Logga in
| 9 sidor teori |
| 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
Genom att flytta den blåa rutan till talet 12 ser du att talet är delbart med talen 1, 2, 3, 4 och 6. Om du flyttar rutan till talet 11, ser du att talet endast är delbart med 1 och sig själv. Använd den blåa rutan för att hitta tre andra tal med samma egenskap som talet 11.
Ett primtal är ett naturligt tal större än 1, som bara är delbart med 1 och sig själv.
Tal | Faktorer | Är det ett primtal? |
---|---|---|
5 | 1 och 5 | ✓ |
6 | 1, 2, 3, och 6 | × |
7 | 1 och 7 | ✓ |
Naturliga tal som har fler än två faktorer kallas för sammansatta tal. Några viktiga egenskaper hos primtal och sammansatta tal visas i tabellen nedan.
Primtal | Sammansatt tal |
---|---|
Ett primtal har bara två faktorer. | Ett sammansatt tal har fler än två faktorer. |
Det enda jämna primtalet är 2. | Alla jämna tal större än 2 är ett sammansatt tal. |
Alla heltal större än 1 är antingen ett primtal eller ett sammansatt. | |
1 är varken ett primtal eller ett sammansatt tal. |
Den grekiske matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta primtal upp till ett visst tal. Metoden går ur på att man tar bort multiplar av varje primtal, för att på så sätt kunna hitta alla primtal. Nedan beskrivs stegen för hur man hittar alla primtal mellan 1 och 100.
Ett primtal är delbart endast med 1 och sig själv. Ett sammansatt tal är delbart med fler än två faktorer.
Om man vill dela upp ett stort tal i primfaktorer kan det vara bra att använda ett faktorträd. Ett faktorträd är ett diagram som visar hur talet delas upp i primtalsfaktorer. Nedan kan du se en primtalsfaktorisering av talet 36. Du får primtalsfaktoriseringen av talet genom att skriva upp produkten av alla primtalsfaktorer som visas i slutet av grenarna. Bygg upp faktorträdet genom att klicka fram en gren i taget.
Nyckel | Primtalsfaktorisering | Största primtalsfaktor | Bokstav |
---|---|---|---|
64 | 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 | 2 | B |
150 | 2⋅3⋅5⋅5 | 5 | E |
418 | 2⋅11⋅19 | 19 | S |
528 | 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅11 | 11 | K |
Det hemliga meddelandet som avslöjas av dessa nycklar är då BESK
.
Eulers ϕ-funktion, ϕ(n), anger hur många positiva heltal mindre än n som är relativt prima med n. Om två tal är relativt prima betyder det att de inte har några gemensamma positiva heltalsfaktorer. Till exempel är ϕ(4)=2 eftersom det finns 2 positiva heltal mindre än 4 som är relativt prima med 4 (1 och 3). 2 och 4 är inte relativt prima eftersom de har 2 som gemensam faktor. Bestäm
Vi vill alltså hitta alla positiva heltal mindre än 12 som är relativt prima med 12. Vi kan börja med att lista dem alla positiva heltal mindre än 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är ett jämnt tal så alla jämna tal har en gemensam primtalsfaktor (2) med 12. Vi kan därför stryka dem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är även delbart med 3. Därför stryker vi även de tal som också är delbara med 3, dvs. 3 och 9. 1, 3, 5, 7, 9 och 11. Nu har vi 1, 5, 7 och 11 kvar. Det finns inget heltal som delar både 12 och någon av dem, så alla de är relativt prima med 12. Det är fyra tal så ϕ(12)=4.
Nu ska vi hitta hur många positiva heltal mindre än 17 vilka är relativt prima med 17. Men 17 är ett primtal. Det kan alltså inte ha någon gemensam primtalsfaktor med någon av heltalen mellan 1 och 16. Då hade det ju inte varit ett primtal. Alla positiva heltal mindre än 17 är alltså relativt prima med 17. Det är 16 stycken tal så ϕ(17)=16.
Om p är ett primtal finns det inget positivt heltal mindre än p, förutom 1, som delar p. Därför är alla positiva heltal mindre än p relativt prima med p. Det finns p-1 positiva heltal mindre än p så ϕ(p)=p-1.
Vi börjar med att dela upp bråket till en summa.
Nu har vi skrivit om bråket till 1+ ba. Vad hjälper det? Jo, nu står det 1 plus ett bråk
och för att detta ska vara ett heltal måste bråket vara ett heltal. Detta innebär att a ska vara en faktor i täljaren. Men b är ju ett primtal och innehåller bara faktorerna 1 och b. För att ba ska bli ett heltal måste därför täljaren vara samma primtal som i nämnaren, dvs. b=a.
Det enda heltalet som kan skapas är om b=a och då får man 2.
För att a+ba ska vara ett heltal, måste vi kunna bryta ut a i täljaren. Täljaren är (a+b) och a innehåller faktorn a eftersom a=a * 1. Men gör b det? Det är ett primtal och kan därför bara faktoriseras enligt b=1* b. För att a ska vara en faktor i b måste därför b=a.
Vi är klara.
För att lösa uppgiften måste vi hitta en faktor som kan brytas ut från båda termer. Termerna 3^(34) och 3^(31) består av en massa treor som multiplicerats. Genom att skriva om 3^(34) med potenslagarna kan vi bryta ut 3^(31) från termerna.
Nu har vi skapat två faktorer där den första består av 31 treor som multiplicerats, dvs. den består endast av primtalsfaktorn 3. Den andra faktorn är den innanför parentesen. Genom att förenkla uttrycket kan vi bryta ner det i ytterligare primtalsfaktorer.
Från uttrycket ser vi att det finns tre unika primtalsfaktorer, nämligen 3, 2 och 7. Av dessa är 7 störst, vilket blir vårt svar.
Vi ser att alla termer är potenser med basen 4 fast med olika exponenter. Genom att dela upp exponenterna i termer och därefter använda potenslagarna kan vi bryta ut 4^(40). Detta ger oss möjlighet att hitta några primtalsfaktorer.
Summan innehåller alltså en 3:a och en 7:a. Men vi är inte riktigt klara än, 4^(40) är fyrtio 4:or som multiplicerats. Men 4 är inget primtal! Primtalsfaktoriseras 4 får vi 2* 2 eller skrivet som potens 2^2. Vi använder detta för att färdigställa primtalsfaktoriseringen.
Antalet primtalsfaktorer är alltså åttio stycken 2:or, en 3:a och en 7:a, dvs. totalt 82 primtalsfaktorer.
För att beräkna produkten måste vi veta vad primtalen är. Från uppgiften vet vi att summan av dem är 82 vilket ger oss ekvationen: a+b+c+d=82. Vi vet även att b är 4 mindre än c samt att b är 54 mindre än d och vi kan alltså skriva identiteterna c=b+4 och d=b+54. Vi ersätter c och d med identiteterna och förenklar. Mot slutet dividerar vi med 3 för att kunna utnyttja primtals speciella egenskaper gällande delbarhet.
Vi stannar upp och tittar på det vi vet. Vi har en ekvation med två variabler och behöver alltså veta den ena variabeln för att lösa ut den andra. Eftersom både 8 och b är heltal (b är t.o.m. ett primtal) kommer högerledet att blir ett heltal. Då måste även kvoten i vänsterledet, a/3, bli ett heltal. Alltså måste a vara delbart med 3. Men a var ju ett primtal, dvs. endast delbart med 1 och sig självt. Så för att a ska vara ett primtal och för att a3 ska bli ett heltal måste a vara samma tal som det delas med, dvs. 3. Vi sätter in a=3 och räknar vidare.
Då har vi bestämt två av primtalen, a=3 och b= 7. Med denna information kan vi även bestämma de två sista primtalen: c= 7+4=11 och d= 7+54=61. Nu när vi har alla primtal är det bara att beräkna deras produkt.
Produkten blir alltså 14091.