body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

3b

Kurs 3b Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 1

3.

Räkna med rationella uttryck

Genomgången handlar om att arbeta med rationella uttryck, vilket inkluderar addition, subtraktion, multiplikation och division av dessa uttryck. Det förklaras att samma regler som för bråkräkning gäller här. Om uttrycken har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt. Om nämnarna är olika, måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Vid multiplikation och division multipliceras täljare med täljare och nämnare med nämnare. Det finns också en diskussion om villkor och definitionsmängd för rationella uttryck, samt vikten av att förstå hur digitala verktyg som räknare hanterar funktioner, särskilt när det finns värden som funktionen inte är definierad för.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	21 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Räkna med rationella uttryck

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Addera och subtrahera rationellauttryck
Multiplicera och dividera rationella uttryck

Förkunskaper

Minsta gemensamma nämnare
Adderar och subtraherar bråk
Multiplicera bråk
Dividera bråk

Regel

Addera och subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Om de har samma nämnare kan täljarna adderas eller subtraheras direkt.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} + \frac{h ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) + h ( x )}{q ( x )}$

$\frac{p ( x )}{q ( x )} - \frac{h ( x )}{q ( x )} = \frac{p ( x ) - h ( x )}{q ( x )}$

Om de rationella uttryckens nämnare är olika måste man förlänga minst ett uttryck för att skapa en gemensam nämnare. Ofta innebär det att man förlänger ett av de rationella uttrycken med nämnaren från det andra uttrycket och tvärtom.

Exempel

Subtrahera de rationella uttrycken

Förenkla uttrycken.

\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x}

Ledtråd

Förlänga valfri term så att nämnarna matchar.

Lösning

De rationella uttrycken har olika nämnare, så vi måste först förlänga det första med

2 .

\frac{1}{x} - \frac{x + 2}{2 x}

Förläng med $2$

\frac{2}{2 x} - \frac{x + 2}{2 x}

Subtrahera bråk

\frac{2 - ( x + 2 )}{2 x}

Ta bort parentes & byt tecken

\frac{2 - x - 2}{2 x}

Förenkla termer

\frac{- x}{2 x}

Förkorta med $x$

\frac{- 1}{2}

MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

- \frac{1}{2}

Uttrycket blir alltså

- \frac{1}{2} .

Exempel

Lös ekvationen genom att subtrahera rationella uttryck

Solve the equation.

\frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2 x}

Ledtråd

Subtract the expressions in the left-hand side of the equation.

Lösning

Consider the given equation.

\frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2 x}

In order to subract the expressions in the left-hand side of the equation, they first need to have matching denominators.

\frac{x + 1}{x} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2 x}

Förläng med $(x - 1)$

\frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} - \frac{x}{x - 1} = \frac{1}{2 x}

Förläng med $x$

\frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} - \frac{x ^{2}}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{2 x}

Before subtracting the expressions, note that the conjugate binomials can be expanded into a difference of squares.

\frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} - \frac{x ^{2}}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{2 x}

ExpandDiffSquares

Utveckla med konjugatregeln

\frac{x ^{2} - 1}{x ( x - 1 )} - \frac{x ^{2}}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{2 x}

Subtrahera bråk

\frac{x ^{2} - 1 - x ^{2}}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{2 x}

Subtrahera term

\frac{- 1}{x ( x - 1 )} = \frac{1}{2 x}

$VL \cdot x = HL \cdot x$

\frac{- 1}{x - 1} = \frac{1}{2}

$VL \cdot (x - 1) = HL \cdot (x - 1)$

- 1 = \frac{x - 1}{2}

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

- 2 = x - 1

$VL + 1 = HL + 1$

- 1 = x

Omarrangera ekvation

x = - 1

The solution to the equation is

x = - 1 .

Regel

Multiplicera och dividera rationella uttryck

Även vid multiplikation och division gäller samma räkneregler som vid bråkräkning. Täljare multipliceras därför med täljare och nämnare med nämnare.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} \cdot \frac{h ( x )}{g ( x )} = \frac{p ( x ) \cdot h ( x )}{q ( x ) \cdot g ( x )}$

De rationella uttrycken behöver inte ha gemensam nämnare för att kunna multipliceras ihop. Vill man dividera två rationella uttryck måste man först invertera kvoten i nämnaren och därefter multiplicera.

$\frac{p ( x )}{q ( x )} / \frac{h ( x )}{g ( x )} = \frac{p ( x )}{q ( x )} \cdot \frac{g ( x )}{h ( x )}$

Villkor

Odefinierade värden

När man skriver om en division av rationella uttryck som en multiplikation kan det se ut som att uttryckets definitionsmängd förändras. Exempelvis är

r (x) = \frac{x + 1}{x - 3} / \frac{x - 9}{x + 7}

odefinierat för

x -

värdena

3,

- 7

och

9,

eftersom de tre nämnarna i uttrycket är lika med

0

för respektive

x -

värden. Det omskrivna uttrycket

q (x) = \frac{( x + 1 ) ( x + 7 )}{( x - 3 ) ( x - 9 )}

är däremot odefinierat endast för

x -

värdena

3

och

9 .

Men för att man ska kunna sätta en likhet mellan uttrycken måste de ha samma definitionsmängd. Däremot kan man säga att

r (x)

och

q (x)

är utbytbara för alla

x

utom

x = - 7 .

Exempel

Dividera de rationella uttrycken

Förenkla uttrycken.

\frac{x ^{2} + 4}{x} / \frac{x + 1}{3 x}

Ledtråd

Skriv om uttrycket som ett enda rationellt uttryck. Förkorta bort gemensamma faktorer.

Lösning

Vi börjar med att invertera det rationella uttrycket i nämnaren och samtidigt skriva om uttrycket som en multiplikation:

\frac{x ^{2} + 4}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1} .

Vi utför nu multiplikationen och förenklar.

\frac{x ^{2} + 4}{x} \cdot \frac{3 x}{x + 1}

Multiplicera bråk

\frac{3 x ( x ^{2} + 4 )}{x ( x + 1 )}

Förkorta med $x$

\frac{3 ( x ^{2} + 4 )}{x + 1}

Multiplicera in $3$

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1}

Uttrycket förenklas alltså till

\frac{3 x ^{2} + 1 2}{x + 1} .

Exempel

Lös ekvationen genom att multiplicera rationella uttryck

Solve the equation.

\frac{x ^{2} + x}{x + 1} \cdot \frac{3 x + 2}{x} = x + 10

Ledtråd

Simplify the left-hand side of the equation. Solve the resulting equation for $x .$

Lösning

Consider the given equation.

\frac{x ^{2} + x}{x + 1} \cdot \frac{3 x + 2}{x} = x + 10

In order to solve the above equation the left-hand side of it needs to be simplified first.

\frac{x ^{2} + x}{x + 1} \cdot \frac{3 x + 2}{x} = x + 10

Multiplicera bråk

\frac{( x ^{2} + x ) ( 3 x + 2 )}{( x + 1 ) x} = x + 10

Multiplicera in $x$

\frac{( x ^{2} + x ) ( 3 x + 2 )}{x ^{2} + x} = x + 10

Förkorta med $x^{2} + x$

3 x + 2 = x + 10

$VL - x = HL - x$

2 x + 2 = 10

$VL - 2 = HL - 2$

2 x = 8

$VL / 2 = HL / 2$

x = 4

The solution to the equation is

x = 4 .

Digitala verktyg

Osammanhängande graf på räknare

På grund av hur räknaren hanterar funktioner är det inte säkert att en funktion med osammanhängande graf verkligen kommer att se osammanhängande ut när grafen ritas. Man kan t.ex. rita den rationella funktionen $y = \frac{1}{x - 2},$ som inte är definierad för $x = 2 .$

Diskontinuerlig funktion på TI-räknare

På räknaren ser det ut som att grafen hänger ihop i $x = 2 .$ Jämför man med en korrekt utritad graf är skillnaden tydlig.

Det är alltså viktigt att undersöka hur rimliga räknarens grafer är, framförallt om det finns

x -

värden som funktionen inte är definierad för.

Räkna med rationella uttryck

Räkna med rationella uttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.