Exponentiell förändringshastighet

Derivatans tecken anger om funktionen är växande eller avtagande. Växande funktion i det här fallet innebär att derivatan är positiv. Detta gäller för graferna för Pekistan, Jonasien och Argentiny.

Vi ser dock att grafen till Ragnarnia är avtagande, så den har negativ derivata.

Sammanfattningsvis har alltså Pekistan, Jonasien och Argentiny positiv derivata och Ragnarnia har negativ derivata.

Positiv derivata innebär en ökning, så det är Pekistan, Jonasien och Ragnarnia som har ökande befolkning. Negativ derivata betyder en minskning, vilket innebär att Ragnarnia har minskande befolkning.

För att bestämma bilens värde efter 5 år sätter vi in t=5 i funktionen som beskriver bilens värde och beräknar.

Efter 5 år är bilen värd ungefär 74 000 kr.

Vi deriverar funktionen.

Vi bestämmer hur snabbt bilens värde minskar efter 3 år genom att sätta in t=3 i derivatan och beräkna.

Efter 3 år minskar värdet med ca 43 000 kr per år.

Vi ska alltså bestämma derivatan till P. När vi deriverar en exponentialfunktion där potensen står på formen a^x ska funktionsuttrycket multipliceras med den naturliga logaritmen av basen a, dvs. ln(a).

Vi bestämmer tillväxthastigheten efter 3 år genom att sätta in x=3 i derivatan och beräkna.

Efter 3 år växer befolkningen med cirka 12 000 per år.

Efter 10 år är t=10. Om vi sätter in det i funktionen får vi reda på kapitalet vid denna tidpunkt.

Enligt stekarens förutsägelse kommer det alltså att finnas ca 4.4 miljoner kr på kontot efter 10 år.

Vi ska nu ta reda på vad förändringshastigheten i enheten kr/år är efter 10 år. Det innebär att vi ska beräkna derivatan K'(10). Vi börjar med att derivera funktionen.

Sedan sätter vi in t=10 i derivatan.

Stekarens pengar växer alltså med ca 0.11 miljoner/år efter tio år, vilket är detsamma som 110 000 kr/år efter tio år.

Funktionen är en exponentialfunktion på formen y=C* a^x där C är startvärdet och a är en förändringsfaktor. Förändringsfaktorn anger den procentuella förändringen per minut och om den är mellan 0 och 1 kommer temperaturen att minska. Från funktionen ser vi att a=0.88

vilket betyder att efter 1 minut är temperaturen 88 % av vad den var minuten innan. Temperaturen minskar alltså med 12 % per minut.

Den procentuella temperaturminskningen är konstant 12 % enligt formeln. Det spelar ingen roll att det har gått 20 minuter. Därför är svaret även här 12 %.

Förändringshastighet är ett annat ord för en derivata som man har tolkat i ett sammanhang. Vi bestämmer därför funktionens derivata f'(t).

Temperaturens förändringshastighet efter t minuter är 225 * 0.88^t* ln(0.88) ^(∘)C/min. Genom att sätta in t=20 i derivatan bestämmer vi temperaturens förändringshastighet efter 20 minuter.

Efter 20 minuter minskar temperaturen med 2.2 ^(∘)C per minut.

Modellen är en exponentialfunktion på formen P(t)=C* a^t, där C är startvärde och a är en förändringsfaktor som visar modellens procentuella förändring. När vi deriverar en exponentialfunktion som innehåller potensen a^t får vi P'(t)=Cln(a)* a^t. Eftersom potensen a^t är oförändrad när man deriverar kan funktionens procentuella förändring bestämmas genom att identifiera basen a i potensen a^t i derivatan. Från Gordons modell ser vi att a=0.9 vilket innebär att aktiepriset efter 1 månad är 90 % av vad det var förra månaden. Den procentuella förändringen är alltså en minskning varje månad med 10 %.

Startvärdet är funktionens värde när t=0 och kan bestämmas genom att läsa av C i exponentialfunktionen. Vi vet även att derivatan till en exponentialfunktion är P'(t)=Cln(a)* a^t. Likställer vi koefficienten - 5.437 i Gordons modell med Cln(0.9) kan vi bestämma startvärdet.

Startvärdet är alltså ca 51.6, så aktiens startpris var 51.6 kr.