MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1b
Kurs 1b Visa detaljer
2. Primtal
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1b , Ma 1c ) /
Kapitel 1
4. 

Primtal

Primtal kan ses som talsystemets atomer, de grundläggande byggstenarna som inte kan delas upp ytterligare. Dessa tal kan kombineras för att skapa alla andra siffror, kända som sammansatta tal. Om du tänker på tal som legobitar, är primtal de enskilda bitarna, medan sammansatta tal är strukturer byggda av dessa bitar. En viktig process kallad primtalsfaktorisering bryter ner ett tal till dess primtalskomponenter. Till exempel, 12 kan brytas ner till 3, 2 och 2. Faktorträd är en metod som hjälper till att visualisera denna uppdelning. Genom att förstå dessa koncept, kan vi se hur alla tal är sammankopplade på ett grundläggande sätt.
Visa mer expand_more
Inställningar & verktyg för lektion
9 sidor teori
22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Primtal
Sida av 9
Mathleaks Videolektion

Mathleaks
play_circle_filled
play_circle_filled Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Primtal
  • Primtalsfaktorisering
  • Faktorträd

Förkunskaper
Utforska

Upptäcka speciella tal

Genom att flytta den blåa rutan till talet ser du att talet är delbart med talen och Om du flyttar rutan till talet ser du att talet endast är delbart med och sig själv. Använd den blåa rutan för att hitta tre andra tal med samma egenskap som talet

Siffror från 1 till 100
Teori

Primtal

Ett primtal är ett naturligt tal större än som bara är delbart med och sig själv.

Tal Faktorer Är det ett primtal?
och
och
och

Naturliga tal som har fler än två faktorer kallas för sammansatta tal. Några viktiga egenskaper hos primtal och sammansatta tal visas i tabellen nedan.

Primtal Sammansatt tal
Ett primtal har bara två faktorer. Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.
Det enda jämna primtalet är Alla jämna tal större än är ett sammansatt tal.
Alla heltal större än är antingen ett primtal eller ett sammansatt.
är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.
Illustration

En algoritm för att hitta primtal

Den grekiske matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta primtal upp till ett visst tal. Metoden går ur på att man tar bort multiplar av varje primtal, för att på så sätt kunna hitta alla primtal. Nedan beskrivs stegen för hur man hittar alla primtal mellan och

  • Steg Gör en tabell över talen mellan och
  • Steg Hoppa över eftersom det varken är ett primtal eller ett sammansatt tal.
  • Steg Markera och ta bort alla dess multiplar eftersom de inte är primtal.
  • Steg Markera nästa tal som inte är markerat än, vilket är och stryk ut alla dess multiplar.
  • Steg Fortsätt processen med resten av talen.
Följ stegen med hjälp av applikationen nedan och hitta alla primtal mellan och
Eratosthenes algoritm för att hitta primtal
Ta en titt på de här speciella talen från till
Alla de här talen är primtal, och det finns av dem mellan och
Övning

Primtal eller sammansatt tal?

Ett primtal är delbart endast med och sig själv. Ett sammansatt tal är delbart med fler än två faktorer.

Ett tal mellan 2 och 100 visas, och du ombeds avgöra om det är ett primtal eller ett sammansatt tal.
Teori

Primtalsfaktorisering

Heltal som inte är primtal kallas sammansatta tal. Detta beror på att sammansatta tal kan delas upp som en produkt av mindre heltal. Till exempel kan talet delas upp på följande sätt.
Men eftersom också är ett sammansatt tal som kan brytas ner ytterligare till fortsätter processen tills endast primtal återstår. När ett sammansatt tal uttrycks som en produkt av enbart primtal, kallas resultatet dess primtalsfaktorisering. För talet är den fullständiga primtalsfaktoriseringen följande.
Varje sammansatt tal kan brytas ner fullständigt till en unik uppsättning primtalsfaktorer. Varje tal är antingen ett primtal, som fungerar som en grundläggande byggsten, eller ett sammansatt tal, som är konstruerat av dessa byggstenar. Denna egenskap, som säger att varje tal kan brytas ner till en unik produkt av primtalsfaktorer, kallas aritmetikens fundamentalsats.
Teori

Faktorträd

Om man vill dela upp ett stort tal i primfaktorer kan det vara bra att använda ett faktorträd. Ett faktorträd är ett diagram som visar hur talet delas upp i primtalsfaktorer. Nedan kan du se en primtalsfaktorisering av talet Du får primtalsfaktoriseringen av talet genom att skriva upp produkten av alla primtalsfaktorer som visas i slutet av grenarna. Bygg upp faktorträdet genom att klicka fram en gren i taget.

Faktorträd av talet 36
Övning

Primtalsfaktoriseringen av tal

Slumpmässiga tal som ska primtalsfaktoriseras
Exempel

Det hemliga meddelandet

Ett system för att skicka hemliga meddelanden tilldelar varje siffra en bokstav baserat på dess största primfaktor. Den största primfaktorn för ett tal bestämmer en bokstav i det svenska alfabetet Bokstäverna kombineras sedan för att bilda det hemliga meddelandet. Följande nycklar är givna.
a Vad är primtalsfaktoriseringen av den första nyckeln?
b Matcha varje nyckel med dess motsvarande bokstav.

Ledtråd
a Ett faktoriseringsträd kan användas för att hitta primtalsfaktoriseringen av ett tal.
b Hitta primtalsfaktoriseringen för varje nyckel, identifiera den största primtalsfaktorn för varje tal och matcha den med dess bokstav i det svenska alfabetet.

Lösning
a Bygg ett faktoriseringsträd för för att hitta primtalsfaktoriseringen av den första nyckeln.
Faktorträd av talet 64.
Primtalsfaktoriseringen av består av siffran upprepad sex gånger.
b För att matcha varje nyckel med dess motsvarande bokstav, börja med att hitta primtalsfaktoriseringen av de återstående nycklarna. Använd liknande resonemang som för nyckeln
Primtalsfaktoriseringar av 64, 150, 418 och 528
När primtalsfaktoriseringarna har bestämts, identifiera den största primtalsfaktorn för varje nyckel och matcha den med dess motsvarande bokstav enligt regeln Till exempel, i fallet med är den enda primtalsfaktorn som också är den största primtalsfaktorn.
Nyckel Primtalsfaktorisering Största primtalsfaktor Bokstav
B
E
S
K

Det hemliga meddelandet som avslöjas av dessa nycklar är då BESK.

Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Nivå 4
Primtal
Övningar

Eulers funktion, anger hur många positiva heltal mindre än som är relativt prima med Om två tal är relativt prima betyder det att de inte har några gemensamma positiva heltalsfaktorer. Till exempel är eftersom det finns positiva heltal mindre än som är relativt prima med ( och ). och är inte relativt prima eftersom de har som gemensam faktor. Bestäm

om är ett primtal.

Vi vill alltså hitta alla positiva heltal mindre än 12 som är relativt prima med 12. Vi kan börja med att lista dem alla positiva heltal mindre än 12: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är ett jämnt tal så alla jämna tal har en gemensam primtalsfaktor (2) med 12. Vi kan därför stryka dem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 och 11. 12 är även delbart med 3. Därför stryker vi även de tal som också är delbara med 3, dvs. 3 och 9. 1, 3, 5, 7, 9 och 11. Nu har vi 1, 5, 7 och 11 kvar. Det finns inget heltal som delar både 12 och någon av dem, så alla de är relativt prima med 12. Det är fyra tal så ϕ(12)=4.


Nu ska vi hitta hur många positiva heltal mindre än 17 vilka är relativt prima med 17. Men 17 är ett primtal. Det kan alltså inte ha någon gemensam primtalsfaktor med någon av heltalen mellan 1 och 16. Då hade det ju inte varit ett primtal. Alla positiva heltal mindre än 17 är alltså relativt prima med 17. Det är 16 stycken tal så ϕ(17)=16.


Om p är ett primtal finns det inget positivt heltal mindre än p, förutom 1, som delar p. Därför är alla positiva heltal mindre än p relativt prima med p. Det finns p-1 positiva heltal mindre än p så ϕ(p)=p-1.

I bråket är och primtal. Vad måste vara för att kvoten ska bli ett heltal?

Vi börjar med att dela upp bråket till en summa.

Nu har vi skrivit om bråket till 1+ ba. Vad hjälper det? Jo, nu står det 1 plus ett bråk och för att detta ska vara ett heltal måste bråket vara ett heltal. Detta innebär att a ska vara en faktor i täljaren. Men b är ju ett primtal och innehåller bara faktorerna 1 och b. För att ba ska bli ett heltal måste därför täljaren vara samma primtal som i nämnaren, dvs. b=a.

Det enda heltalet som kan skapas är om b=a och då får man 2.

För att a+ba ska vara ett heltal, måste vi kunna bryta ut a i täljaren. Täljaren är (a+b) och a innehåller faktorn a eftersom a=a * 1. Men gör b det? Det är ett primtal och kan därför bara faktoriseras enligt b=1* b. För att a ska vara en faktor i b måste därför b=a.

Vi är klara.

Vilken är den största primtalsfaktorn i summan?

För att lösa uppgiften måste vi hitta en faktor som kan brytas ut från båda termer. Termerna 3^(34) och 3^(31) består av en massa treor som multiplicerats. Genom att skriva om 3^(34) med potenslagarna kan vi bryta ut 3^(31) från termerna.

Nu har vi skapat två faktorer där den första består av 31 treor som multiplicerats, dvs. den består endast av primtalsfaktorn 3. Den andra faktorn är den innanför parentesen. Genom att förenkla uttrycket kan vi bryta ner det i ytterligare primtalsfaktorer.

Från uttrycket ser vi att det finns tre unika primtalsfaktorer, nämligen 3, 2 och 7. Av dessa är 7 störst, vilket blir vårt svar.

Hur många primtalsfaktorer består följande summa av?

Vi ser att alla termer är potenser med basen 4 fast med olika exponenter. Genom att dela upp exponenterna i termer och därefter använda potenslagarna kan vi bryta ut 4^(40). Detta ger oss möjlighet att hitta några primtalsfaktorer.

Summan innehåller alltså en 3:a och en 7:a. Men vi är inte riktigt klara än, 4^(40) är fyrtio 4:or som multiplicerats. Men 4 är inget primtal! Primtalsfaktoriseras 4 får vi 2* 2 eller skrivet som potens 2^2. Vi använder detta för att färdigställa primtalsfaktoriseringen.

Antalet primtalsfaktorer är alltså åttio stycken 2:or, en 3:a och en 7:a, dvs. totalt 82 primtalsfaktorer.

Summan av fyra primtal, som vi kallar och är Du vet att är mindre än samt att är mindre än Beräkna produkten

För att beräkna produkten måste vi veta vad primtalen är. Från uppgiften vet vi att summan av dem är 82 vilket ger oss ekvationen: a+b+c+d=82. Vi vet även att b är 4 mindre än c samt att b är 54 mindre än d och vi kan alltså skriva identiteterna c=b+4 och d=b+54. Vi ersätter c och d med identiteterna och förenklar. Mot slutet dividerar vi med 3 för att kunna utnyttja primtals speciella egenskaper gällande delbarhet.

Vi stannar upp och tittar på det vi vet. Vi har en ekvation med två variabler och behöver alltså veta den ena variabeln för att lösa ut den andra. Eftersom både 8 och b är heltal (b är t.o.m. ett primtal) kommer högerledet att blir ett heltal. Då måste även kvoten i vänsterledet, a/3, bli ett heltal. Alltså måste a vara delbart med 3. Men a var ju ett primtal, dvs. endast delbart med 1 och sig självt. Så för att a ska vara ett primtal och för att a3 ska bli ett heltal måste a vara samma tal som det delas med, dvs. 3. Vi sätter in a=3 och räknar vidare.

Då har vi bestämt två av primtalen, a=3 och b= 7. Med denna information kan vi även bestämma de två sista primtalen: c= 7+4=11 och d= 7+54=61. Nu när vi har alla primtal är det bara att beräkna deras produkt.

Produkten blir alltså 14091.

Primtal

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll