Koordinatsystem

Origo och punkten (a, 0) ligger på samma y-koordinat så avståndet mäts vågrätt. 5 längdenheter åt höger innebär att vi hamnar i punkten (5,0). Men vi kan även mäta upp sträckan åt vänster, dvs. mellan origo och punkten (- 5,0). Att ena punkten ligger på negativa delen av x-axeln spelar alltså ingen roll för avståndet.

a kan vara - 5 eller 5.

Punkterna har samma x-koordinat så avståndet mäts nu lodrätt. Går vi 3 le. uppåt från punkten (4,1) hamnar vi i (4,4). Men sträckan kan även mätas nedanför punkten, dvs. i (4,- 2).

b kan allså vara - 2 eller 4.

Punkterna ligger på olika y- och x-koordinater så sträckan mellan punkterna kommer luta. Vi vet även att c är positivt vilket innebär att punkten (2c, 6) ligger längre högerut än (c,2). Linjen kommer därför luta snett uppåt som i figuren nedan.

Vi låter sträckan mellan punkterna utgöra hypotenusa i en rätvinklig triangel. Den vågräta katetens längd är skillnaden mellan punkternas x-koordinater, dvs. 2c-c=c och den lodräta kateten är skillnaden mellan punkternas y-koordinater, dvs. 6-2=4.

Genom att sätta in triangelns kateter och hypotenusa i Pythagoras sats kan vi lösa ut c.

c ska alltså vara 3.

Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.

Vi drar nu en lodrät linje genom P och en vågrät linje genom Q och får då en rätvinklig triangel där sträckan PQ utgör hypotenusa.

Vi får en rätvinklig triangel där båda kateterna är 4 le. och vi ska bestämma hypotenusan c. Denna kan vi lösa ut med Pythagoras sats. Kom ihåg att c > 0 eftersom c är en sträcka.

Avståndet mellan P och Q är sqrt(32) eller ca 5,7 le.

Vi ritar upp situationen. Punkten (a,b) kan vi sätta godtyckligt någonstans i första kvadranten.

Punkten (- a, - b) hamnar då i tredje kvadranten. Vi markerar sträckan mellan dem med en blå linje.

För att beräkna avståndet ritar vi en rätvinklig triangel där den blå sträckan utgör hypotenusa. Vi börjar med att bestämma längden av triangelns bas. Vi vet att avståndet mellan y-axeln och punkten (a,b) är a. Dessutom är avståndet mellan y-axeln och punkten (- a,- b) också a.

Triangelns bas är alltså 2a. Med samma resonemang kan vi inse att triangelns höjd är 2b.

Vi kan kalla hypotenusan för c. Eftersom triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats, som säger att kvadraten av hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på kateterna. Observera att c har ett positivt värde eftersom det är en sträcka.

Avståndet mellan punkterna är alltså 2sqrt(a^2+b^2).

Punkten E ligger på sträckan mellan punkt A och D, vilket innebär att dess y-koordinat måste vara 3. På samma sätt måste punkten F ha y-koordinaten 6. För att få x-koordinaterna måste vi använda sambandet mellan rektanglarnas areor. Vi sätter den mindre rektangelns bas till a, vilket innebär att den större rektangeln får basen 6-a, eftersom längden på ABCD är 6. Höjden på båda kan vi läsa av som 3.

Arean för en rektangel beräknas som basen multiplicerad med höjden. Sätter vi in rektanglarnas sidor i formeln får vi följande uttryck för deras areor: A_1 = 3 * a och A_2 = 3 * (6-a). Den stora arean ska vara fyra gånger så stor som den lilla, vilket ger sambandet 4 * A_1 = A_2. Sätter vi in uttrycken för A_1 och A_2 i detta får vi en ekvation som vi kan lösa ut längden a ur.

a är alltså 1,2. Det innebär att x-koordinaten för punkterna E och F måste vara 3,2, eftersom avståndet från y-axeln till dem är 2 + a. Punkten E har alltså koordinaterna (3,2; 3) och F har koordinaterna (3,2; 6).