Primtal förklaring: Vad primtal är och hur primtalsfaktorisering fungerar

Tal	Faktorer	Är det ett primtal?
$5$	$1$ och $5$	$✓$
$6$	$1,$ $2,$ $3,$ och $6$	$\times$
$7$	$1$ och $7$	$✓$

Tal

Faktorer

Är det ett primtal?

5

1

och

5

✓

6

1,

2,

3,

och

6

\times

7

1

och

7

✓

Primtal	Sammansatt tal
Ett primtal har bara två faktorer.	Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.
Det enda jämna primtalet är $2 .$	Alla jämna tal större än $2$ är ett sammansatt tal.
Alla heltal större än $1$ är antingen ett primtal eller ett sammansatt.
$1$ är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Primtal

Sammansatt tal

Ett primtal har bara två faktorer.

Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.

Det enda jämna primtalet är

2 .

Alla jämna tal större än

2

är ett sammansatt tal.

Alla heltal större än

1

är antingen ett primtal eller ett sammansatt.

1

är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Nyckel	Primtalsfaktorisering	Största primtalsfaktor	Bokstav
$64$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$2$	B
$150$	$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$	$5$	E
$418$	$2 \cdot 11 \cdot 19$	$19$	S
$528$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$	$11$	K

Nyckel

Primtalsfaktorisering

Största primtalsfaktor

Bokstav

64

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

150

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

5

418

2 \cdot 11 \cdot 19

19

528

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11

11

Eulers $ϕ -$ funktion, $ϕ (n),$ anger hur många positiva heltal mindre än $n$ som är relativt prima med $n .$ Om två tal är relativt prima betyder det att de inte har några gemensamma positiva heltalsfaktorer. Till exempel är $ϕ (4) = 2$ eftersom det finns $2$ positiva heltal mindre än $4$ som är relativt prima med $4$ ( $1$ och $3$ ). $2$ och $4$ är inte relativt prima eftersom de har $2$ som gemensam faktor. Bestäm

ϕ (12)

ϕ (17)

ϕ (p),

p

är ett primtal.

Vi vill alltså hitta alla positiva heltal mindre än 12 som är relativt prima med 12. Vi kan börja med att lista dem alla positiva heltal mindre än 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är ett jämnt tal så alla jämna tal har en gemensam primtalsfaktor (2) med 12. Vi kan därför stryka dem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är även delbart med 3. Därför stryker vi även de tal som också är delbara med 3, dvs. 3 och 9. 1, 3, 5, 7, 9 och 11. Nu har vi 1, 5, 7 och 11 kvar. Det finns inget heltal som delar både 12 och någon av dem, så alla de är relativt prima med 12. Det är fyra tal så ϕ(12)=4.

Nu ska vi hitta hur många positiva heltal mindre än 17 vilka är relativt prima med 17. Men 17 är ett primtal. Det kan alltså inte ha någon gemensam primtalsfaktor med någon av heltalen mellan 1 och 16. Då hade det ju inte varit ett primtal. Alla positiva heltal mindre än 17 är alltså relativt prima med 17. Det är 16 stycken tal så ϕ(17)=16.

Om p är ett primtal finns det inget positivt heltal mindre än p, förutom 1, som delar p. Därför är alla positiva heltal mindre än p relativt prima med p. Det finns p-1 positiva heltal mindre än p så ϕ(p)=p-1.

Vilken är den största primtalsfaktorn i summan?

3^{34} + 3^{31}

För att lösa uppgiften måste vi hitta en faktor som kan brytas ut från båda termer. Termerna 3^(34) och 3^(31) består av en massa treor som multiplicerats. Genom att skriva om 3^(34) med potenslagarna kan vi bryta ut 3^(31) från termerna.

Nu har vi skapat två faktorer där den första består av 31 treor som multiplicerats, dvs. den består endast av primtalsfaktorn 3. Den andra faktorn är den innanför parentesen. Genom att förenkla uttrycket kan vi bryta ner det i ytterligare primtalsfaktorer.

Från uttrycket ser vi att det finns tre unika primtalsfaktorer, nämligen 3, 2 och 7. Av dessa är 7 störst, vilket blir vårt svar.

När man undersöker om ett tal

a

är ett primtal kan man testa det genom att dividera

a

med alla primtal mindre än eller lika med ett visst tal. Vilket tal är detta? (Det är inte

a!

)

Roten ur ett tal a anger vilka två identiska faktorer du måste multiplicera för att få a. Låt oss ta ett exempel med det sammansatta talet 64. Etersom sqrt(64)=8 vet vi att 64 = 8* 8. Vad händer om vi ökar en av faktorerna? Ja då måste vi ju sänka den andra om produkten fortfarande ska bli 64, t.ex. 64=4* 16 eller 64=2* 32. Om ett sammansatt tal a har en primtalsfaktor större än sqrt(a) måste den då också ha en annan primtalsfaktor som är mindre än sqrt(a). Hittar vi inga primtalsfaktorer som är mindre än sqrt(a) kan det därför inte heller finnas några som är större än sqrt(a). Vi behöver alltså bara undersöka om a är delbart med alla primtal som är mindre än eller lika med dess kvadratrot, sqrt(a)!

Hur många primtalsfaktorer består följande summa av?

4^{40} + 4^{41} + 4^{42}

Vi ser att alla termer är potenser med basen 4 fast med olika exponenter. Genom att dela upp exponenterna i termer och därefter använda potenslagarna kan vi bryta ut 4^(40). Detta ger oss möjlighet att hitta några primtalsfaktorer.

Summan innehåller alltså en 3:a och en 7:a. Men vi är inte riktigt klara än, 4^(40) är fyrtio 4:or som multiplicerats. Men 4 är inget primtal! Primtalsfaktoriseras 4 får vi 2* 2 eller skrivet som potens 2^2. Vi använder detta för att färdigställa primtalsfaktoriseringen.

Antalet primtalsfaktorer är alltså åttio stycken 2:or, en 3:a och en 7:a, dvs. totalt 82 primtalsfaktorer.

Summan av fyra primtal, som vi kallar

a, b

och

c

är

21 .

Du vet att

b

är

4

mindre än

c

samt att

b

är

54

mindre än

d .

Beräkna produkten

a \cdot b \cdot c \cdot d .

För att beräkna produkten måste vi veta vad primtalen är. Från uppgiften vet vi att summan av dem är 82 vilket ger oss ekvationen: a+b+c+d=82. Vi vet även att b är 4 mindre än c samt att b är 54 mindre än d och vi kan alltså skriva identiteterna c=b+4 och d=b+54. Vi ersätter c och d med identiteterna och förenklar. Mot slutet dividerar vi med 3 för att kunna utnyttja primtals speciella egenskaper gällande delbarhet.

Vi stannar upp och tittar på det vi vet. Vi har en ekvation med två variabler och behöver alltså veta den ena variabeln för att lösa ut den andra. Eftersom både 8 och b är heltal (b är t.o.m. ett primtal) kommer högerledet att blir ett heltal. Då måste även kvoten i vänsterledet, a/3, bli ett heltal. Alltså måste a vara delbart med 3. Men a var ju ett primtal, dvs. endast delbart med 1 och sig självt. Så för att a ska vara ett primtal och för att a3 ska bli ett heltal måste a vara samma tal som det delas med, dvs. 3. Vi sätter in a=3 och räknar vidare.

Då har vi bestämt två av primtalen, a=3 och b= 7. Med denna information kan vi även bestämma de två sista primtalen: c= 7+4=11 och d= 7+54=61. Nu när vi har alla primtal är det bara att beräkna deras produkt.

Produkten blir alltså 14091.

Primtal

Mathleaks

Förkunskaper

Upptäcka speciella tal

Primtal

En algoritm för att hitta primtal

Primtal eller sammansatt tal?

Primtalsfaktorisering

Faktorträd

Primtalsfaktoriseringen av tal

Det hemliga meddelandet

Ledtråd

Lösning

Primtal

Rekommenderade uppgifter

	9 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.