Bråk

Ett bråk representerar ett förhållande mellan två tal, till exempel att $3$ av $4$ rutor är lila. I bråket $\frac{3}{4},$ är det täljaren $3$ som är delen och nämnaren $4$ som är helheten.

Nedan kan du skapa olika bråk genom att ändra både täljare och nämnare.

Fem fjärdedelar kan skrivas $\frac{5}{4}$ i bråkform. Du kan rita det så här:

Eftersom $\frac{4}{4}=1$ kan du också rita så här:

Man har då skrivit det i blandad form. Ett tal som är skrivet i blandad form består av ett heltal och ett bråk. Heltalet ska vara större än 0 och i bråket ska täljaren vara mindre än nämnaren.

Nedan kan du skriva olika tal på blandad form genom att ändra nämnaren och täljaren.

Tal i blandad form kan placeras på en tallinje mellan två heltal.

När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att man förlängt det kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i $3$ lika stora delar, där man ska äta $1$ av bitarna. Man kan se att $\frac{1}{3}$ av pizzan är lika mycket som $\frac{2}{6}$ eller $\frac{4}{12}$ av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza betyder det också att de är lika stora.

När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att det förkortats kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i $12$ lika stora bitar, där man ska äta $8$ av dessa. Man kan se att $\frac{8}{12}$ av pizzan är lika mycket som $\frac{4}{6}$ eller $\frac{2}{3}$ av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza innebär det att de är lika stora. Detta är ett exempel på när man förkortar bråk med $2.$ Till skillnad från när man förlänger ett bråk kan man inte förkorta hur många gånger som helst. För att förkorta ett bråk måste man kunna bryta ut en gemensam faktor från både täljare och nämnare. Kan man inte det säger man att bråket står på sin enklaste form. Exempelvis står $\frac{2}{3}$ på enklaste form.

Ett bråk är i sin enklaste form när täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer förutom $1.$ Det betyder att bråket inte kan förkortas ytterligare och att nämnaren är så liten som möjligt.

Bråk	Är det skrivet i enklaste form?	Orsak
$\frac{3}{7}$	$\text{Ja}$	Inga gemensamma faktorer förutom $1$
$\frac{25}{9}$	$\text{Ja}$	Inga gemensamma faktorer förutom $1$
$\frac{2}{8}$	$\text{Nej}$	Gemensam faktor: $2$
$\frac{15}{10}$	$\text{Nej}$	Gemensam faktor: $5$

Om ett bråk inte är skrivet i enklaste form är det alltid möjligt att hitta ett bråk med samma värde som är skrivet i enklaste form. Metoden man använder för att hitta den enklaste formen av ett bråk kallas för att förkorta bråket.

Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) av två bråk är den minsta gemensamma multipeln (MGM) av bråkens nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren är alltså helt enkelt den minsta av alla möjliga gemensamma nämnare. Några exempel visas i tabellen nedan.

Bråk	Nämnare	Multiplar av nämnare	Gemensamma nämnare	MGM av nämnare (MGN)
$\frac{2}{3}$ och $\frac{1}{2}$	$3$ och $2$	$$\begin{array}{rl}\text{Multiplar av }3\text{:}& 3,6,9,12,15,\dots \\ \text{Multiplar av }2\text{:}& 2,4,6,8,10,12,\dots \end{array}$$	$6,$ $12,\dots$	$6$
$\frac{5}{6}$ och $\frac{1}{4}$	$6$ och $4$	$$\begin{array}{rl}\text{Multiplar av }6\text{:}& 6,12,18,24,30,\dots \\ \text{Multiplar av }4\text{:}& 4,8,12,16,20,24,\dots \end{array}$$	$12,$ $24,\dots$	$12$
$\frac{1}{4}$ och $\frac{5}{2}$	$4$ och $2$	$$\begin{array}{rl}\text{Multiplar av }4\text{:}& 4,8,12,\dots \\ \text{Multiplar av }2\text{:}& 2,4,6,8,10,12,\dots \end{array}$$	$4,$ $8,$ $12,\dots$	$4$

Den minsta gemensamma nämnaren används när man adderar eller subtraherar bråk med olika nämnare. Precis som med bråk måste rationella uttryck ha en gemensam nämnare för att kunna adderas eller subtraheras. Den minsta gemensamma nämnaren för två rationella uttryck är den minsta gemensamma multipeln av nämnarna i uttrycken.