En exponentialfunktion $f(x)=a^x$ har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag, nämligen när basen i funktionsuttrycket är lika med talet $e.$ Man kan visa att funktionen $f(x)=e^x$ har derivatan $f^{\prime }(x)=e^x$ genom att sätta in en godtycklig exponentialfunktion i derivatans definition och därefter undersöka vad som händer med derivatan för olika värden på basen $a.$ Derivatan av en godtycklig exponentialfunktion är alltså lika med gränsvärdet $\underset{h\to 0}{\lim }{a}^x\cdot \frac{a^h-1}{h}.$ Potensen $a^x$ påverkas dock inte av att $h$ går mot $0,$ så den kan placeras utanför gränsvärdet: Derivatan till $a^x$ är alltså $a^x$ multiplicerat med den konstant man får genom att beräkna gränsvärdet. Det går att bestämma gränsvärdet genom att låta $h\to 0,$ men ändringskvoten kommer att bero på exponentialfunktionens bas $a.$ Man kan förstå detta genom att sätta in ett litet $h,$ t.ex. $0.0001,$ i kvoten: Det mest praktiska vore om gränsvärdet blev $1.$ I så fall skulle man få $D(a^x)=a^x\cdot 1,$ dvs. att derivatan skulle bli samma som funktionen. Grafiskt kan detta representeras med att graferna till $f(x)=a^x$ och $f^{\prime }(x)$ sammanfaller. Med datorns hjälp kan man undersöka för vilket $a$ detta sker. För $a=2.72$ ser graferna ut att sammanfalla. Mer exakt är det sökta värdet på $a$ lika med $e=2.718281828\dots$ dvs. om $f(x)=e^x$ är Anledningen till att just derivatan av $f(x)=e^x$ är lika med sig själv är alltså att gränsvärdet som uppstår då man tillämpar derivatans definition på $f(x)=a^x$ är $1$ endast då basen är $e.$