Regression
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Spridningsdiagram
Ett spridningsdiagram är ett sätt att visualisera mätdata med två parametrar i ett koordinatsystem. Om man t.ex. mäter höjden på tomatplantor vid olika tidpunkter får man ett antal datapunkter som kan markeras i ett koordinatsystem med tiden som -koordinat och höjden som -koordinat. Då har man gjort ett spridningsdiagram.
Linjär regression
Linjär regression är den form av regression som används när man anpassar en rät linje till kända datapunkter. Detta kan antingen göras för hand, med hjälp av en linjal och ögonmått, eller med hjälp av räknare. Räknaren använder matematiska metoder som den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har linjär regression använts för att anpassa en rät linje till ett antal datapunkter.
Har man inte möjlighet att använda en räknare för att anpassa en rät linje får man göra så gott man kan med ögonmått. Det enklaste sättet är att använda en linjal och testa sig fram tills man hittar en linje som passar så bra som möjligt med så många punkter som möjligt. I det här fallet kan en sådan linje exempelvis se ut på följande sätt.
Linjen skär -axeln vid vilket innebär att -värdet för den räta linjen är Vi ser också att linjen stiger med ett steg i -led för varje två steg i -led, vilket ger riktningskoefficienten Den räta linjen vi har anpassat till datapunkterna har alltså ekvationen Beroende på hur man har ritat sin linje är det möjligt att man får en lite annorlunda ekvation än denna, men den kan vara precis lika rätt.
Icke-linjär regression
Icke-linjär regression innebär att man anpassar en funktion som inte är linjär. Det kan t.ex. röra sig om andragradsfunktioner eller exponentialfunktioner. Till skillnad från linjär regression kan detta vara svårt att göra för hand och för det mesta används den s.k. minsta kvadratmetoden. Nedan har en andragradskurva anpassats till mätpunkterna.
På de flesta grafritande räknare kan man göra regression, dvs. anpassa funktioner till datapunkter.
Skriv in värden
Det första steget är att skriva in datapunkterna i räknaren. På en TI-räknare görs detta genom att först trycka på knappen STAT och sedan välja alternativet Edit genom att markera det och trycka på knappen ENTER.
När man gör detta visas ett antal kolumner markerade L, L, L osv.
Med hjälp av piltangenterna kan man markera var i listorna man vill fylla i värden. Punkterna som funktionen ska anpassas till matas in med -värdena i listan L och motsvarande -värden i L Skriv in värdena med sifferknapparna följt av ENTER.
Det går att ta bort värden med DEL och det går även att skjuta in värden med INS (2nd + DEL).
Gör regression
När värdena är införda kan regressionen utföras genom att igen trycka på knappen STAT, följt av piltangenten åt höger för att välja menyalternativet CALC. I denna meny listas de olika regressioner som finns tillgängliga.
Bland annat finns
- LinReg(ax+b), som gör en linjär regression och anpassar en rät linje till punkterna,
- QuadReg, som anpassar en andragradsfunktion, och
- ExpReg, det tionde alternativet, som anpassar en exponentialfunktion.
Genom att pila ned till något alternativ och trycka på ENTER, följt av ENTER igen, utförs den valda regressionen. T.ex. kan man välja linjär regression.
Uppgifter
Anpassa en linjär funktion till datapunkterna i nedanstående koordinatsystem.
Magda ska anpassa funktioner till datapunkterna i ett antal spridningsdiagram. Avgör vilka hon bör anpassa linjära funktioner, andragradsfunktioner och exponentiella funktioner till.
Anpassa en andragradsfunktion till nedanstående data.
Använd din räknare för att anpassa en linjär funktion till följande värden.
Använd din räknare för att anpassa en andragradsfunktion till följande värden.
Tabellen visar världsrekordet för meter fjärilssim för några olika årtal.
| År | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tid (s) | 133.2 | 125.7 | 118.3 | 115.2 | 114.7 | 112.8 |
Låt vara antal år efter och världsrekordtiden i sekunder. Anpassa en exponentialfunktion till datamängden.
Har modellen någon begränsning?
Undersök vilken sorts funktion som kan vara lämplig att anpassa till följande datapunkter och gör sedan anpassningen.
Lina ska skapa en modell som uppskattar hur mycket nyfödda flickor väger under första halvåret. Hon får lite statistik från en stressad sköterska på ett sjukhus som precis vägt sju bebisar i olika åldrar.
| Månader | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gram |
Anpassa en linjär funktion till datan.
Lina är inte riktigt nöjd med modellen. Hjälp henne att anpassa en ny funktion som ger en bättre uppskattning av flickors vikt under första halvåret.
Ett experiment har genomförts för att mäta reaktionssträckan vid inbromsningen av en bil, alltså den sträcka bilen färdas innan föraren hinner reagera och börja bromsa, och hur den beror av bilens hastighet. Testerna finns införda i nedanstående koordinatsystem, där avståndet anger reaktionssträckan i antal meter och hastigheten anges i km/h.
Anpassa en linjär funktion som beskriver reaktionssträckan vid olika hastigheter.
Tolka .
Finns det några fel i din modell?
Om man uppmäter reaktionssträckan till m när en bil bromsar, hur snabbt körde den?
Johan och Magnus ska undersöka hur populationstillväxten för en utrotningshotad fågelart ser ut i framtiden. Till sin hjälp har de information om hur stor populationen har varit under ett antal år. Det gav nedanstående spridningsdiagram, där varje steg på -axeln anger ett år efter att mätningarna började och de på -axeln anger antalet djur i tusental.
Johan menar att tillväxten är linjär medan Magnus, som har studerat hur populationer växer, säger att en exponentiell modell är att föredra. De gör två olika regressioner och får följande resultat.
Tolka i Johans modell och i Magnus modell.
För att se hur väl deras funktioner passar in på datapunkterna ritar Johan och Magnus ut dem i spridningsdiagrammet.
Johan påstår att det inte spelar någon roll vilken modell man väljer eftersom skillnaden är så liten. Magnus påpekar att eftersom modellen ska användas för att uppskatta framtida populationer bör man även titta på större värden än de som finns utritade. Hur skiljer sig modellerna åt efter år och år?
Dylan sparar pengar för att köpa en gitarr som kostar kr. Varje vecka skriver han ner hur mycket pengar han har samlat ihop.
| Vecka | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Summa | 523 | 619 | 752 | 861 | 999 |
Uppskatta hur lång tid det kommer att ta innan han har råd att köpa gitarren.
Antalet bakterier i en cellodling av E-coli ökar exponentiellt. Tabellen nedan visar hur många bakterier som fanns i odlingen vid olika tidpunkter.
| Tid (min) | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Antal bakterier |
Uppskatta hur lång tid det tar innan det finns en miljard bakterier i odlingen om de får möjligheten att fortsätta tillväxa på samma sätt.
Kompisarna David och Anton driver varsitt företag. Under det senaste halvåret har de sammanställt omsättningen för sina företag i tusentals kr.
| Månad | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Davids företag | 102 | 117 | 135 | 165 | 182 | 195 |
| Antons företag | 197 | 213 | 234 | 256 | 258 | 278 |
Även om Antons företag har en större omsättning så är tillväxten bättre för Davids företag. Om hur lång tid kan man vänta sig att företagen omsätter lika mycket om vi förutsätter att företagen växer likartat framöver?
I tabellen och diagrammet visas längd och vikt för tio män från samma arbetsplats.
Bestäm ett linjärt samband mellan vikten kg och längden cm.
Utgå från det linjära samband du bestämde i a). Tolka vad riktningskoefficienten betyder i detta sammanhang.
Ett av de vanligaste sätten att göra den faktiska anpassningen av funktioner till datapunkter är minsta kvadratmetoden. För en samling med datapunkter, räknar man ut hur det vertikala avståndet mellan datapunkterna och funktionen. Man kvadrerar sedan alla dessa avstånd och summerar dem. För funktionen får man då Den funktion som gör att denna summa blir så liten som möjligt är den som enligt minsta kvadratmetoden passar bäst in på datapunkterna. Använd minsta kvadratmetoden för att bestämma den linjära funktion som bäst passar in på följande värden: Svara exakt.