Primtal förklaring: Vad primtal är och hur primtalsfaktorisering fungerar

Tal	Faktorer	Är det ett primtal?
$5$	$1$ och $5$	$✓$
$6$	$1,$ $2,$ $3,$ och $6$	$\times$
$7$	$1$ och $7$	$✓$

Tal

Faktorer

Är det ett primtal?

5

1

och

5

✓

6

1,

2,

3,

och

6

\times

7

1

och

7

✓

Primtal	Sammansatt tal
Ett primtal har bara två faktorer.	Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.
Det enda jämna primtalet är $2 .$	Alla jämna tal större än $2$ är ett sammansatt tal.
Alla heltal större än $1$ är antingen ett primtal eller ett sammansatt.
$1$ är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Primtal

Sammansatt tal

Ett primtal har bara två faktorer.

Ett sammansatt tal har fler än två faktorer.

Det enda jämna primtalet är

2 .

Alla jämna tal större än

2

är ett sammansatt tal.

Alla heltal större än

1

är antingen ett primtal eller ett sammansatt.

1

är varken ett primtal eller ett sammansatt tal.

Nyckel	Primtalsfaktorisering	Största primtalsfaktor	Bokstav
$64$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$	$2$	B
$150$	$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$	$5$	E
$418$	$2 \cdot 11 \cdot 19$	$19$	S
$528$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11$	$11$	K

Nyckel

Primtalsfaktorisering

Största primtalsfaktor

Bokstav

64

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

150

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5

5

418

2 \cdot 11 \cdot 19

19

528

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11

11

För vilka par av skilda primtal är summan alltid jämn?

Alla primtal är udda förutom ett som är jämnt och det är 2. Vi behöver därför undersöka två typer av summor:

Summan av två skilda udda primtal.
Summan av ett udda primtal och 2.

Summan av två skilda udda primtal

Jämna tal är delbara med två och kan därför alltid skrivas som 2n där n är ett heltal (vi kan även använda andra variabler än n). Eftersom udda och jämna tal kommer efter varandra måste ett godtyckligt udda tal kunna skrivas 2n+1 och ett annat udda tal kan skrivas som 2k+1 där n och k är heltal. Vi adderar dessa.

Vi kan bryta ut 2 ur summan av två udda primtal. Summan är alltså jämn. Vi fortsätter med summan av ett udda primtal och 2.

Summan av ett udda primtal och 2

Vi adderar summan av ett godtycklig udda tal 2n+1 och 2. Om vi inte kan bryta ut 2 ur summan av dem är det udda.

(n+1) är ett heltal, så 2(n+1) måste vara ett jämnt tal. När 1 läggs till i slutet bildas ett udda tal, så summan av 2 och ett udda primtal är alltid udda.

Slutsats

Så länge inget av primtalen är 2 är summan av två skilda primtal alltid jämn.

Är

2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 + 1

ett primtal? Motivera ditt svar.

Om 2* 3* 5 * 7 * 11 + 1 är ett primtal får inte det vara jämnt delbart med några andra primtal. Vi testar att dividera med 2, det första primtalet. Om det är en faktor i talet ska divisionen ge ett heltal.

Vi ser att vi får plus en halv i slutet, vilket innebär att kvoten vi undersökt inte går jämnt ut. Samma sak kan göras med nästa fyra primtal, vilket vi visar i tabellen.

Dela med	Uttryck	Förenkla
3	2* 3* 5* 7* 11+1/3	2* 5* 7* 11+1/3
5	2* 3* 5* 7* 11+1/5	2* 3* 7* 11+1/5
7	2* 3* 5* 7* 11+1/7	2* 3* 5* 11+1/7
11	2* 3* 5* 7* 11+1/11	2* 3* 5* 7+1/11

I samtliga fall får vi ett heltal plus ett bråk som inte är ett heltal. Delar vi med något av de högre primtalen blir båda termerna bråk som inte är heltal. Det enda vi kan dela med som ger ett heltal är det ursprungliga talet 2* 3* 5* 7* 11 +1 , och ett. Ett positivt heltal som bara går att dela jämnt med sig själv och ett är ett primtal, vilket var det vi ville visa. Detta är ett resonemang som användes av Euklides för att bevisa att det måste finnas oändligt många primtal.

När man undersöker om ett tal

a

är ett primtal kan man testa det genom att dividera

a

med alla primtal mindre än eller lika med ett visst tal. Vilket tal är detta? (Det är inte

a!

)

Roten ur ett tal a anger vilka två identiska faktorer du måste multiplicera för att få a. Låt oss ta ett exempel med det sammansatta talet 64. Etersom sqrt(64)=8 vet vi att 64 = 8* 8. Vad händer om vi ökar en av faktorerna? Ja då måste vi ju sänka den andra om produkten fortfarande ska bli 64, t.ex. 64=4* 16 eller 64=2* 32. Om ett sammansatt tal a har en primtalsfaktor större än sqrt(a) måste den då också ha en annan primtalsfaktor som är mindre än sqrt(a). Hittar vi inga primtalsfaktorer som är mindre än sqrt(a) kan det därför inte heller finnas några som är större än sqrt(a). Vi behöver alltså bara undersöka om a är delbart med alla primtal som är mindre än eller lika med dess kvadratrot, sqrt(a)!

I nedanstånde ekvation är

q

ett primtal:

57 = (q + 6) (q - 10) .

Bestäm

q .

Man kan pröva sig fram med olika värden på q, men vi tar ett lite mer rigorös angreppssätt. Talet 57 är delbart med 3, 57/3=19. Vi noterar att talet 19 är ett primtal. Detta innebär två saker: att (q+6)(q-10) också måste vara delbart med 3, och att kvoten (q+6)(q-10)/3 ska bli ett primtal. För att kvoten ska bli ett primtal måste faktiskt en av faktorerna (q+6) eller (q-10) i täljaren vara lika med 3. Varför då? Jo, om ena faktorn t.ex. är 15, skulle vi efter förkortning få 19=5* (andra faktorn). Men i så fall skulle ju 19 vara ett sammansatt tal och inte ett primtal! Därför måste ena faktorn vara precis 3. Vi likställer alltså faktorerna med 3 en i taget, löser ut q och ser vad vi får.

Eftersom q är ett primtal kan det inte vara negativt. Det innebär att den andra faktorn, (q-10), måste vara lika med 3.

Då vet vi att q är 13. Vi sätter in värdet i ekvationen och prövar lösningen.

Lösningen stämmer alltså.

Primtal

Mathleaks

Förkunskaper

Upptäcka speciella tal

Primtal

En algoritm för att hitta primtal

Primtal eller sammansatt tal?

Primtalsfaktorisering

Faktorträd

Primtalsfaktoriseringen av tal

Det hemliga meddelandet

Ledtråd

Lösning

Summan av två skilda udda primtal

Summan av ett udda primtal och 2

Slutsats

Primtal

Rekommenderade uppgifter

	9 sidor teori
	22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.