Utforska Definitionsmängd och Värdemängd - Nyckel till Funktioners Begränsningar

Grafen till andragradsfunktionen $f (x)$ är ritad i koordinatsystemet.

en andragradare med nollställen i x=-5 och x=1

Vilka är funktionens nollställen?

Välj rätt tecken mellan

f (x)

och

3

i uttrycket

f (x) ? 3

för att beskriva funktionens värdemängd. Välj mellan:

\leq, =

eller

\geq .

Nollställen är de x-värden där y-värdet är noll. Eftersom y är 0 längs hela x-axeln ska vi hitta alla skärningspunkter med x-axeln för att bestämma nollställena. Dessa skärningspunkter kan vi läsa av i koordinatsystemet.

Funktionens nollställen är alltså x = -5 och x = 1.

Värdemängd är de y-värden som funktionen antar. Vi vet från uppgiften att det har något med 3 att göra. Tittar vi i grafen ser vi att 3 är det största y-värdet som grafen kan anta.

Vi ser att alla andra värden som funktionen antar är mindre än 3. Grafen fortsätter hur långt ned som helst, så det finns inget minsta värde.

Det betyder att värdemängden är f(x) ≤ 3, dvs. alla funktionsvärden mindre än eller lika med 3.

I figuren nedan finns graferna till tre funktioner utritade.

Para ihop graferna med följande definitionsmängder.

i . ii . iii . - 2 < x \leq 3 - 6 \leq x \leq 2 Alla x

Para ihop graferna med följande värdemängder.

i . ii . iii . - 3 \leq y \leq 4 - 3 \leq y \leq 6 Alla y

Definitionsmängden är de x-värden som är tillåtna för funktionen. I figuren kan vi alltså läsa ut definitionsmängderna som de x-värden där graferna är utritade. Graf A har inga ändpunkter, vilket innebär att den finns för alla x och hör ihop med definitionsmängd iii. Graf B är ritad mellan x=- 6 och x=2.

Detta kan skrivas som - 6 ≤ x ≤ 2, vilket är definitionsmängd ii. Graf C är ritad mellan x=- 2 och x=3, där punkten vid x=- 2 inte är ifylld. Det innebär att funktionen är definierad fram dit, men själva punkten finns inte med. x ska därför vara större än - 2 och mindre än eller lika med 3.

Detta skrivs - 2 < x ≤ 3, vilket är definitionsmängd i. Vi har nu parat ihop alla grafer med deras definitionsmängder och fick svaret i.&→ C ii.&→ B iii.&→ A

Vi kan läsa ut funktionernas värdemängder som de y-värden där deras grafer är utritade. Graf A har inga begränsningar, varken i x- eller y-led, och hör därför ihop med definitionsmängd iii. Graf B har sitt högsta funktionsvärde i vänstra ändpunkten, där y=4 och sitt lägsta i den andra ändpunkten, där y=- 3.

Då får vi - 3 ≤ y ≤ 4, vilket är definitionsmängd i. Graf C har sitt högsta värde i den högra ändpunkten, där y=6, och sitt lägsta i minimipunkten, där y=- 3.

Värdemängden blir då - 3 ≤ y ≤ 6, som är samma som definitionsmängd ii. Svaret blir alltså: i.&→ B ii.&→ C iii.&→ A

Funktionen $f (x)$ kan ses i följande graf.

Graf som startar i punkten (-2,0) och blir större för större x-värden

Bestäm definitionsmängden för funktionen

f (x)

grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Bestäm funktionens värdemängd.

Vi kan inte se hela grafen, men det är rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. Det betyder att grafen kommer fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitionsmängden saknar övre gräns. Den undre gränsen kan vi läsa av.

Grafen börjar där x är -2, så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med -2. Det skrivs x≥-2.

På samma sätt som i föregående deluppgift kan vi säga att värdemängden saknar övre gräns. I grafen kan vi nu läsa av den undre gränsen.

På samma sätt kan vi se att det minsta y-värdet är 0, så värdemängden är alla tal större än eller lika med 0. V_f: y≥0

Ange definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{7}{6 - x} .

Definitionsmängden är alla x man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen definierad för alla x utom det som gör att 6-x blir 0. Eftersom 6-x=0 då x=6 betyder det att funktionen är definierad för alla x utom 6, dvs. D_f: x≠ 6.

Bestäm definitionsmängden för funktionen

f (x) = \frac{2 x}{( x + 3 ) ( 4 - x )} .

Definitionsmängden är alla x man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen definierad för alla x utom de som gör att nämnaren blir 0. Genom att lösa ekvationen (x+3)(4-x)=0 kan vi bestämma vilka x-värden som är otillåtna. Om någon av parenteserna blir 0 kommer hela produkten bli det, eftersom vad som helst multiplicerat med 0 är 0. Vi undersöker därför när var och en av parenteserna blir 0. x+3=0 &⇔ x=-3 4-x=0 &⇔ x=4 Nämnaren kommer alltså bli 0 om x är -3 eller 4. Det betyder att funktionen f(x) är definierad för alla x utom dessa, dvs. D_f: x≠ -3 och x≠ 4.

Du har följande funktion.

f (x) = x^{2}

Bestäm dess definitionsmängd.

Bestäm värdemängden för

f (x) .

För att bestämma definitionsmängden frågar vi oss om man kan ta vilket tal som helst upphöjt till 2. Eftersom ett tal upphöjt till 2 kan tolkas som att man multiplicerar talet med sig självt, t.ex. är 5^2=5*5, måste svaret vara "ja". Alla tal kan ju multipliceras med sig själv! Det innebär att x kan vara vilket tal som helst, dvs. D_f:alla tal.

Nu är frågan vad resultatet kan bli när man tar ett tal upphöjt till 2. Finns det någon övre gräns? Vi vet ju att vilket tal som helst kan kvadreras så därför finns det ingen övre gräns: man kan ju alltid kvadrera ett större tal. Däremot är 0 en nedre gräns. Tar man 0^2 får man just 0, men en kvadrering kan aldrig bli negativ eftersom både produkten av två negativa tal och två positiva tal är positiv. Det ger värdemängden V_f: y≥0.

Den linjära funktionen

y = 4 x - 3

har definitionsmängden

- 2 \leq x \leq 7 .

Vad är värdemängden?

Funktionsvärdet blir större ju större värde på x man sätter in. Det betyder att det minsta x:et i definitionsmängden kommer att ge det minsta y-värdet för funktionen, och därmed värdemängdens nedre gräns. Vi sätter därför in x=-2 och beräknar y-värdet.

För att bestämma värdemängdens övre gräns sätter vi istället in det största x-värdet, dvs. 7.

Värdemängdens nedre respektive övre gräns är alltså -11 och 25. Eftersom funktionen är en rät linje kommer den även anta alla funktionsvärden mellan -11 och 25.

Värdemängden är alltså alla y från och med -11 till och med 25. Det kan man skriva -11≤ y≤ 25.

Definitions- och värdemängd

Definitionsmängd

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Värdemängd

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestämma definitions- och värdemängd utifrån graf

Definitions- och värdemängd

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.