I denna applet finns fyra identiska rätvinkliga trianglar. Du kan flytta och rotera trianglarna. Utan att låta dem överlappa, försök att placera trianglarna så att de tillsammans bildar ett mönster som ser ut som en kvadrat inuti en kvadrat.

Drag, släpp och rotera

Dra i trianglarnas hörn för att rotera dem, drag och släpp trianglarna in till rätt position i den kvadratiska mallen nedanför.

Fyra identiska flyttbara rätvinkliga trianglar.

Teori

Pythagoras sats

I en rätvinklig triangel kallas de två sidor som bildar den räta vinkeln för kateter, och sidan mittemot den räta vinkeln kallas hypotenusa.

Sambandet mellan kateter och hypotenusa i en rätvinklig triangel

I en rätvinklig triangel (och endast i rätvinkliga trianglar) är summan av kvadraterna på kateternas längder lika stor som kvadraten på hypotenusans längd.

Pythagoras sats

Om kateterna har längderna a och b och hypotenusan har längden c, kan sambandet skrivas så här:

a^2+b^2 = c^2

En triangel är också rätvinklig om sidorna passar ihop på det sättet att kvadraterna på två av sidorna tillsammans blir lika stora som kvadraten på den tredje sidan. När det sambandet stämmer vet vi att triangeln har en rät vinkel — även utan att det syns i figuren.

Exempel

Vi undersöker en rätvinklig triangel där kateterna är 6cm och 8cm. Målet är att bestämma hypotenusan.

Med Pythagoras sats får vi:

& 6^2 + 8^2 = c^2 & 36 + 64 = c^2 & 100 = c^2 & c = 10

Hypotenusan är alltså 10cm lång.

Den geometriska idén bakom satsen

För att förstå varför satsen fungerar kan vi titta närmare på samma triangel. Om vi ritar en kvadrat på varje sida av triangeln ser vi hur areorna hänger ihop:

Kvadraten på 6cm-sidan har arean 6^2cm^2 = 36cm^2.
Kvadraten på 8cm-sidan har arean 8^2cm^2 = 64cm^2.
Kvadraten på 10cm-sidan har arean 10^2cm^2 = 100cm^2.

De två mindre kvadraterna har tillsammans arean:

(36 + 64)cm^2 = 100cm^2

vilket precis motsvarar arean av den stora kvadraten. Det är därför sambandet a^2 + b^2 = c^2 alltid gäller i en rätvinklig triangel: kateternas kvadrater får plats exakt i hypotenusans kvadrat.

Visste du detta?

Det är detta geometriska samband som Pythagoras upptäckte för ungefär 2 500 år sedan.

Exempel

Hitta den saknade sidan med Pythagoras sats

Bestäm triangelns hypotenusa. Avrunda till en decimal vid behov.

25^2 + 5^2 = c^2

Sätt in 𝑎 = 25 och b=5 i Pythagoras sats.

625 + 25 = c^2

Beräkna kvadraterna.

650 = c^2

c= sqrt(650)≈ 25,5

Ta kvadratroten.

Svar: Hypotenusan är ungefär 25,5cm.

Bestäm den saknade kateten i triangeln. Avrunda till en decimal vid behov.

3^2 + b^2 = 5^2

Sätt in a = 3 och c = 5 i Pythagoras sats.

9 + b^2 = 25

Beräkna kvadraterna.

b^2 = 16

Subtrahera 9 från båda leden.

b = sqrt(16) = 4

Ta kvadratroten.

Svar: Den andra kateten är 4m.

Övning

Hitta den okända sidlängden

Bestäm den saknade sidlängden i den givna rätvinkliga triangeln. Om det behövs, avrunda ditt svar till två decimaler.

Räkna ut sidlängden för sidan x.

Exempel

Är triangeln rätvinklig?

En hög flaggstång har en vajer fäst i toppen. Flaggan, stången och vajern bildar en triangel.

Avgör om triangeln är en rätvinklig triangel.

a^2 + b^2 = c^2

Använd Pythagoras sats.

4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41

Sätt in sidlängderna.

sqrt(41) = 6,4

6,4 ≠ 6

Jämför med hypotenusan.

Eftersom 6,4 ≠ 6 är villkoret inte uppfyllt.

Svar: Triangeln är inte en rätvinklig triangel.

Övning

Är detta en rätvinklig triangel?

Använd Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är rätvinklig. Avrunda beräkningarna till en decimal.

Avgör ifall följande triangel är rätvinklig eller ej.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Pythagoras sats Åk 9

Uppgifter

Hitta den saknade sidlängden för var och en av följande trianglar.

<row> <cell left="true" role="sol"> Triangeln är rätvinklig med kateter 9 och 12 enheter. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 9^2 + 12^2 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in kateterna i Pythagoras sats. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 81 + 144 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 225 = c^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Addera termerna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> c = sqrt(225) = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Hypotenusan BC är 15 enheter lång. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Rätvinklig triangel med hypotenusan 13 enheter och en katet 5 enheter. Den andra kateten saknas. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5^2 + b^2 = 13^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Sätt in den kända kateten och hypotenusan i Pythagoras sats. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 25 + b^2 = 169 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 144 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 25 från båda sidor. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b = sqrt(144) = 12 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den saknade kateten DF är 12 enheter lång. </cell> </row>

Är varje given triangel en rätvinklig triangel? Förklara ditt svar.

Triangel PQR har sidor med längderna sqrt(13), 3 och 2.

<row> <cell left="true" role="sol"> 22^2 + 40^2 ? = 45^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera om Pythagoras sats gäller med den längsta sidan som hypotenusa. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 484 + 1 600 ? = 2 025 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 084 ≠ 2 025 * </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför resultaten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Nej, triangeln är inte rätvinklig eftersom Pythagoras sats inte är uppfylld. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2^2 + 3^2 ? = (sqrt(13))^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Kontrollera om Pythagoras sats gäller med den längsta sidan som hypotenusa. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 + 9 ? = 13 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 13 = 13 ✓ </cell> <cell right="true" role="exp"> Jämför resultaten. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Ja, triangeln är rätvinklig eftersom Pythagoras sats är uppfylld. </cell> </row>

En rätvinklig triangel har hypotenusan 10cm och den ena kateten 6cm. Bestäm den andra katetens längd.

<row> <cell left="true" role="sol"> Hypotenusan är 10cm och den ena kateten är 6cm. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 6^2 + b^2 = 10^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats och kalla den saknade kateten för b. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 36 + b^2 = 100 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 64 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 36 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b = 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten av båda led. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Den andra kateten är 8cm. </cell> </row>

Emma skriver Pythagoras sats så här: w^2=u^2+v^2. Förklara vad u, v och w står för.

<row> <cell left="true" role="sol"> Pythagoras sats beskriver sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hur är Pythagoras sats uppbyggd? </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> w representerar hypotenusan. </cell> <cell right="true" role="exp"> Hypotenusan är den längsta sidan och står ensam på ena sidan av likhetstecknet i w^2 = u^2 + v^2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> u och v representerar de två kateterna. </cell> <cell right="true" role="exp"> Kateterna är de två kortare sidorna som bildar den räta vinkeln. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: w står för hypotenusan och u och v står för kateterna. </cell> </row>

En sned kabel är 26m lång och fäst 10m upp på en stolpe.

Hur långt från stolpen är kabeln förankrad i marken?

<row> <cell left="true" role="sol"> Kabeln är hypotenusan och mäter 26m.
Stolpen är en katet och mäter 10m.
Avståndet från stolpen till marken är den andra kateten. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 + 10^2 = 26^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att ställa upp en ekvation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 + 100 = 676 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a^2 = 576 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 100 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a = sqrt(576) = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Ta kvadratroten av båda led. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Kabeln är förankrad 24m från stolpen. </cell> </row>

En flagga har formen av en rätvinklig triangel.

Använd informationen i diagrammet för att bestämma flaggans area.

<row> <cell left="true" role="sol"> En katet är 3,9m och hypotenusan är 6,5m. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3,9^2 + b^2 = 6,5^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats för att hitta den saknade kateten. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 15,21 + b^2 = 42,25 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b^2 = 27,04 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 15,21 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> b = 5,2m </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> A = 3,9 * 5,2/2m^2 = 10,14m^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna arean med formeln A = b * h/2. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Flaggans area är 10,14m^2. </cell> </row>

En skateboardramp ska nå upp till en höjd på 1,6m. Avståndet längs marken från rampens början till slutet är 3,0m. Hur lång måste rampen vara? Rampen bildar en rätvinklig triangel med marken.

<row> <cell left="true" role="sol"> Höjden (katet) är 1,6m.
Basen (katet) är 3,0m.
Rampens längd (hypotenusa) är x. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1,6^2 + 3,0^2 = x^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats: a^2 + b^2 = c^2 </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2,56 + 9,0 = x^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = sqrt(11,56) = 3,4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra roten ur för att få x. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Rampen måste vara 3,4m lång. </cell> </row>

Hugo målar baksidan av sitt hus. För att nå den högsta punkten på väggen placerar han en 4m meter lång stege 1m från väggen. Hur högt över marken når stegen på väggen? Avrunda svaret till en decimal.

<row> <cell left="true" role="sol"> Stegen är 4m lång.
Stegens fot står 1m från väggen. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Stegen, väggen och marken bildar en rätvinklig triangel. Stegen är hypotenusan och avståndet från väggen samt höjden på väggen är kateterna. </cell> </row>

<row> <cell role="exp"> Identifiera den geometriska figuren och dess delar.

</cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1^2 + x^2 = 4^2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd Pythagoras sats Åk9 för att hitta höjden x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 + x^2 = 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna kvadraterna. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x^2 = 15 </cell> <cell right="true" role="exp"> Subtrahera 1 från båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = sqrt(15) </cell> <cell right="true" role="exp"> Dra kvadratroten ur båda led. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x = 3,872983... </cell> <cell right="true" role="exp"> Beräkna med miniräknare. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> x ≈ 3,9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Avrunda till en decimal. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Stegen når cirka 3,9 meter högt på väggen. </cell> </row>

Pythagoras sats Åk 9

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan