1. Koordinatsystem
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Koordinatsystem
Denna lektion fokuserar på koordinatsystem, en central del av matematiken som hjälper oss att visualisera och lösa problem. I ett koordinatsystem representeras punkter med hjälp av koordinater längs x och y-axlarna. Punkten där dessa axlar skär varandra kallas origo. Koordinatsystem används i många olika matematiska sammanhang, från grundläggande algebra till mer avancerade ämnen som geometri och kalkyl. Att förstå hur man läser och använder koordinatsystem är avgörande för att kunna lösa matematiska problem effektivt.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Koordinatsystem
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Koordinat
- Koordinatsystem
- Origo
- Kvadrant
Förkunskaper
Teori
Koordinat
I ett koordinatsystem kan punkter markeras med hjälp av koordinater. Koordinater är talpar skrivna i formen (x,y). Det första talet representerar positionen längs x-axeln, och det andra talet representerar positionen längs y-axeln.
En kommatecken eller semikolon används vanligtvis för att separera värdena inom parentes. Om koordinaterna innehåller decimaler, används semikolon för att separera värdena, till exempel (3,6;2,8).
Teori
Koordinatsystem
Ett koordinatsystem är ett rutnät som bildas genom att en vertikal tallinje skär en horisontell tallinje vid deras nollpunkter. Punkten där linjerna skär varandra är origo. Den horisontella tallinjen kallas vanligtvis x-axeln och den vertikala tallinjen kallas vanligtvis y-axeln.
Exempel
Läs av koordinaterna
Bestäm punkternas koordinater.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2","text2":"3"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-4","text2":"0"}}
Ledtråd
Rita en horisontell linje från punkten till y-axeln och en vertikal linje från punkten till x-axeln.
Lösning
Vi börjar med punkt A. x-koordinaten läser vi av på den horisontella axeln och y-koordinaten på den vertikala. Man skriver x-koordinaten först, och sedan y, precis som i alfabetet. Punkt A har alltså koordinaterna (2,3).
AB=(2,3)=(−4,0)
Exempel
Bestäm avståndet mellan två punkter
Markera punkterna (−3,1) och (7,1) i ett koordinatsystem och bestäm avståndet mellan dem.
Räknar vi rutorna ser vi att avståndet är 10 le. Vi får samma svar genom att subtrahera den minsta x-koordinaten från den största:
Svar
Graf:
Avstånd mellan punkterna: 10
Ledtråd
Flytta horisontellt från origo antalet enheter som anges av x-koordinaten och vertikalt antalet enheter som anges av y-koordinaten för att plotta varje ordnat par i ett koordinatsystem.
Lösning
Koordinater skrivs på formen (x,y), så punkten (−3,1) har x-koordinaten −3 och y-koordinaten 1. Vi placerar ut punkten.
Nu gör vi på samma sätt med (7,1) som har x-koordinaten 7 och y-koordinaten 1.
Nu ska avståndet bestämmas. Eftersom de har samma y-koordinat kan vi direkt bestämma avståndet genom att antingen räkna rutorna, eftersom varje ruta är 1 längdenhet, eller genom att beräkna skillnaden mellan punkternas x-koordinater.
7−(−3)=7+3=10 le.
Övning
Slumpmässiga punkter i ett koordinatsystem
Identifiera koordinaterna för den givna punkten genom att skriva koordinaterna i formen (x,y), där x representerar x-koordinaten och y representerar y-koordinaten. Alternativt, dra den givna punkten till önskad position.
Teori
Kvadrant
I ett koordinatsystem producerar skärningen mellan x-axeln och y-axeln fyra regioner som kallas kvadranter. Kvadranterna är numrerade moturs från den övre högra kvadranten som Kvadrant I till Kvadrant IV i nedre högra hörnet. Tecknen på koordinaterna för en punkt kan bestämmas baserat på vilken kvadrant punkten ligger i.
Teori
Ställ in räknarens koordinatsystem
När man ritar ett koordinatsystem för hand kan man välja skala på axlarna och hur de ska graderas. På grafräknaren kan denna typ av inställningar göras på två olika sätt.
1
WINDOW
expand_more
Tryck på WINDOW.
Inställningarna för Xmin
och Xmax
avgör var koordinatsystemets x-axel börjar och slutar. På motsvarande sätt kan Ymin
och Ymax
justeras för att ändra på y-axeln. Xscl
står för x scale, och bestämmer hur långt det ska vara mellan varje markering på x-axeln. Motsvarande gäller för Yscale.
Genom att trycka på GRAPH ritas det önskade koordinatsystemet upp.
2
ZOOM
expand_more
Här följer några olika exempel på vilka val som kan vara användbara om man trycker på knappen ZOOM.
- Zoom standard: För att direkt välja ett koordinatsystem där både
Xmin
ochYmin
är −10 ochXmax
ochYmax
är 10, och båda skalorna är 1, kan man välja6 : ZStandard.
- Zoom box: Om man vill markera ett visst område manuellt kan man trycka på
1 : ZBox.
Då visas det koordinatsystem man ställt in senast och en markör. Med piltangenterna går man till den punkt man vill ska utgöra ena hörnet i det nya koordinatsystemet och trycker på ENTER.
Sedan flyttar man markören till det andra hörnet och trycker på ENTER.
Då ritas den markerade delen upp i hela fönstret.
- Zoom fit: Om man har ritat en funktion, men inte ser den i sitt koordinatsystem och inte vet var den är kan man använda
ZoomFit.
Den ställer automatiskt in ett fönster som räknaren tror passar funktionen.
Det är dock inte säkert att man får önskat resultat.
- Zoom in och out: För att zooma in eller ut börjar man med att välja ett av dessa alternativ i menyn.
Då kommer man till det fönster man hade senast och en markör visas. Man ställer markören där man vill att centrum av det nya koordinatsystemet ska visas.
Därefter trycker man på ENTER för att visa det in- eller utzoomade koordinatsystemet.
Övning
Bestäm i vilken kvadrant
Ett koordinatsystem har fyra kvadranter som ger information om tecknen för en punkts x- och y-koordinater. I följande applet ska du identifiera i vilken kvadrant den givna punkten ligger.
Koordinatsystem
Beräkna arean av den figur som har hörn i punkterna (−2,−2), (−2,6) och (3,−2).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"ae.","answer":{"text":["20"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att markera var och en av de tre punkterna i ett koordinatsystem.
Punkterna kan vi nu binda ihop med linjer. Då ser vi att punkterna utgör hörn i en rätvinklig triangel.
Arean av en triangel kan vi beräkna enligt Area = Bas * Höjd/2. Vi behöver alltså triangelns bas och höjd. Vi låter basen vara avståndet mellan punkterna (3,-2) och (-2,-2), medan höjden är avståndet mellan punkterna (-2,6) och (-2,-2). Dessa avstånd läser vi av direkt i koordinatsystemet: Bas = 5le. och Höjd = 8le. Nu kan vi beräkna triangelns area.
Triangelns area är alltså lika med 20 a.e.
security
report
code
Punkt A ligger 5 le. till vänster om och 2 le. ovanför origo.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-3","text2":"-3"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2","text2":"1"}}
security
report
code
security
report
code
Punkt A ligger 5 le. till vänster om origo, (0,0), så x-koordinaten minskar med 5, dvs. vi får x = -5. Den ska även ligga 2 le. ovanför origo, så y-koordinaten blir 2. Koordinaterna för punkten är alltså (-5,2).
Punkt B ska ligga 2 le. till höger om punkt A, så x-koordinaten blir -3. Punkten ligger 5 le. under A, så även y-koordinaten blir -3.
Punkt B:s koordinater är alltså (-3,-3).
Punkt C ligger 5 le. till höger om punkt B, så x-koordinaten blir 2. Den ligger även 4 le. ovanför B, så y-koordinaten blir 1.
Punkt C:s koordinater är (2,1).
security
report
code
En rektangel har hörn i punkterna (−6,4), (1,4) och (1,1) i ett koordinatsystem.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-6","text2":"1"}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"ae.","answer":{"text":["21"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och sammanbinder dem med en vågrät och lodrät linje. Då får vi två av sidorna i rektangeln.
Den sista punkten bör finnas rakt under punkten (- 6,4) och rakt till vänster om punkten (1,1). Den bör alltså ha samma x-värde som (- 6,4) och samma y-värde som (1,1). Då får vi punkten (- 6, 1), som tillsammans med de andra punkterna skapar en rektangel.
Punktens koordinater är (- 6,1).
Rektangelns area beräknas genom att multiplicera långsidan med kortsidan. Från koordinatsystemet kan vi läsa av att längden är 7 le. och att bredden är 3 le.
Längderna är 7 och 3. Rektangelns area blir då 3 * 7 = 21 a.e.
security
report
code
Punkterna A och B ligger i 2:a respektive 4:e kvadranten.
ABCDx>0x<0y>0y<0
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[1,2]}
ABCDx>0x<0y>0y<0
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,3]}
security
report
code
security
report
code
Punkt A ligger i 2:a kvadranten.
Alla punkter i 2:a kvadranten ligger till vänster om y-axeln, vilket betyder att de har ett negativt x-värde. De ligger även ovanför x-axeln vilket innebär att deras y-koordinat är positiv. Med olikhetstecken kan vi skriva detta x < 0 och y > 0.
Punkt B ligger i 4:e kvadranten.
Alla punkter i 4:e kvadranten ligger till höger om y-axeln vilket innebär att x-koordinaten är positiv. De ligger även under x-axeln så y-koordinaten är negativ. Vi kan sammanfatta det med x > 0 och y < 0.
security
report
code
Koordinatsystem
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll