body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

2. Definitions- och värdemängd

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 2

2.

Definitions- och värdemängd

Den här lektionenen ger en insikt i hur funktioner har olika definitions- och värdemängder. Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion. Det finns två huvudskäl till att vissa tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden: talet ger en otillåten beräkning, eller funktionen beskriver en specifik situation där vissa värden inte är meningsfulla. Värdemängden, å andra sidan, är alla de värden som kan skapas av en funktion. Vissa funktioner kan bilda alla funktionsvärden, medan andra bara kan bilda vissa funktionsvärden.

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Definitions- och värdemängd

Sida av 7

Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Definitionsmängd
Värdemängd
Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

Förkunskaper

Funktion
Graf
Mängd
Olikhet

Koncept

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall.

Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Ledtråd

Division med noll är odefinierad. Uteslut värden som gör nämnaren noll från definitionsmängden.

Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Koncept

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y -

värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x,

kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Ledtråd

Hitta de minsta och största funktionsvärdena. Kom ihåg att kvadrater alltid är icke-negativa.

Lösning

Värdemängden är de

y -

värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli

0 .

Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen $f .$ Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med $- 6$ upp till $6 .$ I sidled går kurvan från och med $- 2$ till $4 .$ Detta betyder att

D_{f} : - 2 \leq x < 4 och V_{f} : - 6 \leq y < 6 .

Exempel

What are the domain and range of the graph?

Determine the domain and the range for the graph.

Graf av en funktion

Ledtråd

The domain is all the $x -$ values for which the graph is drawn. Similarly, the range is all the $y -$ values for which the graph is drawn.

Lösning

To find the domain of the graph, travel along the graph making note of the

x -

values.

As seen, the graph is drawn for every value from

0

to

10,

both ends included. Therefore, the domain is

0 \leq x \leq 10 .

To find the range, look at all the

y -

values for which the graph is drawn.

The range goes from

0.5

to

8,

both endpoints included. Therefore, the range is

0.5 \leq y \leq 8 .

Definitions- och värdemängd

Övningar

I koordinatsystemet är hela grafen till $y = f (x)$ ritad. Ange funktionens värdemängd med olikhetstecken.

grafen till en tredjegradsfunktion mellan x=-1 och x=5

Funktionens värdemängd är alla y-värden som funktionen antar. Eftersom vi ser hela grafen kan vi läsa av det största och minsta y-värdet.

Det minsta värdet är -12, och det största 4. Båda värdena antas, så värdemängden är - 12 ≤ y ≤ 4.

Vilken definitionsmängd har funktionen?

g (x) = \frac{1}{x + 3}

h (x) = 5 x

En kvot är inte definierad om nämnaren är 0. I g(x) är nämnaren, x+3, lika med 0 om x är lika med - 3. Man kan alltså sätta in vilket x som helt förutom - 3. Därför är definitionsmängden x≠ - 3.

Definitionsmängden till funktionen h(x) = 5sqrt(x) är de x-värden som vi kan dra kvadratroten ur. Vi kan bara dra kvadratroten ur tal som är lika med eller större än noll, dvs. inte ur negativa tal. Definitionsmängden är därför x ≥ 0.

Avgör om påståendet är sant eller falskt.

y = - 4 x

har definitionsmängden Alla

x .

y = \frac{1}{x}

har definitionsmängden

x > 0 .

y = x^{2}

har värdemängden

y \leq 0 .

Definitionsmängden är de x-värden som funktionen kan anta. y=-4x tar ett x-värde och multiplicerar det med -4, vilket vi alltid kan göra med negativa och positiva tal, 0, osv. Funktionen är definierad för alla x, påståendet är alltså sant.

Enligt påståendet är funktionen endast definierad för positiva x. Får vi inte sätta in negativa x-värden? Jo, t.ex. y = 1/-4=-0,25, är ju möjligt. Så påståendet är alltså falskt: negativa x är tillåtna, och även positiva. Hur är det med x=0? Sätter vi in det får vi division med 0, vilket inte är tillåtet. Den korrekta definitionsmängden är x ≠ 0.

Värdemängden alla negativa y och 0 skulle betyda att vilket x-värde ur definitionsmängden vi än satte in, skulle funktionen alltid ge negativa y-värden eller 0. Men t.ex. är y=(-4)^2=16, dvs. ett vi får ett positivt y-värde vilket innebär att påståendet är falskt. Vad som helst i kvadrat alltid är positivt. y=0 kan vi få genom att sätta in x=0. Korrekt värdemängd är alltså y ≥ 0.

Pontus har ett deltidsarbete vid sidan av studierna. Hans lön beror på antalet timmar han arbetat och lönen är $80 kr$ per timme. Enligt arbetsplatsens regler får han dock arbeta som mest tjugo timmar per vecka.

Ställ upp en funktion

p

som beskriver Pontus lön i kronor för en vecka om han arbetar

t

timmar.

Ange definitionsmängden.

Ange värdemängden.

Pontus veckolön får vi genom att multiplicera timlönen med antalet timmar han arbetat. Lönen är 80kr och han jobbar t timmar. Det ger funktionen p= 80t.

Det minsta Pontus kan jobba är 0 timmar. Enligt reglerna kan han inte heller jobba mer än 20 timmar. Det ger definitionsmängden 0≤ t ≤ 20.

Om Pontus inte jobbar något tjänar han ingenting. Det minsta värdet p kan anta är alltså 0. Den högsta lönen får han om man arbetar maximalt, dvs. 20 timmar. Vi beräknar lönen för det.

Funktionens värdemängd blir 0 ≤ p ≤ 1 600.

Definitions- och värdemängd

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll