{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Den här lektionen introducerar begreppet skala. Skala handlar om att ändra storleken på olika objekt, till exempel 2D- och 3D-objekt, samtidigt som proportionerna mellan olika mått behålls. Att förstå skala är också viktigt för att kunna tolka avstånd på kartor och bygga modeller. Förutom begreppet skala kommer denna lektion att introducera några grundläggande geometriska begrepp. Här är en lista över alla dessa begrepp.
- Linjer
- Parallella linjer
- Strålar
- Sträckor
- Skala
Förkunskaper
Teori
Utforska några geometriska begrepp
Innan vi introducerar begreppet skala är det hjälpsamt att förstå några grundläggande geometriska begrepp. Det första begreppet som ska utforskas är linjen.
Koncept
Linje
En linje sträcker sig oändligt långt i båda riktningarna. Den har ingen tjocklek och ingen start- eller slutpunkt. Den kan vara både rät och böjd.
Om en linje saknar tydliga ändpunkter borde man anta att den sträcker sig oändligt långt i båda riktningarna. Ett exempel är tallinjen. Den fortsätter oändligt långt i både positiv och negativ riktning, vilket visas av pilspetsarna. 
Teori
Positionen av två linjer i förhållande till varandra
När man undersöker positionerna av två linjer i förhållande till varandra, kan linjerna vara parallella.
Koncept
Parallella linjer
Övning
Hitta de parallella linjerna
Parallella linjer är linjer som aldrig skär varandra och håller ett konstant avstånd mellan sig. Bestäm om linjerna i följande applikation är parallella eller inte.
Teori
Från linjer till strålar
En del av en linje som börjar från en punkt har ett särskilt namn.
Koncept
Stråle
En stråle är en del av en rät linje som är begränsad åt ena hållet. En stråle har en startpunkt och sträcker sig oändligt i en riktning.
Teori
Från linjer till sträckor
En stråle är en del av en linje som har en ändpunkt, medan en del av en linje som har två ändpunkter benämns med ett annat namn.
Koncept
Sträcka
En sträcka är en del av en rät linje som är begränsad åt båda hållen. Till skillnad från en linje sträcker sig inte en sträcka oändligt långt.
Exempel
Frejas och Tobias definitioner av segment
Freja och Tobias har varsin egen definition av ett segment.
{"type":"multichoice","form":{"alts":["Freja","Tobias"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}
Lösning
Kom ihåg egenskaperna för en linje, en stråle och en sträcka. Klicka på orden för att se definitionerna.
Frejas definition är rätt och är den klassiska definitionen av en sträcka. Tobias svar har ett viktigt fel. Han nämner inte en specifik position för strålarna. Därför inkluderar det han säger följande tre fall. 
- Fall I: Strålarna skär inte varandra alls.
- Fall II: Strålarna är motsatta strålar med samma startpunkt. Här är deras skärningspunkt bara startpunkten.
- Fall III: Strålarna skär varandra i mer än en punkt. Här är skärningen faktiskt en sträcka.
Om man bara tittar på det tredje fallet kan man se att skärningen av strålarna bildar en sträcka. Det första och andra fallet bildar inte någon sträcka. Därför är Tobias definition inte rätt, han måste ge fler detaljer för att den ska kunna stämma. Det gör att det bara är Frejas definition som är korrekt!
Övning
Mätning av längden på en sträcka
När gruppen går till nästa plats för dagen, Globen, så berättar fröken Johanna att arenan representerar solen. Det gör att Ibrahim börjar tänka på hur stora och hur små avstånd kan vara. Han förstår att det är viktigt att uttrycka avstånd i en lämplig mätenhet. Ibrahim och Rebecca övar sen tillsammans på att bli skickliga på att göra det.
Extra
PrefixTabellen visar symbolerna och betydelserna för några olika prefix.
| Prefix | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| kilo | k | tusen — 1000 | |
| hekto | h | hundra — 100 | |
| deci | d | en tiondel — 0.1 | |
| centi | c | en hundradel — 0.01 | |
| milli | m | en tusendel — 0.001 | |
Teori
Skala
Skalan, på exempelvis en karta, är proportionen mellan avståndet på kartan och motsvarande avstånd på den verkliga platsen.
Avsta˚nd pa˚ kartan : Motsvarande avsta˚ndpa˚ den verkliga platsen
Det vanligaste exemplet är kartor, men skala används även på ritningar till hus, och många andra saker. På kartor kan det till exempel vara en skala som 1cm : 10km. Det betyder att 1cm på kartan motsvarar 10km i verkligheten. Proportion, som skrivs med kolon som ovanför, är det vanligaste sättet att uttrycka skala. Skala kan även uttryckas som ett bråk eftersom skala är ett förhållande mellan två tal.
| Sätt att beteckna en skala | |
|---|---|
| Proportion | 1cm:100km |
| Bråk | 100km1cm |
Använder bild av: macrovector
Exempel
Använda skalan för att hitta de verkliga avstånden
I Sverige Solar System representerar Globe Arena Solen. Dimensionerna på de andra planeterna i denna modell kan hittas med hjälp av följande applet.
Skalan som används för denna modell är 1:20 miljoner.
Multiplicera nu det talet med 20000000 för att hitta den verkliga diametern på jorden.
Alltså motsvarar 65 cm i modellen 1300000000 cm i verkligheten. Med andra ord är jordens verkliga diameter 1300000000 cm.
Svaret är alltså att jordens diameter är 13000 km!
Alltså multipliceras 300 km och 20000000 ihop för att hitta det verkliga avståndet från Pluto till solen.
Svaret är att avståndet från Pluto till solen är 6 miljarder kilometer.
Använder bild av: CIA
a Vad är jordens verkliga diameter? Ge svaret i kilometer.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["13000"]}}
b Vad är det verkliga avståndet från Pluto till solen? Svara i miljarder kilometer.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"miljarder kilometer","answer":{"text":["6"]}}
Ledtråd
a Tänk på att skalan inte anger vilka enheter som används. Det betyder att båda talen i skalan delar samma längdenhet.
b Vad är avståndet från solen till Pluto i modellen? För att hitta det verkliga avståndet, multiplicera talet till höger om
:i skalan med avståndet i modellen.
Lösning
a Tänk på att skalan inte anger enheterna. Det betyder att båda talen har samma enhet.
Skala1:20 miljonereller1:20000000
Skalan visar att 1 enhet i modellen motsvarar 20000000 enheter i verkligheten. Jordens diameter är 65 cm, vilket visas i informationsrutan. Använder bild av: CIA
Jordens diameter1300000000 cm
En mer lämplig enhet att skriva jordens diameter i är i kilometer, så nästa steg är att omvandla centimeter till kilometer. Kom ihåg att kilobetyder tusen, så det går 1000 meter på 1 kilometer. På samma sätt betyder
centihundradel, så det går 100 centimeter på 1 meter.
1300000000centimeter
CentiTextToFrac
centi=1001
1300000000⋅1001meter
MoveLeftFacToNumOne
a⋅b1=ba
1001300000000meter
CalcQuot
Beräkna kvot
13000000meter
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
13000⋅1000meter
KiloNumberToText
1000=kilo
13000kilometer
b Avståndet mellan modellen av Pluto och Globen är 300 km.
Använder bild av: CIA
300 km⋅20000000
Multiply
Multiplicera faktorer
6000000000km
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
6⋅1000000000km
BillionNumberToText
1000000000=miljard
6 miljarder kilometer
Exempel
Ändrad skala
Stockholms stadshus är en byggnad med ett storslaget torn. En 3D-modell av Stockholms stadshus skapas i en 1:400 skala. Modellen är 26,5 centimeter hög som visas i följande diagram.
a Vad är den verkliga höjden på Stockholms stadshus i meter?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"m","answer":{"text":["106"]}}
b Hur högt skulle tornet vara i modellen om skalan ändrades till 1:500?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"cm","answer":{"text":["21.2"]}}
Ledtråd
a Skalan 1:400 betyder att 1 cm på 3D-modellen motsvarar 400 cm på det riktiga stadshuset.
b Dela tornets verkliga höjd med 500. Den verkliga höjden hittades i deluppgift A.
Lösning
a Skalan på en 3D-modell jämför en dimension på modellen med motsvarande dimension på det verkliga objektet. Eftersom skalan inte anger några enheter har båda talen samma enhet.
Skala1:400
Enligt den här skalan motsvarar 1 cm på modellen 400 cm i verkligheten. Därför multipliceras modellens höjd med 400 för att hitta stadshusets verkliga höjd.
Kom ihåg att centibetyder hundradel. Använd det för att omvandla från centimeter till meter.
10600centimeter
CentiTextToFrac
centi=1001
10600⋅1001meter
MoveLeftFacToNumOne
a⋅b1=ba
10010600meter
CalcQuot
Beräkna kvot
106meter
b I deluppgift A hittades den verkliga höjden på Stockholms stadshus. Om skalan ändras till 1:500 kommer modellens höjd att vara en femhundradel av dess verkliga höjd. Därför ska vi dividera den verkliga höjden med 500.
0,212⋅1m=0,212⋅100 cm⇓0,212 m=21,2 cm
Det betyder att modellens höjd blir 21,2 cm om skalan istället är 1:500.
Exempel
Är det en skalad kopia?
En bild eller modell är en skalad kopia av originalet om den är omstorad utan att ändra dess form. Titta på den ursprungliga fjärilsbilden och de tre kopiorna nedan.
Vilken eller vilka av bilderna I, II och III är skalade kopior av originalet?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">I<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">II<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">III<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1]}
Ledtråd
Prova om förhållandet mellan längderna på bilderna, och motsvarande längder på originalet, är konstant.
Lösning
Börja med att mäta vingspannet och vingarnas längd på den ursprungliga fjärilsbilden. De längderna kommer sen att jämföras med motsvarande längder i kopiorna, för att se vilka som är skalade kopior.
Som kan ses med hjälp av måttbandet på den ursprungliga fjärilsbilden så har fjärilens vingar ett spann på 2 cm och en längd på 1,8 cm. Nu är det dags att hitta de motsvarande längderna på bilderna. Vingspannet förskortas VS och vingens längd förkortas VL.
Kontrollera för alla bilder om förhållandena mellan de motsvarande längderna på originalet och bilden är konstant. Börja med Bild I.
| Vingspann (cm) | Vingens längd (cm) | |
|---|---|---|
| Bild I | 1 | 0,9 |
| Original | 2 | 1,8 |
| Bild:Original | 1:2 | 0,9:1,8=1:2 |
Lägg märke till att vingspannets proportion och proportionen av vingens längd är lika med varandra, båda är 1:2. Vi vet att de är lika eftersom 1.80.9=21. Det visar att Bild I är en förminskning som inte har ändrat formen från originalet. Alltså är Bild I en skalad kopia av originalet. När talet till vänster om :
är mindre än talet till höger, är det en förminskning, vilket är tydligt eftersom Bild I är mindre än originalet. Nästa bild är Bild II.
| Vingspann (cm) | Vingens längd (cm) | |
|---|---|---|
| Bild II | 3 | 2,7 |
| Original | 2 | 1,8 |
| Bild:Original | 3:2 | 2,7:1,8=3:2 |
Återigen, av samma skäl som för Bild I så är Bild II en skalad kopia av originalet. Det är dock en förstoring, eftersom talet till vänster om :
är större än talet till höger. Till sist, upprepa samma metod för Bild III.
| Vingspann (cm) | Vingens längd (cm) | |
|---|---|---|
| Bild III | 3 | 0,9 |
| Original | 0,9 | 1,8 |
| Bild:Original | 3:2 | 0,9:1,8=1:2 |
I det här fallet är proportionerna inte lika. Vi kan räkna ut att 1,80,9=21=23. Olika delar av modellen har förminskats och förstorats på olika sätt. Därför är Bild III inte en skalad kopia. Det betyder att Bild I och Bild II är de skalade kopiorna.
Avslut
Sammanfattning
En linje sträcker sig oändligt i båda riktningarna, en stråle börjar vid en punkt och sträcker sig oändligt i en riktning, och ett sträcka har två fasta ändpunkter, vilket innebär att det har en fast längd. Parallella linjer är linjer som aldrig skär varandra och alltid är lika långt ifrån varandra. Klicka på orden för att se egenskaperna för linjer, strålar och sträcka.
Ett annat begrepp som introduceras i denna lektion är skala. Det visar hur former kan göras större eller mindre samtidigt som deras proportioner bibehålls. Skala hjälper till att förstå kartor, modeller och diagram på ett korrekt sätt. 
Använder bild av: CIA
Laddar innehåll