 95 |
Stig | 191 | 93 |
Lennart | 176 | 74 |
Torgny | 182 | 81 |
Bertil | 181 | 83 |
Ingemar | 178 | 80 |
Bestäm ett linjärt samband mellan vikten y kg och längden x cm. Avrunda konstanterna till tre gällande siffror.
Vi vill bestämma ett linjärt samband mellan vikten y och längden x, vilket innebär att vi vill anpassa en rät linje på formen y = kx + m till punkterna i diagrammet. Det kan vi antingen göra för hand med hjälp av en linjal eller så kan vi göra en anpassning med hjälp av miniräknare. Vi väljer att göra detta med miniräknare, och börjar med att spara värdena i listor genom att först trycka på STAT, välja Edit... och sedan mata in värdena.
Att anpassa en rät linje till datapunkter kallas linjär regression, så vi ska använda LinReg-funktionen på miniräknaren. Den hittar vi genom att trycka på STAT igen, gå till menyn Calc och till sist välja alternativet LinReg. Räknaren visar då värdena a och b, som är koefficienten fram x respektive konstanten för vår räta linje.
Vi avrundar dessa värden till tre värdesiffror, vilket ger funktionen
y≈ 0,993x-98,3.
Tabellen visar antalet sålda biljetter för en konsert när olika priser tas ut. Skriv en ekvation för en linje som passar datan. Verkar det rimligt att använda din modell för att förutsäga antalet sålda biljetter när biljettpriset är 85? Förklara.
Biljettpris (kronor), x | 170 | 200 | 220 | 260 |
---|---|---|---|---|
Sålda biljetter, y | 450 | 423 | 400 | 395 |
Vi blir ombedda att skriva en ekvation för den anpassade linjen för punkterna som anges i tabellen. Låt oss rita punkterna och en godtyckligt vald linje som ligger relativt nära dem alla.
Från grafen ser vi att linjen vi ritade passerar genom (19,430) och (24,395). Det betyder att vi kan beräkna funktionens lutning.
Nu kan vi sätta in k=- 7 och en av punkterna från punkt-lutningsformen för att få exemplekvationen för linjen. y-430=-7(x-19) Vi kan alltid omvandla den till k-form också.
Eftersom den anpassade linjen är gjord på basis av endast 4 punkter och deras x-koordinater ligger mellan 17 och 26, verkar det inte rimligt att använda den linjen för att uppskatta värdet för ett x-värde som ligger så långt bort som 85.
Välj det ord som bäst kompletterar meningen nedan.
För att hitta den minsta kvadratregressionslinjen för data kan du använda -funktionen i ett grafritande verktyg. |
Låt oss betrakta det givna påståendet.
För att hitta den minsta kvadratregressionslinjen för data kan du använda -funktionen i ett grafritande verktyg.
Låt oss föreställa oss att vi har ett spridningsdiagram som representerar någon datamängd.
Vi kan se att denna linje endast ligger nära två datapunkter. Vi vill rita en linje så att dess avstånd från punkterna är så litet som möjligt.
Nu är linjen så nära de flesta punkter som möjligt. Denna linje kallas minsta kvadraters regressionslinje, eftersom summan av de kvadrerade avstånden från datapunkterna är minst för just den linjen. Vi kan anpassa en linje till vilken datamängd som helst med hjälp av funktionen linjär regression i grafritningsverktyget. Låt oss fylla i luckan!
För att hitta den minsta kvadraters regressionslinje för data kan du använda linjär regression-funktionen i ett grafritande verktyg.