2. Definitions- och värdemängd
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Definitions- och värdemängd
Den här lektionenen ger en insikt i hur funktioner har olika definitions- och värdemängder. Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion. Det finns två huvudskäl till att vissa tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden: talet ger en otillåten beräkning, eller funktionen beskriver en specifik situation där vissa värden inte är meningsfulla. Värdemängden, å andra sidan, är alla de värden som kan skapas av en funktion. Vissa funktioner kan bilda alla funktionsvärden, medan andra bara kan bilda vissa funktionsvärden.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 24 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Definitions- och värdemängd
Sida av 7
Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Definitionsmängd
- Värdemängd
- Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Definitionsmängd
Definitionsmängden, D_f, är alla de tal som är tillåtna
att sätta in i en funktion f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.
- Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. sqrt(-1) eller 20.
- Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för x äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är funktionens definitionsmängd?
Ange definitionsmängden för funktionen f(x)= 4xx-1.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"D_f:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\neq 1"]}}
Ledtråd
Division med noll är odefinierad. Uteslut värden som gör nämnaren noll från definitionsmängden.
Lösning
Definitionsmängden är alla x man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen definierad för alla x utom det som gör att x-1 blir 0. Eftersom x-1=0 för x=1 betyder det att funktionen är definierad för alla x utom 1, vilket skrivs
D_f: x≠ 1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Värdemängd
Värdemängden, V_f, är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.
allafunktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda
vissafunktionsvärden. Exempelvis har funktionen y = x^2 värdemängden y ≥ 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är funktionens värdemängd?
Bestäm värdemängden för funktionen y=x^2-7.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"V_f:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["y \\geq -7"]}}
Ledtråd
Hitta de minsta och största funktionsvärdena. Kom ihåg att kvadrater alltid är icke-negativa.
Lösning
Värdemängden är de y-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x^2 minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som y=x^2-7 kan anta är y=0-7=-7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så y kan bli hur stort som helst. Det betyder att
V_f: y≥ -7.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf
En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen f. Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.
För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med -6 upp till 6. I sidled går kurvan från och med -2 till 4. Detta betyder att
D_f: -2≤ x < 4 och V_f: -6≤ y<6.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Vad är definitionsmängden och värdemängden för grafen?
Bestäm definitionsmängden och värdemängden för grafen.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"D_f:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0 \\leq x \\leq10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"V_f:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.5\\leq y \\leq 8"]}}
Ledtråd
Definitionsmängden är alla x-värden för vilka grafen är ritad. På samma sätt är värdemängden alla y-värden för vilka grafen är ritad.
Lösning
För att hitta funktionens definitionsmängd, följ grafen och notera x-värdena.
Som man kan se är grafen ritad för alla värden från 0 till 10, båda ändpunkterna inkluderade. Därför är definitionsmängden 0≤ x ≤ 10. För att hitta värdemängden, titta på alla y-värden för vilka grafen är ritad.
Värdemängden går från 0,5 till 8, båda ändpunkterna inkluderade. Därför är värdemängden 0,5≤ y ≤ 8.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Definitions- och värdemängd
Uppgift 2.1
I koordinatsystemet är hela grafen till y=f(x) ritad. Ange funktionens värdemängd med olikhetstecken.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-12 \\leq y \\leq 4","4 \\geq y \\geq -12"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionens värdemängd är alla y-värden som funktionen antar. Eftersom vi ser hela grafen kan vi läsa av det största och minsta y-värdet.
Det minsta värdet är -12, och det största 4. Båda värdena antas, så värdemängden är - 12 ≤ y ≤ 4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\neq -3","-3\\neq x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x \\ge 0","0 \\le x"]}}
security
report
code
security
report
code
En kvot är inte definierad om nämnaren är 0. I g(x) är nämnaren, x+3, lika med 0 om x är lika med - 3. Man kan alltså sätta in vilket x som helt förutom - 3. Därför är definitionsmängden x≠ - 3.
Definitionsmängden till funktionen h(x) = 5sqrt(x) är de x-värden som vi kan dra kvadratroten ur. Vi kan bara dra kvadratroten ur tal som är lika med eller större än noll, dvs. inte ur negativa tal. Definitionsmängden är därför x ≥ 0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Alla x.
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Definitionsmängden är de x-värden som funktionen kan anta. y=-4x tar ett x-värde och multiplicerar det med -4, vilket vi alltid kan göra med negativa och positiva tal, 0, osv. Funktionen är definierad för alla x, påståendet är alltså sant.
Enligt påståendet är funktionen endast definierad för positiva x. Får vi inte sätta in negativa x-värden? Jo, t.ex.
y = 1/-4=-0,25,
är ju möjligt. Så påståendet är alltså falskt: negativa x är tillåtna, och även positiva. Hur är det med x=0? Sätter vi in det får vi division med 0, vilket inte är tillåtet. Den korrekta definitionsmängden är x ≠ 0.
Värdemängden alla negativa y och 0
skulle betyda att vilket x-värde ur definitionsmängden vi än satte in, skulle funktionen alltid ge negativa y-värden eller 0. Men t.ex. är
y=(-4)^2=16,
dvs. ett vi får ett positivt y-värde vilket innebär att påståendet är falskt. Vad som helst i kvadrat alltid är positivt. y=0 kan vi få genom att sätta in x=0. Korrekt värdemängd är alltså y ≥ 0.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"p=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["80t"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["t"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0 \\leq t \\leq 20","20 \\geq t \\geq 0"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["p"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0 \\leq p \\leq 1600","1600 \\geq p \\geq 0"]}}
security
report
code
security
report
code
Pontus veckolön får vi genom att multiplicera timlönen med antalet timmar han arbetat. Lönen är 80kr och han jobbar t timmar. Det ger funktionen p= 80t.
Det minsta Pontus kan jobba är 0 timmar. Enligt reglerna kan han inte heller jobba mer än 20 timmar. Det ger definitionsmängden
0≤ t ≤ 20.
Om Pontus inte jobbar något tjänar han ingenting. Det minsta värdet p kan anta är alltså 0. Den högsta lönen får han om man arbetar maximalt, dvs. 20 timmar. Vi beräknar lönen för det.
Funktionens värdemängd blir 0 ≤ p ≤ 1 600.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Använd en grafritande kalkylator för att rita grafen av funktionen. Identifiera sedan definitionsmängden och värdemängden för funktionen. f(x)=sqrt(2 x^2+x+1)
security
report
code
security
report
code
Vi vill rita grafen för den givna funktionen i en grafräknare. För att göra detta måste vi först trycka på Y= och skriva in ekvationen på första raden. Sedan trycker vi på GRAPH för att rita den.
Från grafen kan vi se att den sträcker sig kontinuerligt åt vänster och höger. Detta innebär att definitionsmängden innehåller alla värden på x. För att hitta värdemängden, notera att funktionen har ett minimivärde på y=1. Därför är värdemängden alla y-värden sådana att y≥ 1. Definitionsmängd:& Alla värden på x Värdemängd:& y≥ 1
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Använd en grafritande räknare för att rita grafen av funktionen. Identifiera sedan definitionsmängden och värdemängden för funktionen. h(x)=sqrt(1/2 x^2-3 x+4)
security
report
code
security
report
code
Vi vill rita grafen för den givna funktionen i en grafräknare. För att göra detta måste vi först trycka på Y= och skriva in ekvationen på första raden. Sedan trycker vi på GRAPH för att rita den.
Genom att undersöka grafen kan vi se att det inte finns några värden på x som funktionen inte kan anta. Därför måste definitionsmängden vara alla värden på x. Definitionsmängd: Alla reella tal För att hitta värdemängden måste vi bestämma hur långt funktionen går under x-axeln. Vi kan se att dess lägsta värde inträffar längs dess symmetrilinje. Denna linje sammanfaller med den andra gradens ekvations symmetrilinje som vi ser under kubikroten. h(x)=sqrt(1/2x^2-3x+4) Symmetrilinjen för en andra gradens ekvation kan bestämmas med följande formel. x_(Sym)=- b/2a I denna formel är a koefficienten för x^2 och b är koefficienten för x. I vår ekvation kan vi identifiera dessa värden som a= 12 och b=-3.
Genom att substituera x=3 i den ursprungliga funktionen kan vi beräkna dess minimivärde.
Funktionen har ett minimivärde på - sqrt(0,5). Nu kan vi skriva värdemängden. Värdemängd: h(x)≥ - sqrt(0,5)
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Identifiera definitionsmängden och värdemängden för funktionen. f(x)=- sqrt(x-6)+5 Först, lämna in definitionsmängden, och sedan värdemängden.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x","f"],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":true,"numinput":2,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\geq 6","f\\leq 5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill hitta definitionsmängden och värdemängden för den givna funktionen. Låt oss betrakta dessa egenskaper hos funktionen en i taget.
Definitionsmängd
Definitionsmängden för rotfunktioner inkluderar endast värden för vilka radikanden är icke-negativ. Radikanden är uttrycket som finns inuti rottecknet. f(x)=- sqrt(x-6)+5 Vi kan lösa för dessa värden på x genom att bara titta på radikanden. x-6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6 Definitionsmängden är alla reella tal större än eller lika med 6.
Värdemängd
För att identifiera värdemängden kommer vi att rita grafen för funktionen. Låt oss göra detta genom att göra en värdetabell. Se till att endast använda värden för x som ingår i definitionsmängden.
| x | - sqrt(x-6)+5 | f(x)=- sqrt(x-6)+5 |
|---|---|---|
| 6 | - sqrt(6-6)+5 | 5 |
| 7 | - sqrt(7-6)+5 | 4 |
| 8 | - sqrt(8-6)+5 | ≈ 3,59 |
| 9 | - sqrt(9-6)+5 | ≈ 3,27 |
| 10 | - sqrt(10-6)+5 | 3 |
| 11 | - sqrt(11-6)+5 | ≈ 2,76 |
Låt oss nu plotta punkterna och koppla ihop dem med en jämn kurva.
Vi kan se att värdemängden är alla reella tal mindre än eller lika med 5.
Slutsats
Slutligen, låt oss sammanfatta våra resultat. Definitionsmängd:& { x | x ≥ 6 } Värdemängd:& { f(x) | f(x) ≤ 5 }
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll