Multiplikation och division med negativa tal Åk 9 - Taluppfattning och tals användning Åk 9 (Ma 9)

Multiplikation och division av negativa tal följer specifika regler som förenklar beräkningarna. Att förstå dessa regler är avgörande för att kunna hantera negativa värden i olika matematiska operationer. Denna lektion kommer att fokusera på detta ämne.

Följande begrepp är med i avsnittet:

Multiplikation med negativa tal
Division med negativa tal

Utforska

Vad är multiplikation?

Att multiplicera ett positivt heltal

a

med ett positivt heltal

b

är detsamma som att addera

b

med sig självt

a

gånger.

Att visa att multiplikation är en upprepad summa

Tänk på följande frågor:

Vad händer om $b$ är negativt?
Vad händer om både $a$ och $b$ är negativa?

Teori

Multiplikation med negativa tal

Regeln när man multiplicerar med negativa tal är att faktorer med lika tecken ger positiv produkt och faktorer med olika tecken ger negativ produkt.

Regel

a (- b) = - a b

När en positiv och en negativ faktor multipliceras blir produkten negativ. För att visa varför, kan man fråga sig vad multiplikation faktiskt betyder. Multiplikation visar upprepad addition. En multiplikation som

3 (- 2)

kan alltså tolkas som

(- 2)

adderat med sig själv

3

gånger:

(- 2) + (- 2) + (- 2) .

Förenklar man uttrycket kan man visa att regeln gäller.

(- 2) + (- 2) + (- 2)

AddNeg

$a + (- b) = a - b$

- 2 - 2 - 2

FactorOutNegSign

Bryt ut minustecken

- (2 + 2 + 2)

SumToProdThreeTerms

$a + a + a = 3 a$

- 3 \cdot 2

Produkten av ett positivt och negativt tal blir alltså negativt. Eftersom det inte spelar någon vilken ordning faktorerna står får man även en negativ produkt om man multiplicerar ett negativt tal med ett positivt dvs.

(- a) b = - a b .

Regel

(- a) (- b) = a b

När två negativa faktorer multipliceras blir produkten positiv. Man kan visa varför om man utgår från att ett tal, t.ex.

(- 5),

multiplicerat med

0

blir

0 :

(- 5) \cdot 0 = 0 .

0

kan även skrivas som ett tal minus ett lika stort tal, t.ex.

3 - 3 .

Detta kan i sin tur skrivas som

- 3 + 3

genom att ändra ordningen på termerna.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

För att komma vidare ska

(- 5)

multipliceras in i parentesen och enligt distributiva lagen multipliceras den med båda termer.

(- 5) \cdot (- 3 + 3) = 0

Distr

Multiplicera in $(- 5)$

(- 5) (- 3) + (- 5) \cdot 3 = 0

MultNegPos

$(- a) b = - a b$

(- 5) (- 3) - 5 \cdot 3 = 0

AddEqn

$VL + 5 \cdot 3 = HL + 5 \cdot 3$

(- 5) (- 3) = 5 \cdot 3

Produkten av två negativa tal är alltså positiv.

Exempel

Temperatur i Antarktis

Julia drömmer om att resa till Antarktis som meteorolog. Hon kollade online för dagens temperatur i Antarktis. Den är runt $- 9^{\circ} C .$ Ganska kallt!

a Men på vintern kan temperaturen sjunka upp till

10

gånger det talet! Hur kallt kan temperaturen bli på vintern?

b Vad är temperaturen en dag om den är en tredjedel av den möjliga vintertemperaturen från del A?

Ledtråd

a Använd regeln för multiplikation av ett negativt och ett positivt tal.

b Använd regeln för division av ett negativt och ett positivt tal.

Lösning

a Det är givet att temperaturen i Antarktis var

- 9^{\circ} C

när LaShay kollade den. På vintern kan den gå upp till

10

gånger det talet. För att beräkna vilken temperatur det skulle bli, ska talen

- 9

och

10

multipliceras. Använd följande regel.

- a \cdot b = - a b

Det visar att produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativt.

- 9 \cdot 10 = - 90

Därför kan temperaturen på vintern gå upp till

- 9 0^{\circ} C

i Antarktis.

b Den här gången är det känt att temperaturen en dag var en tredjedel av

- 9 0^{\circ} C .

För att bestämma denna temperatur ska

- 90

divideras med

3 .

Använd följande regel.

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

Det visar att kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.

\frac{- 9 0}{3} = - 30

Den funna temperaturen är

- 3 0^{\circ} .

Exempel

Tantens Pizzabutik

Julia's aunt driver en härlig pizzeria, och Julia tycker om att arbeta för henne ibland.

Julia's aunt betalar henne $$ 10$ för varje dag hon hjälper henne. Dock, varje gång Julia är sen, förlorar hon $$ 3 .$

a Julia hjälpte sin moster i

15

dagar förra månaden, men hon var sen

6

dagar. Hur mycket pengar förlorade Julia förra månaden? Ge svaret som ett negativt heltal.

b Hur mycket pengar tjänade Julia på pizzerian förra veckan?

Ledtråd

a Multiplicera antalet dagar hon var sen med det belopp hon förlorade varje dag för att vara sen. Använd en talinje för att hitta produkten.

b Multiplicera antalet arbetade dagar med det belopp som betalas per dag. Addera beloppet från del A till denna produkt.

Lösning

a En förlust innebär något negativt. Detta innebär att det motsatta av

3

representerar det belopp som Julia förlorar varje dag för att vara sen.

Belopp f \ddot{o} rlorat f \ddot{o} r att vara sen varje dag - $ 3

Nästa, kom ihåg att hon var sen

6

av de

15

dagar hon hjälpte sin moster förra månaden. Det belopp hon förlorade förra månaden ges genom att multiplicera antalet dagar hon var sen med det belopp hon förlorade varje dag för att vara sen.

Totalt belopp f \ddot{o} rlorat f \ddot{o} rra m \overset{˚}{a} naden 6 \times (- 3)

Denna situation är en multiplikation av ett positivt heltal med ett negativt heltal. Kom ihåg att resultatet blir negativt när man multiplicerar två heltal med olika tecken. Med detta i åtanke, utför multiplikationen som om båda vore positiva heltal genom att ignorera deras tecken.

6 \times (- 3) \Rightarrow 6 \times 3

Den resulterande multiplikationen indikerar

6

lika intervaller av

3

. En tallinje kan användas för att hjälpa till att hitta denna produkt.

Multiplikation av $6$ gånger $3$ på en tallinje

Produkten av den resulterande multiplikationen är

18 .

Slutligen, ändra

18

till dess motsats

- 18

för att få den slutliga produkten av den ursprungliga multiplikationen.

6 \times 3 = 18 \Rightarrow 6 \times (- 3) = - 18

Det belopp som Julia förlorade förra månaden är då

- $ 18 .

b Julias totala möjliga intäkter är produkten av antalet arbetade dagar och det belopp som betalas per dag, vilket ger hennes totala intäkter. Men eftersom hon var sen sex dagar, måste det belopp hon förlorade för att vara sen läggas till det totala beloppet hon kunde tjäna. Börja med att hitta de totala möjliga intäkterna.

Totala m \ddot{o} jliga int \ddot{a} kter $ 10 \cdot 15

Detta är en multiplikation av två positiva heltal, så resultatet är positivt. Eftersom heltalen är två-siffriga tal, använd multiplikationen siffror för siffror för att hitta deras produkt.

Multiplikation siffror för siffror av 10 och 15

Julia kunde ha tjänat totalt

$ 150 .

Lägg till detta belopp det belopp hon förlorade,

- $ 18,

för att hitta hennes totala intäkter.

150 + (- 18)

Resultatet är summan av ett positivt och ett negativt heltal. Ändra additionstecknet till ett subtraktionstecken och

- 18

till dess motsats

18

för att förenkla detta uttryck.

150 - 18 = 132

Därför tjänade Julia totalt

$ 132

för att arbeta på pizzerian förra veckan.

Teori

Division med negativa tal

Regeln vid division med negativa tal är att om täljaren och nämnaren har lika tecken ger det en positiv produkt och om de har olika tecken ger det en negativ produkt.

Regel

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

När två negativa tal divideras blir kvoten positiv. I både täljaren och nämnaren kan

(- 1)

brytas ut och förkortas bort.

\frac{- 5}{- 4}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

CrossCommonFac

Stryk faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 5}{( - 1 ) \cdot 4}

SimpQuot

Förenkla kvot

\frac{5}{4}

Kvoten blir alltså positiv.

Regel

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en negativ täljare med en positiv nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så i bråket

\frac{- 3}{2}

genom att bryta ut

- 1

i täljaren och

1

i nämnaren.

\frac{- 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

Det första bråket har nämnaren $1$ och delar man ett tal med $1$ blir kvoten alltid täljaren, dvs. $- 1 .$

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Regel

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

Om man delar en positiv täljare med en negativ nämnare kan minustecknet sättas framför bråket. Man kan visa varför det blir så för bråket $\frac{3}{- 2}$ genom att förlänga det med $(- 1) .$

\frac{3}{- 2}

ExpandFrac

Förläng med $(- 1)$

\frac{3 ( - 1 )}{- 2 ( - 1 )}

MultNegNegOnePar

$- a (- b) = a \cdot b$

\frac{3 ( - 1 )}{2}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

Bryter man ut $1$ i nämnaren kan man skriva uttrycket som en produkt av två bråk.

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{2}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

\frac{( - 1 ) \cdot 3}{1 \cdot 2}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

\frac{- 1}{1} \cdot \frac{3}{2}

DivByOne

$\frac{a}{1} = a$

- 1 \cdot \frac{3}{2}

OneMult

$1 \cdot a = a$

- \frac{3}{2}

Exempel

Höjder på olika platser

Julia och hennes familj åkte till Israel och såg Döda havet. Julia blev imponerad när hon fick veta att det ligger på $- 430$ meter under havsytan.

a Julia och hennes familj bodde på ett hotell beläget på en höjd av

0, 4

gånger höjden av Döda havet. Vad är hotellets höjd i förhållande till havsnivån?

b Julia hittade en mycket intressant historisk plats, som ligger på

- 2

gånger höjden av Döda havet. Vad är platsens höjd i förhållande till havsnivån?

Ledtråd

a Använd regeln om multiplikation av ett negativt och ett positivt tal.

b Använd regeln om multiplikation av två negativa tal.

Lösning

a Det är givet att hotellet ligger på

0, 4

gånger höjden av Döda havet, vilket är

- 430

meter under havsnivån. För att hitta den höjden bör värdena multipliceras. Använd följande regel.

- a \cdot b = - a b

Det säger att produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.

- 430 \cdot 0, 4 = - 172

Det upptäcktes att hotellet ligger på en höjd av

- 172

meter. Med andra ord, det är

172

meter under havsnivån.

b Denna gång är det givet att den intressanta plats Julia har hittat är

- 2

gånger höjden av Döda havet. För att hitta dess höjd, multiplicera

- 2

med

- 430 .

Använd följande regel.

- a \cdot (- b) = a b

Det står att produkten av två negativa tal är positiv.

- 430 \cdot (- 2) = 860

Därför ligger den intressanta platsen på

860

meter över havsnivån.

Exempel

Musiktävlingen

Julia spelade ett av sina favoritstycken i en musiktävling.

I tävlingen gjorde hon

6

misstag som resulterade i att hon förlorade

96

poäng. Om varje misstag var värt samma antal poäng, hur mycket var varje misstag värt? Ge svaret som ett negativt heltal.

Ledtråd

Dividera antalet förlorade poäng med antalet misstag som gjordes.

Lösning

Dividera antalet förlorade poäng med antalet misstag som gjordes för att få antalet poäng Julia förlorade för varje misstag. Notera att hon förlorade

96

poäng totalt och gjorde

6

misstag.

Po \ddot{a} ng f \ddot{o} rlorade per misstag - 96 / 6

Resultatet är en division av två heltal med olika tecken. Kom ihåg att kvoten av två heltal med olika tecken alltid är negativ. Med denna information i åtanke, ignorera tecknen för tillfället och utför divisionen av heltalen.

- 96 / 6 \Rightarrow 96 / 6

Eftersom

96

är ett två siffrigt tal, använd kort division för att utföra den resulterande divisionen.

$Kort division av $\N 96$ och $6$$

Kvoten är

16 .

För att få resultatet av den ursprungliga divisionen, kom ihåg att ändra

16

till dess motsats,

- 16 .

96 / 6 = 16 \Rightarrow - 96 / 6 = - 16

Detta betyder att Julia förlorade

16

poäng för varje misstag som gjordes. Detta stoppade henne dock inte – hon erövrade tävlingen med sin otroliga talang!

Övning

Multiplikation och division av slumpmässiga heltal

Använd reglerna för multiplikation och division av heltal för att hitta resultatet av den givna frågan. Kom ihåg att kvoten eller produkten alltid är positiv om de två heltal har samma tecken. Om inte, är den alltid negativ.

Slumpmässig frågegenerator för multiplikation och division av heltal

Exempel

Att byta tidszoner

Julia reser med flygplan med sin familj till ett fascinerande resmål. De flyger från en tidszon

- 4

och hamnar i en tidszon som är

2

gånger detta nummer.

I vilken tidszon hamnar de?

Ledtråd

Multiplicera $- 4$ med $2$ genom att använda regeln för multiplikation av ett negativt och ett positivt tal.

Lösning

Det är givet att Julia och hennes familj började sin resa i tidszonen

- 4 .

De hamnar i en tidszon som är

2

gånger detta nummer. För att hitta deras destinations-tidszon, multiplicera

- 4

med

2 .

Följande regel kan användas.

- a \cdot b = - a b

Det säger att produkten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativt.

- 4 \cdot 2 = - 8

Julias familj reser till tidszonen

- 8 .

Avslut

Summary

Denna lektion lärde ut hur man utför multiplikation med negativa tal.

Regel	Förklaring
$a \cdot (- b) = - a b$	Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
$- a \cdot b = - a b$	Produkten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
$- a \cdot (- b) = a b$	Produkten av två negativa tal är positiv.

Reglerna för division med negativa tal är de samma som för multiplikation.

Regel	Förklaring
$\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}$	Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ.
$\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}$	Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ.
$\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$	Kvoten av två negativa tal är positiv.

Att förstå hur man multiplicerar och dividerar med negativa tal är viktigt eftersom det hjälper oss att lösa problem i verkliga livet, som att beräkna skulder, temperaturförändringar eller vinst och förlust, vilket gör matematik till ett praktiskt verktyg i vardagen.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning