Utforska Definitionsmängd och Värdemängd - Nyckel till Funktioners Begränsningar

Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Definitionsmängd
Värdemängd
Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

Förkunskaper

Funktion
Graf
Mängd
Olikhet

Koncept

Definitionsmängd

Definitionsmängden, $D_{f},$ är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion $f .$ Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. $- 1$ eller $\frac{2}{0} .$
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för $x$ äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad $- 5$ äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall.

Det gäller exempelvis för funktionen

f (x) = x

som har definitionsmängden

x \geq 0

eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{4 x}{x - 1} .

Ledtråd

Division med noll är odefinierad. Uteslut värden som gör nämnaren noll från definitionsmängden.

Lösning

Definitionsmängden är alla

x

man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med

0

är funktionen definierad för alla

x

utom det som gör att

x - 1

blir

0 .

Eftersom

x - 1 = 0

för

x = 1

betyder det att funktionen är definierad för alla

x

utom

1,

vilket skrivs

D_{f} : x \neq = 1 .

Koncept

Värdemängd

Värdemängden,

V_{f},

är alla

y -

värden som kan skapas av en funktion

f .

Vissa funktioner, t.ex.

y = 2 x,

kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen

y = x^{2}

värdemängden

y \geq 0

eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen

y = x^{2} - 7 .

Ledtråd

Hitta de minsta och största funktionsvärdena. Kom ihåg att kvadrater alltid är icke-negativa.

Lösning

Värdemängden är de

y -

värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan

x^{2}

minst bli

0 .

Det leder till att det minsta värde som

y = x^{2} - 7

kan anta är

y = 0 - 7 = - 7 .

En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så

y

kan bli hur stort som helst. Det betyder att

V_{f} : y \geq - 7 .

Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen $f .$ Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med $- 6$ upp till $6 .$ I sidled går kurvan från och med $- 2$ till $4 .$ Detta betyder att

D_{f} : - 2 \leq x < 4 och V_{f} : - 6 \leq y < 6 .

Exempel

What are the domain and range of the graph?

Determine the domain and the range for the graph.

Ledtråd

The domain is all the $x -$ values for which the graph is drawn. Similarly, the range is all the $y -$ values for which the graph is drawn.

Lösning

To find the domain of the graph, travel along the graph making note of the

x -

values.

As seen, the graph is drawn for every value from

0

10,

both ends included. Therefore, the domain is

0 \leq x \leq 10 .

To find the range, look at all the

y -

values for which the graph is drawn.

The range goes from

0.5

8,

both endpoints included. Therefore, the range is

0.5 \leq y \leq 8 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning