Lägesmått

Vi börjar med att sortera de givna värdena i storleksordning.

Alla tal måste vara heltal, och de måste vara olika. Villkoret att 6 < x < y innebär därför att x måste vara minst 7, och att y alltid måste vara minst 1 högre än x, annars blir de samma tal. För att bestämma medianen går vi igenom alla möjliga fall.

x=7

Om x=7 hamnar det mellan 5 och 8. Vi vet också att y minst måste vara ett större än x, men i det här fallet kan y inte vara 8 eftersom det redan finns en åtta och alla tal måste vara olika. Därför blir y=9 och hamnar mellan 8 och 10.

Eftersom x hamnar i mitten blir medianen alltså 7. Men y kan också vara ett heltal större än 9, dock inte 10 eftersom det redan finns. Alltså blir y då 11 eller större och hamnar då längst till höger i listan. Medianen kommer dock att bli densamma.

x=9

Om vi ökar x till nästa möjliga värde hamnar vi på 9, eftersom 8 redan finns. Det andra talet, y, förskjuts då till att vara minst 11.

Här hamnar istället 8 i mitten och blir median.

x≥11

Sista fallet får vi om både x och y hamnar sist i listan, dvs. om x är 11 eller större och y är 12 eller större och dessutom x < y.

Även här blir medianen 8.

Slutsats

Vi ser att värdet på y inte påverkar medianen alls i de olika fallen, eftersom det alltid hamnar högre än mitten. De möjliga värdena för medianen är antingen 7 eller 8.

Vi kallar antalet barn i byn första året för x, och medelantalet klappar första året för y. Sedan gör vi en sammanställning av informationen i uppgiften. Eftersom medelantalet ökade med 25 % skriver vi det med förändringsfaktorn 1,25 framför.

Vi använder oss av formeln för medelvärde, Medelvärde=Summa av värden/Antal värden, för att ställa upp två ekvationer. För år 1 får vi följande ekvation: y=256/x, och för andra året får vi 1,25y=340/x+4. Vi kan nu bilda ett ekvationssystem, som vi kan lösa med t.ex. substitutionsmetoden.

Då vet vi att x=64, dvs. antal barn i byn det första året var 64. Nu kan vi sätta in detta i statistiken för år 2.

Totalt bodde alltså 68 barn i byn andra året.

I lösningen till föregående deluppgift fann vi att och y=4. Det betyder att år 1 var medelantalet klappar/barn 4. Även detta kan vi föra in i statistiken för år 2.

År 2 fick alltså barnen i byn i snitt 5 julklappar var.

Vi söker fyra tal, som vi i storleksordning kan skriva x, y, z, w. Typvärdet för dessa ska vara 8, vilket innebär att det vanligaste värdet är 8. Det måste därför förekomma minst två gånger. Det skulle kunna finnas fler än två 8:or, vilket ger möjligheterna 8, 8, 8, w x, 8, 8, 8 8, 8, 8, 8. I alla dessa fall är de två talen i mitten 8:or, vilket ger medianen 8 i alla tre fall. Inget av dem kan då vara det fall vi söker eftersom medianen ska vara 7. Det måste alltså finnas två 8:or, vilket ger tre alternativ: 8, 8, z, w x, 8, 8, w x, y, 8, 8. Mittenalternativet kan vi avfärda direkt eftersom det ger medianen 8. I första alternativet är medianen medelvärdet av 8 och z. Eftersom z är större än 8 kan medelvärdet av dem inte bli 7. Då finns det bara ett alternativ kvar, som måste vara det korrekta: x, y, 8, 8. Medianen, alltså medelvärdet av de två mittenvärdena y och 8, ska vara lika med 7. Vi ställer upp det.

Vi känner nu till tre av fyra värden och saknar bara x: x, 6, 8, 8. Medelvärdet av värdena är 6. Vi ställer upp det och löser ut x.

Nu när vi vet att x är 2 har vi all de fyra talen. x=2 y=6 z=8 w=8

Tre på varandra följande heltal är till exempel 4, 5 och 6. I det här fallet är medianen 5 (talet i mitten) och medelvärdet blir 4 + 5 + 6/3 = 15/3 = 5. I det här specifika fallet är alltså medelvärde och median lika. Vi kan visa att detta gäller oavsett vilka tre på varandra följande heltal vi väljer. Kalla till exempel mittentalet för n , så att n också är medianen. Talet innan är n-1 och talet efter är n+1 . Vi beräknar nu medelvärdet av dessa tre tal.

Medelvärdet blir alltså n, vilket är lika stort som medianen, oavsett vilka tre tal man väljer! Alice har alltså rätt.

Medianen är mittenvärdet av en datamängd. Eftersom vi har fem tal, inklusive x, så kommer det tredje värdet i datamängden ligga i mitten. Medianen kan dock inte avgöras om inte talen står i storleksordning. Vi flyttar därför om talen men lämnar x utanför. 1, 4, 6, 9, x Om x är mittemellan 4 och 6, dvs. 5, kommer datamängdens median att vara 5 som vi markerar blått nedan. 1, 4, 5, 6, 9 När x är 4 eller mindre blir medianen 4. Vi visar fem exempel på detta och markerar medianen i blått. &x= 0: && 0, 1, 4, 6, 9 &x= 1: && 1, 1 , 4, 6, 9 &x= 2: &&1, 2 , 4, 6, 9 &x= 3: &&1, 3 , 4, 6, 9 &x= 4: &&1, 4 , 4, 6, 9 Det spelar ingen roll om x skulle vara ännu mindre än 0. Talet skulle ändå stå på samma plats, vilket gör att medianen ändå blir 4. När x istället är 6 eller större blir medianen 6. Vi visar detta på samma sätt som ovan. &x= 6: &&1, 4, 6, 6, 9 &x= 7: &&1, 4 , 6, 7, 9 &x= 8: &&1, 4 , 6, 8, 9 &x= 9: &&1, 4 , 6, 9, 9 &x= 10: &&1, 4 , 6, 9, 10 Nu ser vi att medianen kan vara 4, 5 eller 6. Kom ihåg att x även kan vara större än 10 men det kommer alltså fortfarande placeras i slutet av datamängden vilket betyder att 6 blir median.

Medelvärdet beräknas genom att addera talen i en datamängd och dividera med antalet tal. Vi får alltså ekvationen Medelvärde=1+4+6+9+x/5=20+x/5 Vi vet sedan tidigare att 4, 5 och 6 är de enda värdena som medianen kan anta. Genom att sätta medelvärdet lika med dessa tre värden och lösa ut x kan vi avgöra vilket värde x ska vara för att medelvärdet och medianen ska bli lika stora.

Median=Medelvärde=4

Vi sätter medelvärdet lika med 4 och löser ut x.

När x=0 är medelvärde och median lika med 4.

Median=Medelvärde=5

Vi sätter medelvärdet lika med 5 och löser ut x.

När x=5 är medelvärde och median lika med 5.

Median=Medelvärde=6

Vi sätter medelvärdet lika med 6 och löser ut x.

När x=10 är medelvärde och median lika med 6. Sammanfattningsvis så gör x=0, x=5 och x=10 att median och medelvärde blir lika stora.