Medelvärde, Median och Typvärde: Lär dig räkna ut lägesmått i matte

Träningsdagar	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Frekvens	$5$	$19$	$27$	$22$	$15$	$4$	$4$	$1$

Träningsdagar

0

1

2

3

4

5

6

7

Frekvens

5

19

27

22

15

4

4

1

Värde	$\dots$	$2$	$2$	$2$	$2$	$2$	$3$	$\dots$
Nummer	$\dots$	$47$	$48$	$49$	$50$	$51$	$52$	$\dots$

Värde

\dots

2

2

2

2

2

3

\dots

Nummer

\dots

47

48

49

50

51

52

\dots

På en nattklubb med

13

personer är medelåldern

30

år. Om åldersgränsen är

18

år, hur många fler personer måste minst komma in på nattklubben för att medelåldern ska bli under

25

år?

Vi börjar med att beräkna den sammanlagda åldern på nattklubben innan någon mer går in.

Den sammanlagda åldern är alltså 390 år. För att sänka medelåldern så mycket som möjligt ska personerna som går in vara så unga som möjligt. Åldersgränsen på klubben är 18 år, så de yngsta som får gå in är 18 år. Vi kallar antalet personer som går in för x. Då ökar totalåldern med 18x, så den nya sammanlagda åldern blir 390 + 18x. När nya personer går in ökar även antalet personer med x, så nu finns det 13+x personer i rummet. Den nya medelåldern beskrivs därför av Sammanlagd ålder/Antal personer=390+18x/13+x, och vi vill att denna ska vara lägre än 25. Det ger oss en olikhet som vi kan lösa ut x ur. Vi börjar med att multiplicera med (13+x) på båda sidor. Eftersom x är positivt är också 13+x positivt så vi behöver inte vända på olikhetstecknet.

x måste alltså vara större än ≈ 9,3, men eftersom x är ett antal personer måste det vara ett heltal, och det minsta heltalet som är större än 9,3 är 10. Det måste alltså gå in minst 10 personer för att medelåldern ska bli lägre än 25 år.

Du har de olika heltalen

3,

8,

1,

5,

10,

x

och

y .

Du vet att

6 < x < y .

Vad kan medianen vara?

Vi börjar med att sortera de givna värdena i storleksordning.

Alla tal måste vara heltal, och de måste vara olika. Villkoret att 6 < x < y innebär därför att x måste vara minst 7, och att y alltid måste vara minst 1 högre än x, annars blir de samma tal. För att bestämma medianen går vi igenom alla möjliga fall.

x=7

Om x=7 hamnar det mellan 5 och 8. Vi vet också att y minst måste vara ett större än x, men i det här fallet kan y inte vara 8 eftersom det redan finns en åtta och alla tal måste vara olika. Därför blir y=9 och hamnar mellan 8 och 10.

Eftersom x hamnar i mitten blir medianen alltså 7. Men y kan också vara ett heltal större än 9, dock inte 10 eftersom det redan finns. Alltså blir y då 11 eller större och hamnar då längst till höger i listan. Medianen kommer dock att bli densamma.

x=9

Om vi ökar x till nästa möjliga värde hamnar vi på 9, eftersom 8 redan finns. Det andra talet, y, förskjuts då till att vara minst 11.

Här hamnar istället 8 i mitten och blir median.

x≥11

Sista fallet får vi om både x och y hamnar sist i listan, dvs. om x är 11 eller större och y är 12 eller större och dessutom x < y.

Även här blir medianen 8.

Slutsats

Vi ser att värdet på y inte påverkar medianen alls i de olika fallen, eftersom det alltid hamnar högre än mitten. De möjliga värdena för medianen är antingen 7 eller 8.

Ett år delade Tomten ut $256$ julklappar till barnen i en by i Norrbotten. Till nästa år anställdes fler tomtenissar, och då tillverkades $340$ klappar. Det gjorde att medelantalet klappar/barn ökade med $25 %,$ trots att antalet barn i byn ökat med $4 .$

Hur många barn fanns det i byn det andra året?

Hur många klappar fick barnen i genomsnitt andra året?

Vi kallar antalet barn i byn första året för x, och medelantalet klappar första året för y. Sedan gör vi en sammanställning av informationen i uppgiften. Eftersom medelantalet ökade med 25 % skriver vi det med förändringsfaktorn 1,25 framför.

	År 1	År 2
Klappar	256	340
Barn	x	x+4
Medelantal	y	1,25y

Vi använder oss av formeln för medelvärde, Medelvärde=Summa av värden/Antal värden, för att ställa upp två ekvationer. För år 1 får vi följande ekvation: y=256/x, och för andra året får vi 1,25y=340/x+4. Vi kan nu bilda ett ekvationssystem, som vi kan lösa med t.ex. substitutionsmetoden.

Då vet vi att x=64, dvs. antal barn i byn det första året var 64. Nu kan vi sätta in detta i statistiken för år 2.

	År 1	År 2
Klappar	256	340
Barn	64	64+4=68
Medelantal

Totalt bodde alltså 68 barn i byn andra året.

I lösningen till föregående deluppgift fann vi att och y=4. Det betyder att år 1 var medelantalet klappar/barn 4. Även detta kan vi föra in i statistiken för år 2.

	År 1	År 2
Klappar	256	340
Barn	64	64+4
Medelantal	4	1,25 * 4=5

År 2 fick alltså barnen i byn i snitt 5 julklappar var.

Fyra tal,

x,

y,

z,

och

w,

har medelvärde

6,

median

7

och typvärde

8 .

Vilka är de fyra talen?

Vi söker fyra tal, som vi i storleksordning kan skriva x, y, z, w. Typvärdet för dessa ska vara 8, vilket innebär att det vanligaste värdet är 8. Det måste därför förekomma minst två gånger. Det skulle kunna finnas fler än två 8:or, vilket ger möjligheterna 8, 8, 8, w x, 8, 8, 8 8, 8, 8, 8. I alla dessa fall är de två talen i mitten 8:or, vilket ger medianen 8 i alla tre fall. Inget av dem kan då vara det fall vi söker eftersom medianen ska vara 7. Det måste alltså finnas två 8:or, vilket ger tre alternativ: 8, 8, z, w x, 8, 8, w x, y, 8, 8. Mittenalternativet kan vi avfärda direkt eftersom det ger medianen 8. I första alternativet är medianen medelvärdet av 8 och z. Eftersom z är större än 8 kan medelvärdet av dem inte bli 7. Då finns det bara ett alternativ kvar, som måste vara det korrekta: x, y, 8, 8. Medianen, alltså medelvärdet av de två mittenvärdena y och 8, ska vara lika med 7. Vi ställer upp det.

Vi känner nu till tre av fyra värden och saknar bara x: x, 6, 8, 8. Medelvärdet av värdena är 6. Vi ställer upp det och löser ut x.

Nu när vi vet att x är 2 har vi all de fyra talen. x=2 y=6 z=8 w=8

Alice och Moa diskuterar medelvärde och median. Alice påstår: Medelvärdet av tre på varandra följande heltal är alltid lika med talens median. Moa svarar: Nej, det gäller inte alltid. Vem har rätt, Alice eller Moa? Motivera ditt svar.

Nationella provet VT12 kurs 2b/2c

Tre på varandra följande heltal är till exempel 4, 5 och 6. I det här fallet är medianen 5 (talet i mitten) och medelvärdet blir 4 + 5 + 6/3 = 15/3 = 5. I det här specifika fallet är alltså medelvärde och median lika. Vi kan visa att detta gäller oavsett vilka tre på varandra följande heltal vi väljer. Kalla till exempel mittentalet för n , så att n också är medianen. Talet innan är n-1 och talet efter är n+1 . Vi beräknar nu medelvärdet av dessa tre tal.

Medelvärdet blir alltså n, vilket är lika stort som medianen, oavsett vilka tre tal man väljer! Alice har alltså rätt.

De fem talen $6,$ $1,$ $x,$ $9$ och $4$ är alla heltal.

Vilka värden får medianen för olika värden på $x ?$ Motivera.

Nationella provet VT10 MaA

För vilka värden på $x$ får de fem talen samma värde på median och medelvärde?

Nationella provet VT10 MaA

Medianen är mittenvärdet av en datamängd. Eftersom vi har fem tal, inklusive x, så kommer det tredje värdet i datamängden ligga i mitten. Medianen kan dock inte avgöras om inte talen står i storleksordning. Vi flyttar därför om talen men lämnar x utanför. 1, 4, 6, 9, x Om x är mittemellan 4 och 6, dvs. 5, kommer datamängdens median att vara 5 som vi markerar blått nedan. 1, 4, 5, 6, 9 När x är 4 eller mindre blir medianen 4. Vi visar fem exempel på detta och markerar medianen i blått. &x= 0: && 0, 1, 4, 6, 9 &x= 1: && 1, 1 , 4, 6, 9 &x= 2: &&1, 2 , 4, 6, 9 &x= 3: &&1, 3 , 4, 6, 9 &x= 4: &&1, 4 , 4, 6, 9 Det spelar ingen roll om x skulle vara ännu mindre än 0. Talet skulle ändå stå på samma plats, vilket gör att medianen ändå blir 4. När x istället är 6 eller större blir medianen 6. Vi visar detta på samma sätt som ovan. &x= 6: &&1, 4, 6, 6, 9 &x= 7: &&1, 4 , 6, 7, 9 &x= 8: &&1, 4 , 6, 8, 9 &x= 9: &&1, 4 , 6, 9, 9 &x= 10: &&1, 4 , 6, 9, 10 Nu ser vi att medianen kan vara 4, 5 eller 6. Kom ihåg att x även kan vara större än 10 men det kommer alltså fortfarande placeras i slutet av datamängden vilket betyder att 6 blir median.

Medelvärdet beräknas genom att addera talen i en datamängd och dividera med antalet tal. Vi får alltså ekvationen Medelvärde=1+4+6+9+x/5=20+x/5 Vi vet sedan tidigare att 4, 5 och 6 är de enda värdena som medianen kan anta. Genom att sätta medelvärdet lika med dessa tre värden och lösa ut x kan vi avgöra vilket värde x ska vara för att medelvärdet och medianen ska bli lika stora.

Median=Medelvärde=4

Vi sätter medelvärdet lika med 4 och löser ut x.

När x=0 är medelvärde och median lika med 4.

Median=Medelvärde=5

Vi sätter medelvärdet lika med 5 och löser ut x.

När x=5 är medelvärde och median lika med 5.

Median=Medelvärde=6

Vi sätter medelvärdet lika med 6 och löser ut x.

När x=10 är medelvärde och median lika med 6. Sammanfattningsvis så gör x=0, x=5 och x=10 att median och medelvärde blir lika stora.

Lägesmått

Mathleaks

Förkunskaper

Lägesmått

Medelvärde

Median

Bestäm lägesmått med räknare

Typvärde

Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet

Ledtråd

Lösning

Vilket lägesmått passar bäst?

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm lägesmåtten från frekvenstabellen

Ledtråd

Lösning

Öva på att hitta lägesmått

x=7

x=9

x≥11

Slutsats

Median=Medelvärde=4

Median=Medelvärde=5

Median=Medelvärde=6

Lägesmått

Rekommenderade uppgifter

	10 sidor teori
	28 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.