Definitions- och värdemängd

Funktionens värdemängd är alla y-värden som funktionen antar. Eftersom vi ser hela grafen kan vi läsa av det största och minsta y-värdet.

Det minsta värdet är -12, och det största 4. Båda värdena antas, så värdemängden är - 12 ≤ y ≤ 4.

En kvot är inte definierad om nämnaren är 0. I g(x) är nämnaren, x+3, lika med 0 om x är lika med - 3. Man kan alltså sätta in vilket x som helt förutom - 3. Därför är definitionsmängden x≠ - 3.

Definitionsmängden till funktionen h(x) = 5sqrt(x) är de x-värden som vi kan dra kvadratroten ur. Vi kan bara dra kvadratroten ur tal som är lika med eller större än noll, dvs. inte ur negativa tal. Definitionsmängden är därför x ≥ 0.

Definitionsmängden är de x-värden som funktionen kan anta. y=-4x tar ett x-värde och multiplicerar det med -4, vilket vi alltid kan göra med negativa och positiva tal, 0, osv. Funktionen är definierad för alla x, påståendet är alltså sant.

Enligt påståendet är funktionen endast definierad för positiva x. Får vi inte sätta in negativa x-värden? Jo, t.ex. y = 1/-4=-0,25, är ju möjligt. Så påståendet är alltså falskt: negativa x är tillåtna, och även positiva. Hur är det med x=0? Sätter vi in det får vi division med 0, vilket inte är tillåtet. Den korrekta definitionsmängden är x ≠ 0.

Värdemängden alla negativa y och 0 skulle betyda att vilket x-värde ur definitionsmängden vi än satte in, skulle funktionen alltid ge negativa y-värden eller 0. Men t.ex. är y=(-4)^2=16, dvs. ett vi får ett positivt y-värde vilket innebär att påståendet är falskt. Vad som helst i kvadrat alltid är positivt. y=0 kan vi få genom att sätta in x=0. Korrekt värdemängd är alltså y ≥ 0.

Pontus veckolön får vi genom att multiplicera timlönen med antalet timmar han arbetat. Lönen är 80kr och han jobbar t timmar. Det ger funktionen p= 80t.

Det minsta Pontus kan jobba är 0 timmar. Enligt reglerna kan han inte heller jobba mer än 20 timmar. Det ger definitionsmängden 0≤ t ≤ 20.

Om Pontus inte jobbar något tjänar han ingenting. Det minsta värdet p kan anta är alltså 0. Den högsta lönen får han om man arbetar maximalt, dvs. 20 timmar. Vi beräknar lönen för det.

Funktionens värdemängd blir 0 ≤ p ≤ 1 600.

Vi vill rita grafen för den givna funktionen i en grafräknare. För att göra detta måste vi först trycka på Y= och skriva in ekvationen på första raden. Sedan trycker vi på GRAPH för att rita den.

Från grafen kan vi se att den sträcker sig kontinuerligt åt vänster och höger. Detta innebär att definitionsmängden innehåller alla värden på x. För att hitta värdemängden, notera att funktionen har ett minimivärde på y=1. Därför är värdemängden alla y-värden sådana att y≥ 1. Definitionsmängd:& Alla värden på x Värdemängd:& y≥ 1

Vi vill rita grafen för den givna funktionen i en grafräknare. För att göra detta måste vi först trycka på Y= och skriva in ekvationen på första raden. Sedan trycker vi på GRAPH för att rita den.

Genom att undersöka grafen kan vi se att det inte finns några värden på x som funktionen inte kan anta. Därför måste definitionsmängden vara alla värden på x. Definitionsmängd: Alla reella tal För att hitta värdemängden måste vi bestämma hur långt funktionen går under x-axeln. Vi kan se att dess lägsta värde inträffar längs dess symmetrilinje. Denna linje sammanfaller med den andra gradens ekvations symmetrilinje som vi ser under kubikroten. h(x)=sqrt(1/2x^2-3x+4) Symmetrilinjen för en andra gradens ekvation kan bestämmas med följande formel. x_(Sym)=- b/2a I denna formel är a koefficienten för x^2 och b är koefficienten för x. I vår ekvation kan vi identifiera dessa värden som a= 12 och b=-3.

Genom att substituera x=3 i den ursprungliga funktionen kan vi beräkna dess minimivärde.

Funktionen har ett minimivärde på - sqrt(0,5). Nu kan vi skriva värdemängden. Värdemängd: h(x)≥ - sqrt(0,5)

Vi vill hitta definitionsmängden och värdemängden för den givna funktionen. Låt oss betrakta dessa egenskaper hos funktionen en i taget.

Definitionsmängd

Definitionsmängden för rotfunktioner inkluderar endast värden för vilka radikanden är icke-negativ. Radikanden är uttrycket som finns inuti rottecknet. f(x)=- sqrt(x-6)+5 Vi kan lösa för dessa värden på x genom att bara titta på radikanden. x-6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 6 Definitionsmängden är alla reella tal större än eller lika med 6.

Värdemängd

För att identifiera värdemängden kommer vi att rita grafen för funktionen. Låt oss göra detta genom att göra en värdetabell. Se till att endast använda värden för x som ingår i definitionsmängden.

Låt oss nu plotta punkterna och koppla ihop dem med en jämn kurva.

Vi kan se att värdemängden är alla reella tal mindre än eller lika med 5.

Slutsats

Slutligen, låt oss sammanfatta våra resultat. Definitionsmängd:& { x | x ≥ 6 } Värdemängd:& { f(x) | f(x) ≤ 5 }