{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Varför är derivatan av e^x lika med e^x *Why*
tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Förklaring

Varför är derivatan av lika med ?

En exponentialfunktion har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet e. Man kan visa att funktionen har derivatan genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktion
i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen a.
Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med gränsvärdet Potensen påverkas dock inte av att h går mot 0, så den kan placeras utanför gränsvärdet:
Derivatan till är alltså multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas a. Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet h, t.ex. 0.0001, i kvoten:
Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev 1. I så fall skulle man få dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till och sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket a detta sker.
För a=2.72 ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på a lika med dvs. om är
Anledningen till att just derivatan av är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på är 1 endast då basen är e.
close
Community