Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Varför är derivatan av e^x lika med e^x


Förklaring

Varför är derivatan av exe^x lika med exe^x?

En exponentialfunktion f(x)=axf(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet e.e. Man kan visa att funktionen f(x)=exf(x)=e^x har derivatan f(x)=exf'(x)=e^x genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktion f(x)=ax f(x)=a^x i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen a.a.

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}
f(x)=limh0ax+haxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{{\color{#0000FF}{a^{x+h}}} - {\color{#009600}{a^x}}}{h}
f(x)=limh0axahaxhf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\cdot a^h - a^x}{h}
f(x)=limh0axahax1hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\cdot a^h- a^x\cdot 1}{h}
f(x)=limh0ax(ah1)hf'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{a^x\left(a^h - 1\right)}{h}
f(x)=limh0(axah1h)f'(x) = \lim \limits_{h \to 0} \left(a^x \cdot \dfrac{a^h - 1}{h} \right)

Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med gränsvärdet limh0axah1h.\lim \limits_{h \to 0} a^x\cdot\frac{a^h - 1}{h}. Potensen axa^x påverkas dock inte av att hh går mot 0,0, så den kan placeras utanför gränsvärdet: f(x)=axlimh0ah1h. f'(x)=a^x\cdot \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{a^h - 1}{h}. Derivatan till axa^x är alltså axa^x multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta h0,h \to 0, men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas a.a. Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet h,h, t.ex. 0.0001,0.0001, i kvoten: f(x)axa0.000110.0001. f'(x) \approx a^x \cdot \dfrac{a^{0.0001} - 1}{0.0001}. Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev 1.1. I så fall skulle man få D(ax)=ax1,D(a^x)=a^x \cdot 1, dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till f(x)=axf(x)=a^x och f(x)f'(x) sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket aa detta sker.

För a=2.72a =2.72 ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på aa lika med e=2.718281828e=2.718281828\ldots dvs. om f(x)=exf(x)=e^x är f(x)=exlimh0eh1h=ex1=ex. f'(x)=e^x\cdot \, \displaystyle{\lim_{h\to 0}} \dfrac{e^h - 1}{h}=e^x \cdot 1 = e^x. Anledningen till att just derivatan av f(x)=exf(x)=e^x är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på f(x)=axf(x)=a^x är 11 endast då basen är e.e.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward