Primtal förklaring: Vad primtal är och hur primtalsfaktorisering fungerar

Tal	Faktorer	Är det ett primtal?
$5$	$1$ och $5$	$✓$
$6$	$1,$ $2,$ $3,$ och $6$	$\times$
$7$	$1$ och $7$	$✓$

Tal

Faktorer

Är det ett primtal?

5

1

och

5

✓

6

1,

2,

3,

och

6

\times

7

1

och

7

✓

Primtal	Sammansatt tal
Ett primtal har bara två faktorer.	Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.
Det enda jämna primtalet är $2 .$	Alla jämna tal större än $2$ är ett sammansatt tal.
Alla heltal större än $1$ är antingen ett primtal eller ett sammansatt.
$1$ är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Primtal

Sammansatt tal

Ett primtal har bara två faktorer.

Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.

Det enda jämna primtalet är

2 .

Alla jämna tal större än

2

är ett sammansatt tal.

Alla heltal större än

1

är antingen ett primtal eller ett sammansatt.

1

är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Nyckel	Primtalsfaktorisering	Största primtalsfaktor	Bokstav
$64$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$2$	B
$150$	$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$	$5$	E
$418$	$2 \cdot 11 \cdot 19$	$19$	S
$528$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$	$11$	K

Nyckel

Primtalsfaktorisering

Största primtalsfaktor

Bokstav

64

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

150

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

5

418

2 \cdot 11 \cdot 19

19

528

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11

11

Komplettera följande faktorträd.

De gröna rutorna anger primtal och de blå är sammansatta tal. Vi ser att talet har brutits ned i fyra primtal varav tre är kända 2, 5, och 7. Genom att multiplicera 5 och 7 kan vi hitta vad som ska stå i den sista blå rutan i faktorträdet. På samma sätt kan vi multiplicera primtalet 2 med det sammansatta talet 70 för att hitta talet som primtalsfaktoriserats. 5* 7=35 och 2* 70=140. Vi kompletterar faktorträdet med dessa tal.

Nu kan vi även hitta det sista primtalet då vi ser att det ska multipliceras med 35 och ge 70. Om vi delar 70 med 35 får vi alltså vårt primtal: 70/35=2. Nu kan vi fylla i faktorträdets sista primtalsruta.

5

är ett primtal. Är

- 5

också ett primtal?

Ett primtal kan endast delas jämnt med sig självt och 1. Det måste också vara större än 1, men det är inte -5. Därför är det inte ett primtal.

Talet -5 är inte ett primtal.

Primtalsfaktorisera talet.

3 6^{2}

32 \cdot 64

12 5^{3}

36^2 är samma sak som 36* 36.

Vi får alltså 36^2=2^4* 3^4.

64 kan vi skriva som 2* 32. Vi börjar med det och fortsätter sedan på samma sätt som tidigare.

Primtalsfaktoriseringen blir alltså 2 multiplicerat med sig själv 11 gånger, vilket vi kan skriva 2^(11).

125^3 är 125 multiplicerat med sig själv tre gånger. Vi börjar därför med att skriva om det till 125*125*125.

125^3 primtalsfaktoriseras till 5^9.

Man säger att två tal är relativt prima om det inte finns något positivt heltal, förutom

1,

som delar båda talen jämnt. Till exempel är

9

och

6

inte relativt prima eftersom båda är delbara med

3 .

Däremot är

4

och

15

relativt prima eftersom

4 = 2 \cdot 2 och 15 = 5 \cdot 3 .

Det finns alltså inget heltal som delar både

4

och

15 .

Är

21

och

15

relativt prima? Motivera ditt svar.

Är

32

och

27

relativt prima? Motivera ditt svar.

Är

13

och

19

relativt prima? Motivera ditt svar.

Både 21 och 15 kan delas med 3 så talen är inte relativt prima. Vi kan se detta genom att primtalsfaktorisera talen: 21=3 * 7 och 15=3* 5. 3 är en primtalsfaktor till båda tal så de är inte relativt prima.

Här är det kanske inte så lätt att direkt se om talen är relativt prima. Men vi primtalsfaktoriserar båda och jämför.

Talet 32

32 primtalsfaktoriseras alltså till 2* 2* 2* 2* 2.

Talet 27

Nu ser vi att det finns ingen primtalsfaktor som är gemensam för 27 och 32. Det betyder att de är relativt prima.

13 och 19 är båda primtal. Det betyder att det inte finns något positivt heltal (förutom 1) som delar något av dem. 13 och 19 är alltså relativt prima.

Du multiplicerar primtalen $p$ och $q .$

Är produkten ett primtal? Motivera ditt svar.

Hur ser primtalsfaktoriseringen för produkten ut?

Om man multiplicerar två primtal är båda dessa primtal faktorer i produkten pq. Det betyder att talet är delbart med både p och q. Men ett primtal är bara delbart med sig själv och 1 så pq kan inte vara ett primtal.

Eftersom produkten är delbar med både p och q kan vi faktorisera till p* q. Kan vi faktorisera ytterligare? Nej, både p och q är ju primtal så primtalsfaktoriseringen blir just p* q.

Vi vet att talet

283

inte är delbart med något av talen

2, 3, 5, 7, 11 och 13 .

Är talet

283

ett primtal? Motivera ditt svar.

Låt oss anta att 283 är ett sammansatt tal. Det betyder att man kan dela upp talet i minst två primtalsfaktorer. Från uppgiften vet vi dock att primtalen 2, 3, 5, 7, 11 och 13 inte delar 283. Nästa primtal efter 13 är 17 . Det minsta sammansatta talet vi kan bilda av primtal större än 13 blir då 17* 17=289. Eftersom 289 är större än 283 kan inte 283 vara ett sammansatt tal. Därför är 283 ett primtal!

Primtal

Mathleaks

Förkunskaper

Upptäcka speciella tal

Primtal

En algoritm för att hitta primtal

Primtal eller sammansatt tal?

Primtalsfaktorisering

Faktorträd

Primtalsfaktoriseringen av tal

Det hemliga meddelandet

Ledtråd

Lösning

Talet 32

Talet 27

Primtal

Rekommenderade uppgifter

	9 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.