{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Linjära funktioner och ekvationssystem

Välj kurs
Matte 2a
Linjära funktioner och ekvationssystem
Definitions- och värdemängd

Definitions- och värdemängd

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Det kan finnas begränsningar på vilka tal man kan sätta in i funktioner respektive få ut ur dem. Man talar då om att funktioner har olika definitions- och värdemängder.
Begrepp

Definitionsmängd

Definitionsmängden, Df,D_f, är alla de tal som är "tillåtna" att sätta in i en funktion f.f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

  • Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. -1\sqrt{\text{-}1} eller 20.\frac{2}{0}.
  • Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för xx äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5\text{-}5 äpplen kostar.
Definitionsmängden är ofta ett intervall. Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=xf(x)=\sqrt{x} som har definitionsmängden x≥0x \geq 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.
Uppgift

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4xx−1. f(x)=\frac{4x}{x-1}.

Lösning

Definitionsmängden är alla xx man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 00 är funktionen definierad för alla xx utom det som gör att x−1x-1 blir 0.0. Eftersom x−1=0x-1=0 för x=1x=1 betyder det att funktionen är definierad för alla xx utom 1,1, vilket skrivs Df: x≠1. D_f:\ x\neq 1.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Värdemängd

Värdemängden, Vf,V_f, är alla yy-värden som kan skapas av en funktion f.f. Vissa funktioner, t.ex. y=2xy=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y=x2y = x^2 värdemängden y≥0y \geq 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.
Uppgift

Bestäm värdemängden för funktionen y=x2−7. y=x^2-7.

Lösning

Värdemängden är de yy-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x2x^2 minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som y=x2−7y=x^2-7 kan anta är y=0−7=-7.y=0-7=\text{-}7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så yy kan bli hur stort som helst. Det betyder att Vf: y≥-7. V_f:\ y\geq \text{-}7.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

En funktions definitions- och värdemängd kan bestämmas utifrån funktionens graf. I figuren visas grafen till funktionen f.f. Den ifyllda punkten indikerar att dess koordinater ingår i funktionens definitions- och värdemängd medan den inte ifyllda punkten anger att punktens koordinater inte ingår i definitions- och värdemängden.

För den här funktionen sträcker sig grafen i höjdled från och med -6\text{-}6 upp till 6.6. I sidled går kurvan från och med -2\text{-}2 till 4.4. Detta betyder att

Df: -2≤x<4ochVf: -6≤y<6. D_f\text{: } \text{-}2\leq x<4 \quad \text{och} \quad V_f\text{: } \text{-}6\leq y<6.

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}