Logga in
| 10 sidor teori |
| 28 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Medelvärdet, eller genomsnittet, är ett av de vanligaste lägesmåtten för en numerisk datamängd. Det beräknas genom att man lägger ihop alla värden och sedan dividerar med hur många värden det finns.
Medelva¨rde=Antal va¨rdenSumman av va¨rden
Följande program beräknar medelvärdet för en datamängd som visas på en tallinje. Du kan flytta punkterna för att ändra värdena i datamängden.
Medianen är ett lägesmått som visar det mittersta värdet i en numerisk datamängd, när värdena är sorterade i storleksordning. Om datamängden har ett udda antal värden, är medianen det värde som står i mitten.
Men om datamängden har ett jämnt antal värden, är medianen medelvärdet av de två mittersta värdena.
Man börjar med att trycka på knappen STAT och sedan Edit
. Därefter skriver man in samtliga värden i en av listorna, t.ex. lista L1. Det spelar ingen roll i vilken ordning värdena skrivs in.
När värdena är inmatade trycker man på STAT igen och väljer CALC-menyn. Där markerar man alternativet 1-Var Stats
och trycker på ENTER två gånger. Om man matat in värdena i någon annan lista än L1 väljer man den genom att trycka på 2ND och sedan siffran på listan (t.ex. 2ND+3).
Displayen visar då en mängd olika symboler. Den översta symbolen (x med streck ovanför) är medelvärdet, vilket här är 91,3.
För att hitta medianen måste man trycka nedåt till alternativet Med. Där kan man läsa av medianen, som i just detta fall är 12,4.
Typvärdet är ett lägesmått som visar vilket eller vilka värden som är vanligast i en datamängd. Typvärde kan användas för både numerisk och kategorisk data.
En lärare ska ställa några frågor till sin lågstadieklass. Vilket eller vilka lägesmått är lämpligast för att presentera resultatet?
På ett företag frågade man de anställda hur många gånger i veckan de tränar. Resultatet är sammanställt i en frekvenstabell.
Träningsdagar | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Frekvens | 5 | 19 | 27 | 22 | 15 | 4 | 4 | 1 |
Värde | … | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 3 | … |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nummer | … | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | … |
Det 49:e talet är 2 så medianen är 2 träningsdagar.
Kalla de två yngsta sköldpaddornas ålder för x. Det är då 3 sköldpaddor kvar. Den näst yngsta blir då x+5, nästa blir x+5+5=x+10 år och den äldsta är x+5+5+5=x+15 år. Medelåldern är 14, vilket gör att vi kan sätta in det vi vet i formeln för medelvärde ur vilken vi kan lösa ut x.
Sköldpaddornas åldrar är alltså 8, 8, 13, 18 och 23 år. Ställer vi dessa på en rad och avläser mittenvärdet ser vi att medianåldern är 13 år.
Eftersom talen redan står i storleksordning kan vi direkt läsa av medianen som är mittenvärdet, 47. 45, 46, 47, 48, 49
Medelvärdet blir summan av värdena delat med 5.
Medelvärdet är alltså 47.
Eftersom fem på varandra följande heltal kan vara fem negativa kan vi konstatera att både medianen och medelvärdet kan vara negativa tal. Det betyder att de första två utsagorna är felaktiga.
A:& Medianen är alltid större än0.
B:& Medelvärdet är alltid större än0.
C:& Medianen är större än medelvärdet.
D:& Medelvärdet är större än medianen.
E:& Medelvärde och median är lika.
Från föregående deluppgifter har vi sett att för fem på varandra följande heltal kan medelvärde och median vara lika. Därmed har vi visat att även de följande två utsagorna inte stämmer.
A:& Medianen är alltid större än0.
B:& Medelvärdet är alltid större än0.
C:& Medianen är större än medelvärdet.
D:& Medelvärdet är större än medianen.
E:& Medelvärde och median är lika.
Det som återstår nu är att undersöka om medelvärdet av fem på varandra följande heltal alltid är lika med medianen oavsett vilka talen är. Om vi kallar det minsta talet x blir nästa heltal x+1 och efter det kommer x+2 osv. Talen kan alltså skrivas
x, x+1, x+2, x+3, x+4.
Det mittersta av dem är x+2 så detta är medianen. Om vi kan visa att medelvärdet också blir x+2 är vi klara. Vi beräknar det genom att summera talen och dividera med 5.
Både median och medelvärde är x+2, dvs. samma. Därför är alternativ E korrekt.
Du har under en veckas tid antecknat vilken temperatur din kökstermometer visade kl. 7 på morgonen. Tyvärr spillde du kaffe över måndagen och tisdagen.
Vi kallar de okända temperaturerna för x och y och ställer upp ett uttryck för medelvärdet, som du antecknat var 3.
Summan av temperaturerna är alltså 9^(∘)C. Vi vet också att typvärdet är 7^(∘)C så minst en av temperaturerna är 7^(∘)C. Men det kan inte vara båda eftersom summan då hade blivit 14^(∘)C. Vi låter y vara 7 och beräknar x: x+7=9 ⇔ x=2. De okända temperaturerna var alltså 2^(∘)C och 7^(∘)C.
Vi börjar med att beräkna den totala åldern, som vi kan kalla s, på de 16 deltagarna. Det gör vi genom att använda formeln för medelvärde.
Den totala åldern på deltagarna är alltså 752 år. Om Julio är sjuk blir den nya totalåldern 752-21=731. Medelåldern för de som är kvar i gruppen får vi genom att dividera detta med antal deltagare, som nu alltså har sjunkit till 15: 731/15≈49. Den nya medelåldern blir ungefär 49 år.
Vi antar att summan av värdena innan vi lägger till 7 är S och att antalet värden är n. Medelvärdet innan 7 läggs till kan då skrivas \begin{aligned} m_\text{före} = \dfrac{S}{n}. \end{aligned} Lägger man sedan till 7 till samlingen värden får vi en ny summa, S + 7, och ett nytt antal värden, n + 1. Medelvärdet blir då \begin{aligned} m_\text{efter} = \dfrac{S + 7}{n + 1}. \end{aligned} Vi vet att medelvärdet är oförändrat före och efter 7 läggs till, så vi kan sätta dessa två uttryck lika med varandra. Vi gör det och förenklar dem något.
Nu kommer vi ihåg att Sn är definierat som medelvärdet, vilket alltså är 7.
Medelåldern på fem anställda i en sportaffär var 24 år. En kvinna på 36 år anställs som butiksföreståndare. Vad blir därefter genomsnittsåldern i sportaffären?
Medelåldern, dvs. medelvärdet av de anställdas åldrar, beräknas genom att beräkna summan av de 5 anställdas ålder och dela med antalet anställda. Från uppgiften vet vi att medelåldern är 24 så vi kan ställa upp 24=Summa av åldrar/5. Nu kan vi bestämma summan av åldrarna genom att multiplicera med 5 i båda led. Summa av åldrar=120 När den nya butiksföreståndaren anställs ökar antalet anställda med 1 och summan av åldrarna ökar med 36 till 156. Nu kan vi beräkna den nya genomsnittsåldern.
Den nya medelåldern är 26 år.
Åldersfördelningen för de anställda i två företag redovisas i tabellen nedan.
Vilket av företagen har störst andel anställda över 25 år? Motivera ditt svar.
Vilket företag har lägst medianålder? Motivera ditt svar.
Förklara varför man inte utifrån tabellen kan beräkna de anställdas medelålder.
Vi vill räkna ut andelen som är över 25 år för båda företagen och sen avgöra vilken som är störst. Från tabellen kan vi avläsa hur stora andelar grupperna 26-50 och över 50 år är för Företag A och B.
Företag A har andelarna 51 % och 14 % över 25 år, totalt 51 %+14 %=65 %. Företag B har istället 35 % och 11 % över 25 år, totalt 35 %+11 %=46 %. Företaget som har störst andel anställda över 25 år är alltså Företag A.
Medianen anger det värde som är i mitten om man ställer upp en samling värden i storleksordning. I vårt fall är värdena åldern på de anställda ordnat efter yngst till äldst. Vi försöker bestämma medianen för båda företagen och jämföra dem.
De anställda ska sorteras efter ålder för att bestämma medianen. Eftersom vi inte vet den exakta åldern på alla anställda får vi istället ordna dem efter grupperna under 25, mellan 26-50 och över 50 år. Vi ser i tabellen hur stor andel de olika grupperna utgör för Företag A.
Ställer vi grupperna i åldersordning kommer alltså först 35 % att vara under 25 år, sen kommer 51 % mellan 26-50 år och till slut 14 % över 50 år.
Bilden visar i vilken ordning de anställda kommer stå och hur stor del som står var. Eftersom medianen är talet i mitten kommer vi hitta den vid 50 %.
Medianålder är alltså någonstans mellan 26-50 år för Företag A.
Vi gör på samma sätt och ser i tabellen hur stor andel de olika grupperna utgör för Företag B.
Ställer vi grupperna i åldersordning kommer först 54 % under 25 år, sen kommer 35 % mellan 26-50 år och till slut 11 % över 50 år.
Bilden visar i vilken ordning de anställda kommer stå och hur stor del som står var. Eftersom medianen är talet i mitten kommer vi hitta den vid 50 %.
Medianålder är alltså 25 år eller yngre för Företag B. Eftersom Företag A hade en medianålder på mellan 26-50 år har Företag B den lägsta medianåldern.
För medelvärdet av en samling värden behöver vi veta summan av värdena, som fås av att lägga ihop de anställdas åldrar. I tabellen ser vi t.ex. hur många som är under 26 år men inte exakt hur gamla de är. Det är omöjligt att veta och därför kan vi inte beräkna summan.
Frida gjorde fem tjänsteresor under september månad. Både mediankostnaden och medelkostnaden för resorna råkade blir 4 800 kronor.
Är det sant att resorna kostade totalt 24 000 kronor? Motivera ditt svar.
Är det sant att minst en av resorna kostade 4 800 kronor? Motivera ditt svar.
Ange ett statistiskt mått som kan användas för att beskriva spridningen i t.ex. detta statistiska material. Endast svar fordras
Resornas totala kostnad kan beräknas med antalet resor mutliplicerat med medelvärdet. Då får vi total kostnad = 5 * 4 800 kr = 24 000 kr. Ja, påståendet stämmer.
Frida gjorde fem tjänsteresor. Fem är udda. Det betyder att medianen 4 800 kr
verkligen var kostnaden för en resa, nämligen den tredje dyraste.
Ja, påståendet stämmer.
Här kan svaret anges utan motivering men vi visar hur man kan komma fram till det.
För att beskriva spridningen behövs ett spridningsmått. Vi skulle därför kunna använda variationsbredden.