4. Pythagoras sats Åk 9
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
4.
Pythagoras sats Åk 9
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Pythagoras sats Åk 9
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:
- Pythagoras sats
Förkunskaper
Utforska
Dela
Rapportera fel
Att bygga en kvadrat med rätvinkliga trianglar
I denna applet finns fyra identiska rätvinkliga trianglar. Du kan flytta och rotera trianglarna. Utan att låta dem överlappa, försök att placera trianglarna så att de tillsammans bildar ett mönster som ser ut som en kvadrat inuti en kvadrat.
Extra
Hur man använder appleten- För att flytta en triangel, klicka på det röda hörnet, det blå hörnet eller inuti triangeln och dra.
- För att rotera en triangel, klicka på det gula hörnet och dra. Triangeln roterar då runt det blå hörnet.
- Tryck på knappen Kontrollera för att se om arrangemanget är korrekt.
- Tryck på knappen Tips om du vill ha hjälp.
Teori
Dela
Rapportera fel
Pythagoras sats
I en rätvinklig triangel kallas de två sidorna som bildar den räta vinkeln för kateter, och sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa.
I en sådan triangel är summan av kvadraterna på kateternas längder lika stor som kvadraten på hypotenusans längd. Om kateterna har längderna a och b och hypotenusan har längden c, kan sambandet skrivas så här:
Detta är Pythagoras sats. En triangel är också rätvinklig om sidorna passar ihop på det sättet att kvadraterna på två av sidorna tillsammans blir lika stora som kvadraten på den tredje sidan. När det sambandet stämmer vet vi att triangeln har en rät vinkel — även utan att det syns i figuren.
Förklaring
Exempel och den geometriska idén bakom satsenVi undersöker en rätvinklig triangel där kateterna är 6 cm och 8cm. Målet är att bestämma hypotenusan.
Med Pythagoras sats får vi:
6^2 + 8^2 &= c^2 36 + 64 &= c^2 100 &= c^2 c &= 10
Hypotenusan är alltså 10cm lång.
För att förstå varför satsen fungerar kan vi titta närmare på samma triangel. Om vi ritar en kvadrat på varje sida av triangeln ser vi hur areorna hänger ihop:
- Kvadraten på 6cm-sidan har arean 6^2cm^2 = 36cm^2.
- Kvadraten på 8cm-sidan har arean 8^2cm^2 = 64cm^2.
- Kvadraten på 10cm-sidan har arean 10^2cm^2 = 100cm^2.
De två mindre kvadraterna har tillsammans arean
36 cm^2 + 64cm^2 = 100cm^2,
vilket precis motsvarar arean av den stora kvadraten. Det är därför sambandet a^2 + b^2 = c^2 alltid gäller i en rätvinklig triangel: kateternas kvadrater får plats
exakt i hypotenusans kvadrat. (Det är detta geometriska samband som Pythagoras visade för ungefär 2500 år sedan.)
Exempel
Dela
Rapportera fel
Hitta den saknade sidan med Pythagoras sats
a Bestäm triangelns hypotenusa. Avrunda till en decimal vid behov.
25^2 + 5^2 = c^2
Sätt in 𝑎 = 25 och b=5 i Pythagoras sats.
625 + 25 = c^2
Beräkna kvadraterna.
650 = c^2
c= sqrt(650)≈ 25,5
Ta kvadratroten.
Svar: Hypotenusan är ungefär 25,5cm.
b Bestäm den saknade kateten i triangeln. Avrunda till en decimal vid behov.
3^2 + b^2 = 5^2
Sätt in a = 3 och c = 5 i Pythagoras sats.
9 + b^2 = 25
Beräkna kvadraterna.
b^2 = 16
Subtrahera 9 från båda leden.
b = sqrt(16) = 4
Ta kvadratroten.
Svar: Den andra kateten är 4m.
Övning
Dela
Rapportera fel
Hitta den okända sidlängden
Bestäm den saknade sidlängden i den givna rätvinkliga triangeln. Om det behövs, avrunda ditt svar till två decimaler.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Är triangeln rätvinklig?
En hög flaggstång har en vajer fäst i toppen. Flaggan, stången och vajern bildar en triangel.
Avgör om triangeln är en rätvinklig triangel.
a^2 + b^2 = c^2
Använd Pythagoras sats.
4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41
Sätt in sidlängderna.
sqrt(41) = 6,4
6,4 ≠ 6
Jämför med hypotenusan.
Eftersom 6,4 ≠ 6 är villkoret inte uppfyllt.
Svar: Triangeln är inte en rätvinklig triangel.
Övning
Dela
Rapportera fel
Är detta en rätvinklig triangel?
Använd Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är rätvinklig. Avrunda beräkningarna till en decimal.
Pythagoras sats Åk 9
Uppgifter
Hitta den saknade sidlängden för var och en av följande trianglar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"BC =","formTextAfter":null,"answer":{"text":["15"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"DF=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Triangeln är rätvinklig med kateter 9 och 12 enheter.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 9^2 + 12^2 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in kateterna i Pythagoras sats. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 81 + 144 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 225 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera termerna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> c = sqrt(225) = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Hypotenusan BC är 15 enheter lång. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
Rätvinklig triangel med hypotenusan 13 enheter och en katet 5 enheter. Den andra kateten saknas.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 + b^2 = 13^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in den kända kateten och hypotenusan i Pythagoras sats. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 25 + b^2 = 169 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 144 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 25 från båda sidor. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b = sqrt(144) = 12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Den saknade kateten DF är 12 enheter lång. </cell> </row>
security
report
code
Är varje given triangel en rätvinklig triangel? Förklara ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
22^2 + 40^2 ? = 45^2
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Kontrollera om Pythagoras sats gäller med den längsta sidan som hypotenusa.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 484 + 1 600 ? = 2 025 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 2 084 ≠ 2 025 * </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför resultaten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, triangeln är inte rätvinklig eftersom Pythagoras sats inte är uppfylld. </cell> </row>
<row>
<cell left="true" role="sol">
2^2 + 3^2 ? = (sqrt(13))^2
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Kontrollera om Pythagoras sats gäller med den längsta sidan som hypotenusa.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 4 + 9 ? = 13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 13 = 13 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför resultaten. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, triangeln är rätvinklig eftersom Pythagoras sats är uppfylld. </cell> </row>
security
report
code
En rätvinklig triangel har hypotenusan 10cm och den ena kateten 6cm. Bestäm den andra katetens längd.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["8"]}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> Hypotenusan är 10cm och den ena kateten är 6cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 6^2 + b^2 = 10^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats och kalla den saknade kateten för b. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 36 + b^2 = 100 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 64 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 36 från båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b = 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten av båda led. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Den andra kateten är 8cm. </cell> </row>
security
report
code
Emma skriver Pythagoras sats så här: w^2=u^2+v^2. Förklara vad u, v och w står för.
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> Pythagoras sats beskriver sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hur är Pythagoras sats uppbyggd? </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> w representerar hypotenusan. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hypotenusan är den längsta sidan och står ensam på ena sidan av likhetstecknet i w^2 = u^2 + v^2. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> u och v representerar de två kateterna. </cell> <cell right="true" role="exp"> Kateterna är de två kortare sidorna som bildar den räta vinkeln. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: w står för hypotenusan och u och v står för kateterna. </cell> </row>
security
report
code
En sned kabel är 26m lång och fäst 10m upp på en stolpe.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["24"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Kabeln är hypotenusan och mäter 26m.
Stolpen är en katet och mäter 10m.
Avståndet från stolpen till marken är den andra kateten.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 + 10^2 = 26^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att ställa upp en ekvation. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 + 100 = 676 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 = 576 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 100 från båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> a = sqrt(576) = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten av båda led. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Kabeln är förankrad 24m från stolpen. </cell> </row>
security
report
code
En flagga har formen av en rätvinklig triangel.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m^2","answer":{"text":["10,14"]}}
security
report
code
security
report
code
<row> <cell left="true" role="sol"> En katet är 3,9m och hypotenusan är 6,5m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 3,9^2 + b^2 = 6,5^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att hitta den saknade kateten. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 15,21 + b^2 = 42,25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 27,04 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 15,21 från båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> b = 5,2m </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> A = 3,9 * 5,2/2m^2 = 10,14m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna arean med formeln A = b * h/2. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Flaggans area är 10,14m^2. </cell> </row>
security
report
code
En skateboardramp ska nå upp till en höjd på 1,6m. Avståndet längs marken från rampens början till slutet är 3,0m. Hur lång måste rampen vara? Rampen bildar en rätvinklig triangel med marken.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["3,4"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Höjden (katet) är 1,6m.
Basen (katet) är 3,0m.
Rampens längd (hypotenusa) är x.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 1,6^2 + 3,0^2 = x^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats: a^2 + b^2 = c^2 </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 2,56 + 9,0 = x^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 = 11,56 </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x = sqrt(11,56) = 3,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur för att få x. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Rampen måste vara 3,4m lång. </cell> </row>
security
report
code
Hugo målar baksidan av sitt hus. För att nå den högsta punkten på väggen placerar han en 4m meter lång stege 1m från väggen. Hur högt över marken når stegen på väggen? Avrunda svaret till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"Cirka","formTextAfter":"m","answer":{"text":["3,9"]}}
security
report
code
security
report
code
<row>
<cell left="true" role="sol">
Stegen är 4m lång.
Stegens fot står 1m från väggen.
</cell>
<cell right="true" role="exp">
Börja med att skriva ner det du vet.
</cell>
</row>
<row> <cell role="sol"> Stegen, väggen och marken bildar en rätvinklig triangel. Stegen är hypotenusan och avståndet från väggen samt höjden på väggen är kateterna. </cell> </row>
<row> <cell role="exp"> Identifiera den geometriska figuren och dess delar.
</cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 1^2 + x^2 = 4^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats Åk9 för att hitta höjden x. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> 1 + x^2 = 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 1 från båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x = sqrt(15) </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x = 3,872983... </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna med miniräknare. </cell> </row>
<row> <cell left="true" role="sol"> x ≈ 3,9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>
<row> <cell role="sol"> Svar: Stegen når cirka 3,9 meter högt på väggen. </cell> </row>
security
report
code
Pythagoras sats Åk 9
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll