mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more Community
Community expand_more
menu_open Stäng
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
Expandera meny menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
article Artikel
menu_book Lösningar till böcker
school eKurser
question_answer Community
description Uppgiftsblad
calculate Math Solver
arrow_back arrow_forward

Förklaring

Varför är derivatan av lika med ?

En exponentialfunktion har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet e. Man kan visa att funktionen har derivatan genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktion
i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen a.
Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med gränsvärdet Potensen påverkas dock inte av att h går mot 0, så den kan placeras utanför gränsvärdet:
Derivatan till är alltså multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas a. Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet h, t.ex. 0.0001, i kvoten:
Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev 1. I så fall skulle man få dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till och sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket a detta sker.
För a=2.72 ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på a lika med dvs. om är
Anledningen till att just derivatan av är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på är 1 endast då basen är e.

{{ 'ml-article-textbook-solutions-heading' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-description' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-expert-solutions' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-math-solver-scanner' | message }}

{{ 'ml-article-textbook-solutions-answers-hints-steps' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-heading' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-description' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-interactive' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-chapter-tests' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-exercise-levels' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-rank-stats' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-video-lessons' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-course-theory' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-join-classroom' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-graphing-calculator' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-quiz-games' | message }}

{{ 'ml-article-ecourses-study-together' | message }}

{{ 'ml-article-community-heading' | message }}

{{ 'ml-article-community-description' | message }}

{{ 'ml-article-community-create-and-share-channels' | message }}

{{ 'ml-article-community-share-content-and-challenge' | message }}

{{ 'ml-article-community-cooperate-with-friends' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-heading' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-description' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course1' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course2' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course3' | message }}

{{ 'ml-article-worksheets-course4' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-heading' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-description' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-photo-scan-solve' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-step-by-step' | message }}

{{ 'ml-article-math-solver-graph-math-problem' | message }}