Logga in
| 9 sidor teori |
| 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
Genom att flytta den blåa rutan till talet 12 ser du att talet är delbart med talen 1, 2, 3, 4 och 6. Om du flyttar rutan till talet 11, ser du att talet endast är delbart med 1 och sig själv. Använd den blåa rutan för att hitta tre andra tal med samma egenskap som talet 11.
Ett primtal är ett naturligt tal större än 1, som bara är delbart med 1 och sig själv.
Tal | Faktorer | Är det ett primtal? |
---|---|---|
5 | 1 och 5 | ✓ |
6 | 1, 2, 3, och 6 | × |
7 | 1 och 7 | ✓ |
Naturliga tal som har fler än två faktorer kallas för sammansatta tal. Några viktiga egenskaper hos primtal och sammansatta tal visas i tabellen nedan.
Primtal | Sammansatt tal |
---|---|
Ett primtal har bara två faktorer. | Ett sammansatt tal har fler än två faktorer. |
Det enda jämna primtalet är 2. | Alla jämna tal större än 2 är ett sammansatt tal. |
Alla heltal större än 1 är antingen ett primtal eller ett sammansatt. | |
1 är varken ett primtal eller ett sammansatt tal. |
Den grekiske matematikern Eratosthenes utvecklade en metod för att hitta primtal upp till ett visst tal. Metoden går ur på att man tar bort multiplar av varje primtal, för att på så sätt kunna hitta alla primtal. Nedan beskrivs stegen för hur man hittar alla primtal mellan 1 och 100.
Ett primtal är delbart endast med 1 och sig själv. Ett sammansatt tal är delbart med fler än två faktorer.
Om man vill dela upp ett stort tal i primfaktorer kan det vara bra att använda ett faktorträd. Ett faktorträd är ett diagram som visar hur talet delas upp i primtalsfaktorer. Nedan kan du se en primtalsfaktorisering av talet 36. Du får primtalsfaktoriseringen av talet genom att skriva upp produkten av alla primtalsfaktorer som visas i slutet av grenarna. Bygg upp faktorträdet genom att klicka fram en gren i taget.
Nyckel | Primtalsfaktorisering | Största primtalsfaktor | Bokstav |
---|---|---|---|
64 | 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 | 2 | B |
150 | 2⋅3⋅5⋅5 | 5 | E |
418 | 2⋅11⋅19 | 19 | S |
528 | 2⋅2⋅2⋅2⋅3⋅11 | 11 | K |
Det hemliga meddelandet som avslöjas av dessa nycklar är då BESK
.
Alla primtal är udda förutom ett som är jämnt och det är 2. Vi behöver därför undersöka två typer av summor:
Jämna tal är delbara med två och kan därför alltid skrivas som 2n där n är ett heltal (vi kan även använda andra variabler än n). Eftersom udda och jämna tal kommer efter varandra måste ett godtyckligt udda tal kunna skrivas 2n+1 och ett annat udda tal kan skrivas som 2k+1 där n och k är heltal. Vi adderar dessa.
Vi kan bryta ut 2 ur summan av två udda primtal. Summan är alltså jämn. Vi fortsätter med summan av ett udda primtal och 2.
Vi adderar summan av ett godtycklig udda tal 2n+1 och 2. Om vi inte kan bryta ut 2 ur summan av dem är det udda.
(n+1) är ett heltal, så 2(n+1) måste vara ett jämnt tal. När 1 läggs till i slutet bildas ett udda tal, så summan av 2 och ett udda primtal är alltid udda.
Så länge inget av primtalen är 2 är summan av två skilda primtal alltid jämn.
Om 2* 3* 5 * 7 * 11 + 1 är ett primtal får inte det vara jämnt delbart med några andra primtal. Vi testar att dividera med 2, det första primtalet. Om det är en faktor i talet ska divisionen ge ett heltal.
Vi ser att vi får plus en halv i slutet, vilket innebär att kvoten vi undersökt inte går jämnt ut. Samma sak kan göras med nästa fyra primtal, vilket vi visar i tabellen.
Dela med | Uttryck | Förenkla |
---|---|---|
3 | 2* 3* 5* 7* 11+1/3 | 2* 5* 7* 11+1/3 |
5 | 2* 3* 5* 7* 11+1/5 | 2* 3* 7* 11+1/5 |
7 | 2* 3* 5* 7* 11+1/7 | 2* 3* 5* 11+1/7 |
11 | 2* 3* 5* 7* 11+1/11 | 2* 3* 5* 7+1/11 |
I samtliga fall får vi ett heltal plus ett bråk som inte är ett heltal. Delar vi med något av de högre primtalen blir båda termerna bråk som inte är heltal. Det enda vi kan dela med som ger ett heltal är det ursprungliga talet 2* 3* 5* 7* 11 +1 , och ett. Ett positivt heltal som bara går att dela jämnt med sig själv och ett är ett primtal, vilket var det vi ville visa. Detta är ett resonemang som användes av Euklides för att bevisa att det måste finnas oändligt många primtal.
Roten ur ett tal a anger vilka två identiska faktorer du måste multiplicera för att få a. Låt oss ta ett exempel med det sammansatta talet 64. Etersom sqrt(64)=8 vet vi att 64 = 8* 8. Vad händer om vi ökar en av faktorerna? Ja då måste vi ju sänka den andra om produkten fortfarande ska bli 64, t.ex. 64=4* 16 eller 64=2* 32. Om ett sammansatt tal a har en primtalsfaktor större än sqrt(a) måste den då också ha en annan primtalsfaktor som är mindre än sqrt(a). Hittar vi inga primtalsfaktorer som är mindre än sqrt(a) kan det därför inte heller finnas några som är större än sqrt(a). Vi behöver alltså bara undersöka om a är delbart med alla primtal som är mindre än eller lika med dess kvadratrot, sqrt(a)!
Man kan pröva sig fram med olika värden på q, men vi tar ett lite mer rigorös angreppssätt. Talet 57 är delbart med 3, 57/3=19. Vi noterar att talet 19 är ett primtal. Detta innebär två saker: att (q+6)(q-10) också måste vara delbart med 3, och att kvoten (q+6)(q-10)/3 ska bli ett primtal. För att kvoten ska bli ett primtal måste faktiskt en av faktorerna (q+6) eller (q-10) i täljaren vara lika med 3. Varför då? Jo, om ena faktorn t.ex. är 15, skulle vi efter förkortning få 19=5* (andra faktorn). Men i så fall skulle ju 19 vara ett sammansatt tal och inte ett primtal! Därför måste ena faktorn vara precis 3. Vi likställer alltså faktorerna med 3 en i taget, löser ut q och ser vad vi får.
Eftersom q är ett primtal kan det inte vara negativt. Det innebär att den andra faktorn, (q-10), måste vara lika med 3.
Då vet vi att q är 13. Vi sätter in värdet i ekvationen och prövar lösningen.
Lösningen stämmer alltså.