body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 1b Visa detaljer

6. Bråk

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

Bråk

Denna lektion fokuserar på att förklara och demonstrera hur man arbetar med bråk. Den tar upp olika aspekter av bråk, inklusive hur man förlänger och förkortar dem, samt hur man hittar en gemensam nämnare för flera bråk. Lektionenen ger också en detaljerad förklaring av hur man kan kontrollera om man har gjort rätt genom att jämföra det ursprungliga bråket med det omskrivna bråket. Genom att använda dessa metoder kan man få en bättre förståelse för bråk och hur de kan användas för att lösa matematiska problem.

Visa mer

	11 sidor teori
	32 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Bråk

Sida av 11

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Bråk
Blandad form
Förlänga bråk
Förkorta bråk
Enklaste form
Gemensam nämnare

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Förhållande
Rationella tal
Andel

Teori

Bråk

Ett bråk representerar ett förhållande mellan två tal, till exempel att 3 av 4 rutor är blå. I bråket 3/4, är det täljaren 3 som är delen och nämnaren 4 som är helheten.

Nedan kan du skapa olika bråk genom att ändra både täljare och nämnare.

Teori

Blandad form

Fem fjärdedelar kan skrivas 5/4 i bråkform. Du kan rita det så här:

Eftersom 4/4=1 kan du också rita så här:

Man har då skrivit det i blandad form. Ett tal som är skrivet i blandad form består av ett heltal och ett bråk. Heltalet ska vara större än 0 och i bråket ska täljaren vara mindre än nämnaren.

Nedan kan du skriva olika tal på blandad form genom att ändra nämnaren och täljaren.

En applikation som grafiskt visar tal på blandad form.

Tal i blandad form kan placeras på en tallinje mellan två heltal.

Övning

Omvandling mellan bråkform och blandad form

Omvandla det givna talet på blandad form till det motsvarande bråket eller tvärtom – det givna bråket till ett tal på blandad form. Om bråket motsvarar ett heltal, lämna bråkdelen tom. Förenkla inte bråkdelen i ett tal på blandad form.

Slumpvist genererade bråk eller tal på blandad form

Teori

Förlänga bråk

När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

a/b=a* k/b* k

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att man förlängt det kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 3 lika stora delar, där man ska äta 1 av bitarna.

Pizza som kan delas i bitar, vilka sedan kan väljas. Ett tal som visar vilken del av pizzan som är vald beräknas.

Man kan se att 1/3 av pizzan är lika mycket som 2/6 eller 4/12 av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza betyder det också att de är lika stora.

Exempel

Förläng bråket

Förläng 3/4 med 3.

Ledtråd

Använd regeln för att utvidga en bråk.

Lösning

När man förlänger ett bråk multipliceras både täljare och nämnare med samma faktor.

3/4

ExpandFrac

Förläng med 3

3* 3/4* 3

Multiply

Multiplicera faktorer

9/12

Bråken 3/4 och 9/12 är lika stora.

Teori

Förkorta bråk

När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

a/b=.a /k./.b /k.

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att det förkortats kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i 12 lika stora bitar, där man ska äta 8 av dessa.

Man kan se att 8/12 av pizzan är lika mycket som 4/6 eller 2/3 av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza innebär det att de är lika stora. Detta är ett exempel på när man förkortar bråk med 2. .8 / 2./.12 / 2.= 4/6 ⇒ .4 / 2./.6 / 2. =2/3

Till skillnad från när man förlänger ett bråk kan man inte förkorta hur många gånger som helst. För att förkorta ett bråk måste man kunna bryta ut en gemensam faktor från både täljare och nämnare. Kan man inte det säger man att bråket står på sin enklaste form. Exempelvis står 2/3 på enklaste form.

Teori

Enklaste form

Ett bråk är i sin enklaste form när täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer förutom 1. Det betyder att bråket inte kan förkortas ytterligare och att nämnaren är så liten som möjligt.

Bråk	Är det skrivet i enklaste form?	Orsak
3/7	Ja	Inga gemensamma faktorer förutom 1
25/9	Ja	Inga gemensamma faktorer förutom 1
2/8	Nej	Gemensam faktor: 2
15/10	Nej	Gemensam faktor: 5

Om ett bråk inte är skrivet i enklaste form är det alltid möjligt att hitta ett bråk med samma värde som är skrivet i enklaste form. Metoden man använder för att hitta den enklaste formen av ett bråk kallas för att förkorta bråket.

Exempel

Förkorta bråket

Förkorta 8/64 så långt som möjligt.

Ledtråd

Finns det ett tal som delar både täljaren och nämnaren?

Lösning

Eftersom både täljare och nämnare är jämna tal kan vi börja med att förkorta med 2.

8/64

ReduceFrac

Förkorta med 2

8/2/64/2

CalcQuot

Beräkna kvot

4/32

Både 4 och 32 är delbara med 4, så vi förkortar igen.

4/32

ReduceFrac

Förkorta med 4

4/4/32/4

CalcQuot

Beräkna kvot

1/8

Täljaren och nämnaren har inga fler gemensamma faktorer, så bråket står nu på sin enklaste form.

Teori

Minsta gemensamma nämnare

Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) av två bråk är den minsta gemensamma multipeln (MGM) av bråkens nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren är alltså helt enkelt den minsta av alla möjliga gemensamma nämnare. Några exempel visas i tabellen nedan.

Bråk	Nämnare	Multiplar av nämnare	Gemensamma nämnare	MGM av nämnare (MGN)
2/3 och 1/2	3 och 2	Multiplar av3:& 3, 6, 9, 12, 15, ... Multiplar av2:& 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...	6, 12, ...	6
5/6 och 1/4	6 och 4	Multiplar av6:& 6, 12, 18, 24, 30, ... Multiplar av4:& 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...	12, 24, ...	12
1/4 och 5/2	4 och 2	Multiplar av4:& 4, 8, 12, ... Multiplar av2:& 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...	4, 8, 12, ...	4

Den minsta gemensamma nämnaren används när man adderar eller subtraherar bråk med olika nämnare. 2/10 - 1/11 = 22/110_(MGN) - 10/110_(MGN) Precis som med bråk måste rationella uttryck ha en gemensam nämnare för att kunna adderas eller subtraheras. Den minsta gemensamma nämnaren för två rationella uttryck är den minsta gemensamma multipeln av nämnarna i uttrycken.

1/x + 1/x+1 = x+1/x(x+1)_(MGN) + x/x(x+1)_(MGN)

Exempel

Hitta minsta gemensamma nämnare

Hitta den minsta gemensamma nämnaren till bråken 1/2, 3/4 och 5/6.

Ledtråd

Hitta primtalsfaktorerna för nämnaren för varje bråkdel.

Lösning

När två bråk har samma nämnare kan dessa brytas ner i samma primtalsfaktorer. Vi bryter ner nämnarna för de tre bråken och identifierar vilka gemensamma primtalsfaktorer de har.

Bråk	Primtalsfaktorisera	Faktorer som saknas
1/2	1/2	2 och 3
3/4	3/2* 2	3
5/6	5/2* 3	2

Alla nämnare innehåller primtalsfaktorn 2. I det andra bråket hittar vi ytterligare en 2:a och i det tredje hittar vi en 3:a. Nämnarna för alla bråken måste alltså innehålla två 2:or och en 3:a. För att skapa den minsta gemensamma nämnaren förlänger vi bråken med de faktorer som saknas.

Bråk	Faktorer som saknas	Förläng bråk	=
1/2	2 och 3	1 * 2* 3/2* 2* 3	6/12
3/2* 2	3	3 * 3/2* 2* 3	9/12
5/2* 3	2	5 * 2/2* 3* 2	10/12

Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 12.

Bråk

Uppgift 4.1

Man kan inte dividera ett tal med noll. Det vill säga, a0 för något tal a ger ett odefinierat värde (prova att dividera ett tal med noll på din miniräknare). Detta kan motiveras på många olika sätt. Vi undersöker några.

Motivera detta med ett exempel genom att tolka division som antal gånger som nämnaren får plats i täljaren. Motivera med ett exempel varför vi inte kan definiera division med noll som samma svar, t.ex. oändligheten (∞). Säg att vi visste att det fanns ett tal, kalla det b, som är svaret på uträkningen a0. Motivera varför detta är orimligt.

Tolkningen antal gånger som nämnaren får plats i täljaren innebär att exempelvis divisionen 82 kan formuleras som Hur många gånger får 2 plats i 8? Eftersom 2+2+2+2=8 inser vi att 2 får plats 4 gånger och därmed är 8/2=4. Vad händer då om vi försöker beräkna 80? Vi ställer oss alltså frågan Hur många gånger får 0 plats i 8? Hur många nollor vi än stoppar in kommer vi aldrig att nå 8 eftersom vi kan fortsätta hur länge om helst. 0+0+0+...+0 ≠ 8. Samma problem uppstår oavsett vilket värde på täljaren a vi väljer, och oavsett om a är ett heltal eller någon annan typ av tal.

Man kan ju tycka att om vi nu kan stoppa in hur många nollor som helst i 8, borde då inte 80=∞? Men tittar vi närmare på detta med ett exempel inser vi att om vilket tal som helst dividerat med noll alltid är lika med samma sak, oändligheten, skulle vi t.ex. kunna skriva likheten 8/0=∞=9/0. Detta skulle innebära att 8=9, vilket ju är orimligt! Även detta resonemang är sant för alla olika typer av täljare.

Vi skriver om formuleringen i uppgiften som a0=b. För att enklare kunna se vad detta skulle innebära för konsekvenser gör vi omskrivningen till likheten a=b * 0. Titta på denna likhet. Eftersom b * 0=0 skulle detta innebära att a alltid har värdet 0 oavsett ursprungsvärdet... det verkar högst konstigt. Och, om a=0 uppstår ännu större problem. Då påstår vi att 0=b * 0, och detta är sant för alla värden på b. Alltså skulle b, som ju var svaret på beräkningen a0, kunna vara vilket tal som helst. Men vi kan inte ha flera svar på samma beräkning. Ett sådant tal som b verkar alltså inte kunna existera.

Bråk

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan