Dashboard

Årskurs 9 Visa detaljer

3. Proportion och ekvation Åk 9

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 9 /

Kapitel 3

Proportion och ekvation Åk 9

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	24 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Proportion och ekvation Åk 9

Sida av 7

I den här lektionen går vi igenom följande ord och begrepp:

Proportion

Förkunskaper

Ekvationer

Teori

Proportion

En proportion beskriver hur två storheter förhåller sig till varandra.

Exempel

På bilden ser vi 6 blå och 9 gröna kulor.

Vi säger att proportionen mellan antalet blå och gröna kulor är 6/9. Om vi förkortar bråket med 3 får vi följande:

6/9 = 6 / 3/9 / 3 = 2/3

Det innebär att antalet blå och gröna kulor förhåller sig som 2:3 (två till tre).

Omvänd ordning

Vi kan också vända på det och uttrycka proportionen genom att byta ordning mellan gröna och blå kulor. Eftersom det är 9 gröna och 6 blå kulor får vi att proportionen är:

9/6 = 9 / 3/6 / 3 = 3/2

Det kan också skrivas som 3 : 2 (tre till två).

Teori

Räkna med proportion

Vi har ett problem med kulor. Förhållandet mellan röda och gula kulor i en stor skål är 5:8. Totalt finns det 390 kulor i skålen. Vi vill räkna ut hur många som är röda och hur många som är gula.

Beräkning	Förklaring
5 + 8 = 13	Förhållandet 5:8 betyder att för varje 5 röda kulor finns det 8 gula kulor.
5 * 2 + 8 * 2 = 26	Vi dubblerade antalet kulor, men summan är inte 390.
5 * 3 + 8 * 3 = 39	Vi tredubblade antalet kulor, men summan är fortfarande inte 390.

Vi skulle kunna fortsätta så här, men det finns ett snabbare sätt att lösa det. Vi säger att x är det tal vi ska multiplicera med. Då kan vi skriva:

5* x + 8* x = 390

Vi löser denna ekvation för x.

5x + 8x & = 390 [0.4em] 13x & = 390 [0.5em] 13x/13 & = 390/13 [0.8em] x & = 30

Nu kan vi beräkna det faktiska antalet:

Röda kulor: 5* 30 = 150
Gula kulor: 8* 30 = 240

Så det finns 150 röda kulor och 240 gula kulor i skålen.

Steg

Skriv förhållandet som en summa av delar.

Använd det totala antalet för att bilda en ekvation.

Skriv x som en multiplikator för hela förhållandet.

Lös ekvationen.

Beräkna varje del med hjälp av x.

Exempel

Utforska förhållanden som används vid brödbakning

Ett typiskt förhållande mellan vatten och mjöl proportion som används i brödrecept är 3:5. Den följande tabellen kan användas för att utforska de motsvarande proportionerna i detta specifika recept.

Muggar vatten	3	6	9	B
Muggar mjöl	5	A	15	20

Men det ser ut som att tabellen saknar vissa värden. Vad är värdena för A och B som kompletterar tabellen?

Förhållandet är 3:5, alltså 3/5.

Skriv ner grundförhållandet. Det används för alla värden i tabellen.

3 * 2/5 * 2 = 6/10

Alltså är A = 10.

6 fås genom att multiplicera 3 med 2. Då måste mjölmängden också multipliceras med 2.

3 * 4/5 * 4 = 12/20

Alltså är B = 12.

20 fås genom att multiplicera 5 med 4. Då måste vattenmängden multipliceras med samma faktor.

Svar: A = 10 och B = 12

Exempel

Blanda en italiensk läsk

Italiensk läsk görs vanligtvis genom att blanda en smaksatt sirap, till exempel jordgubb, med kolsyrat vatten. Proportionen av kolsyrat vatten till sirap kan justeras efter smak, men ett typiskt val är 3:1.

Hur många milliliter sirap och hur många milliliter kolsyrat vatten behövs för att göra 2 liter italiensk läsk med denna proportion?

Förhållandet: 3:1.

Önskad mängd: 2 liter

Börja med att skriva ner det du vet.

3x+x = 2 000

Låt x vara mängden sirap i milliliter. Då är mängden vatten 3x. Summan av dem ska vara lika med 2 liter eller 2 000 milliliter.

4x = 2 000

4x/4 = 2 000/4

Dividera båda leden med 4 för att lösa ut x.

x = 500

Mängd sirap: 1 * 500 = 500ml

Mängd kolsyrat vatten: 3 * 500 = 1500ml

Multiplicera varje del i förhållandet med 500 för att få de faktiska mängderna.

Svar: 1 500ml kolsyrat vatten och 500ml sirap bör användas för att göra italiensk läsk.

Exempel

Göra en fruktsallad

Hugo längtar efter frukt och går till marknaden för att köpa jordgubbar, blåbär och körsbär. Han planerar att göra en läcker fruktsallad.

Jordgubbar, blåbär och körsbär blandas i proportionen 2:5:3. Om salladen innehåller 45 blåbär, hur många jordgubbar och körsbär används?

Förhållande:

jordgubbar : blåbär : körsbär =2:5:3

Antal blåbär i salladen: 45

Börja med att skriva ner proportionerna.

Antal blåbär i salladen: 45

Du använder blåbären för att hitta skalningsfaktorn.

jordgubbar=2x

blåbär=5x

körsbär=3x

Låt x vara faktorn som multiplicerar proportionen.

5x = 45

Du använder blåbären eftersom deras antal är känt.

x = 45/5 = 9

Lös ekvationen för x.

jordgubbar= 2 * 9 = 18

körsbär=3 * 9 = 27

Multiplicera talen i proportionen med skalningsfaktorn 9 för att få antalen.

Svar: I salladen används 18 jordgubbar och 27 körsbär.

Exempel

Att göra en karamellsirap

Julia vill göra en karamellsirap genom att blanda vatten och socker i en viss proportion. Hon använde 2 glas vatten och höll proportionen mellan vatten och socker till 4:3.

Tyvärr blev sirapen för tjock och söt, så hon bestämde sig för att ändra proportionen till 5:3. Hur många glas vatten behöver Julia tillsätta till den redan blandade sirapen?

Vatten: 2 glas

Initial proportion: 4:3

Önskad proportion: 5:3

Börja med att skriva ner det du vet.

2/s = 4/3

Låt s vara den ursprungliga mängden socker. Då är förhållandet mellan 2 glas vatten och s glas socker 4:3.

2 * 3 = s * 4

Använd korsmultiplikation.

6 = 4s

s = 6/4 = 1,5

Lös ekvationen för s.

Julia använde ursprungligen 1,5 glas socker.

2+x/1,5 = 5/3

Låt mängden vatten som ska tillsättas vara x glas. Då blir den nya proportionen 2 + x/1,5, och den ska vara lika med 5:3.

3 * (2+x) = 1,5 * 5

Använd korsmultiplikation.

6+ 3x = 7,5

Multiplicera 3 med varje term inom parentes och multiplicera 1,5 med 5.

3x = 1,5

Subtrahera 6 från båda leden.

x = 0,5

Dividera båda leden med 3.

Svar: Julia bör tillsätta 0,5 glas vatten till sin sirap för att späda ut den.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Proportion och ekvation Åk 9

Uppgifter

Nedanstående visar kulor i olika färger.

Vad är proportionen mellan antalet orange och blå kulor?

Vad är proportionen mellan antalet orange och röda kulor? Svara i enklaste form.

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal orange kulor: 4
Antal blå kulor: 5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
4/5= 4:5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom det finns 4 orange och 5 blå kulor, är proportionen mellan orange och blå kulor 4/5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal orange kulor: 4
Antal röda kulor: 8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
4/8= </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom det finns 4 orange och 8 röda kulor, är proportionen mellan orange och röda kulor 4/8. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =4/4/8/4 =1/2= 1:2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Förkorta bråket med 4 för att skriva det i enklaste form. </cell> </row>

Vilken är proportionen mellan talen? Svara i enklaste form.

3 och 9

6 och 15

15 och 10

24 och 18

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
3/9= </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionen är 3 till 9, vilket kan skrivas som 3/9. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =3/3/9/3=1/3= </cell> <cell right="true" role="exp"> Både 3 och 9 är delbara med 3, så förkorta bråket med 3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> = 1:3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan också skriva proportionen som 1:3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
6/15= </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionen mellan siffrorna är 6/15. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =6/3/15/3 =2/5= 2:5 </cell> <cell right="true" role="exp"> 6/15 kan förkortas med 3 till 2/5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
15/10= </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionen mellan siffrorna är 15/10. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> =15/5/10/5 =3/2= 3:2 </cell> <cell right="true" role="exp"> 15/10 kan förkortas med 5 till 3/2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Proportionen:
24/18=4/3 = 4:3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionen mellan siffrorna är 24/18, vilket kan förkortas med 6 till 4/3.
24/18=24/6/18/6=4/3 </cell> </row>

Lös ekvationen. Om det behövs, avrunda till närmaste hundradel.

2/7=16/m

n/6=17/4

9/11,5=a/32

<row> <cell left="true" role="sol"> 2 * m = 7 * 16 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan lösa ekvationen med hjälp av korsmultiplikation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 2m/2 = 112/2 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 2. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 * n = 6 * 17 </cell> <cell right="true" role="exp"> Använd korsmultiplikation för att lösa ekvationen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4n/4 = 102/4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 32 * 9 = 11,5 * a </cell> <cell right="true" role="exp"> Lös ekvationen med hjälp av korsmultiplikation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 288/11,5 = 11,5a/11,5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 11,5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> a = 25,0434 ... ≈ 25,04 </cell> <cell right="true" role="exp"> 288/11,5 = 25,0434 ... och det är 25,04 avrundat till hundradelar. </cell> </row>

Det nya avancerade Shiny Glow Cleaner kan tvätta 148 bilar på 4 timmar. I den takten, hur många bilar kan den tvätta på 9 timmar?

<row> <cell left="true" role="sol"> På 4 timmar tvättas 148 bilar.
På 9 timmar tvättas x bilar. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4/148= 9/x </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan ställa upp en ekvation. Proportionen mellan antalet timmar och antalet bilar är 4 till 148. Denna proportion måste vara lika med proportionen mellan 9 och x. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4 * x = 148* 9 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda korsmultiplikation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4x/4 = 1 332/4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 4. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Shiny Glow Cleaner kan tvätta 333 bilar på 9 timmar. </cell> </row>

Alex vill göra en modell av världens högsta byggnad, Burj Khalifa. I deras modell motsvarar 1 centimeter 8 meter av den faktiska byggnaden. Burj Khalifa är 828 meter hög. Hur hög kommer Alexs modell att bli?

<row> <cell left="true" role="sol"> I modellen motsvarar 1cm 8m av den verkliga byggnaden.
Burj Khalifa höjd: 828m
Modellhöjd: hm </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet och tilldela en variabel till det okända värdet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1/8= h/828 </cell> <cell right="true" role="exp"> Proportionen mellan en längd på modellen och motsvarande längd på den verkliga byggnaden är 1cm till 8m. Denna proportion gäller även för modellens höjd hcm och byggnadens faktiska höjd 828m. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 1 * 828 = 8* h </cell> <cell right="true" role="exp"> Du kan använda korsmultiplikation. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 828/8 = 8h/8 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 4. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Modellen som Alex gör kommer att vara 103,5 centimeter hög. </cell> </row>

En undersökning frågade 100 personer om de föredrar katter eller hundar.

Resultaten visade att proportionen av människor som föredrar hundar i förhållande till dem som föredrar katter är 3:2. Hur många personer föredrar hundar? Hur många personer föredrar katter?

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal personer: 100
Proportionen hundälskare till kattälskare är 3:2. </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal som föredrar hundar = 3x
Antal som föredrar katter =2x </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt x vara variabeln som multiplicerar talen i proportionen. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 3x+2x = 100 </cell> <cell right="true" role="exp"> Eftersom 100 personer har tillfrågats måste summan av 3x och 2x vara 100. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 5x/5 = 100/5 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 5. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Antal som föredrar hundar = 3 * 20 = 60
Antal som föredrar katter =2 * 20 = 40 </cell> <cell right="true" role="exp"> Nu när du vet att x=20 kan du ta reda på hur många som föredrar hundar och hur många som föredrar katter. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Antalet personer som föredrar hundar är 60 och antalet som föredrar katter är 40. </cell> </row>

Varannan lördag går Jafar till en återvinningsanläggning för att ansvarsfullt bli av med sin familjs skräp.

Proportionen av glas-, plast- och metalldelar som Jafar slängde denna lördag är 2:4:3. Om han slängde 24 plastartiklar, hur många artiklar slängde Jafar totalt?

<row> <cell left="true" role="sol"> glas : plast : metall =2:4:3
Antal plastföremål: 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Börja med att skriva ner det du vet. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> glas=2x
plast=4x
metall=3x </cell> <cell right="true" role="exp"> Låt x vara variabeln som multiplicerar talen i proportionen. </cell> </row> <row> <cell left="true" role="sol"> 4x = 24 </cell> <cell right="true" role="exp"> Jafar kastade 24 plastföremål, så 4x måste vara lika med 24. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> 4x/4 = 24/4 </cell> <cell right="true" role="exp"> Dividera båda leden med 4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> glas=2 * 6 =12
plast=4* 6 = 24
metall=3 * 6 =18
Total=12+24+18 = 54 </cell> <cell right="true" role="exp"> Du fann att x=6. Använd det för att beräkna antalet av varje föremål. </cell> </row>

<row> <cell role="sol"> Svar: Jafar återvann 54 föremål denna lördag. </cell> </row>

Oskar är 15 år och Elin är 20 år. Proportionen mellan våra åldrar är 3:4, säger Oskar. Nej, den är 4:3, säger Elin. Vem har rätt? Förklara ditt resonemang.

<row> <cell left="true" role="sol"> Oskars påstående:
Oskars ålder/Elins ålder = 15/20 = 3/4
</cell> <cell right="true" role="exp"> Ett förhållande jämför två tal i en viss ordning. Detta visar att förhållandet mellan Oskars ålder och Elins ålder är 3:4. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Elins påstående:
Elins ålder/Oskars ålder = 20/15 = 4/3 </cell> <cell right="true" role="exp"> Detta visar att förhållandet mellan Elins ålder och Oskars ålder är 4:3. </cell> </row>

<row> <cell left="true" role="sol"> Både Oskar och Elin har rätt. Förhållandet beror på vem som anges först, och båda förhållandena visar hur Oskars och Elins åldrar jämförs. </cell> <cell right="true" role="exp">

</cell> </row>

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan