Logga in
| 11 sidor teori |
| 26 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Ett bråk representerar ett förhållande mellan två tal, till exempel att 3 av 4 rutor är lila. I bråket 43, är det täljaren 3 som är delen och nämnaren 4 som är helheten.
Nedan kan du skapa olika bråk genom att ändra både täljare och nämnare.
Fem fjärdedelar kan skrivas 45 i bråkform. Du kan rita det så här:
Eftersom 44=1 kan du också rita så här:
Tal i blandad form kan placeras på en tallinje mellan två heltal.
Omvandla det givna talet på blandad form till det motsvarande bråket eller tvärtom – det givna bråket till ett tal på blandad form. Om bråket motsvarar ett heltal, lämna bråkdelen tom. Förenkla inte bråkdelen i ett tal på blandad form.
När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.
ba=b⋅ka⋅k
Använd regeln för att utvidga en bråk.
När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.
ba=b/ka/k
Ett bråk är i sin enklaste form när täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer förutom 1. Det betyder att bråket inte kan förkortas ytterligare och att nämnaren är så liten som möjligt.
Bråk | Är det skrivet i enklaste form? | Orsak |
---|---|---|
73 | Ja | Inga gemensamma faktorer förutom 1 |
925 | Ja | Inga gemensamma faktorer förutom 1 |
82 | Nej | Gemensam faktor: 2 |
1015 | Nej | Gemensam faktor: 5 |
Den minsta gemensamma nämnaren (MGN) av två bråk är den minsta gemensamma multipeln (MGM) av bråkens nämnare. Den minsta gemensamma nämnaren är alltså helt enkelt den minsta av alla möjliga gemensamma nämnare. Några exempel visas i tabellen nedan.
Bråk | Nämnare | Multiplar av nämnare | Gemensamma nämnare | MGM av nämnare (MGN) |
---|---|---|---|---|
32 och 21 | 3 och 2 | Multiplar av 3:Multiplar av 2: 3,6,9,12,15,… 2,4,6,8,10,12,…
|
6, 12,… | 6 |
65 och 41 | 6 och 4 | Multiplar av 6:Multiplar av 4: 6,12,18,24,30,… 4,8,12,16,20,24,…
|
12, 24,… | 12 |
41 och 25 | 4 och 2 | Multiplar av 4:Multiplar av 2: 4,8,12,… 2,4,6,8,10,12,…
|
4, 8, 12,… | 4 |
Hitta primtalsfaktorerna för nämnaren för varje bråkdel.
När två bråk har samma nämnare kan dessa brytas ner i samma primtalsfaktorer. Vi bryter ner nämnarna för de tre bråken och identifierar vilka gemensamma primtalsfaktorer de har.
Bråk | Primtalsfaktorisera | Faktorer som saknas |
---|---|---|
21 | 21 | 2 och 3 |
43 | 2⋅23 | 3 |
65 | 2⋅35 | 2 |
Alla nämnare innehåller primtalsfaktorn 2. I det andra bråket hittar vi ytterligare en 2:a och i det tredje hittar vi en 3:a. Nämnarna för alla bråken måste alltså innehålla två 2:or och en 3:a. För att skapa den minsta gemensamma nämnaren förlänger vi bråken med de faktorer som saknas.
Bråk | Faktorer som saknas | Förläng bråk | = |
---|---|---|---|
21 | 2 och 3 | 2⋅2⋅31⋅2⋅3 | 126 |
2⋅23 | 3 | 2⋅2⋅33⋅3 | 129 |
2⋅35 | 2 | 2⋅3⋅25⋅2 | 1210 |
Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 12.
Förenkla uttrycker så långt som möjligt.
Vid första anblick ser det ut som att man inte kan förkorta bråket eftersom vi har summor i både täljare och nämnare. Men faktum är att det står samma sak ovan och under bråkstrecket och sådana bråk förkortas till 1. Vi kan visa att uttrycken är lika genom att omarrangera termerna i någon av summorna.
Vi har summor i både täljaren och nämnaren och av olika variabler dessutom. Men när man adderar lika stora termer med varandra kan detta skrivas om som en produkt. Vi gör denna omskrivning först.
Vi har alltså 2y och 4x i täljaren och nämnaren. Variablerna kan inte förkortas eftersom de är av olika slag men koefficienterna däremot kan det eftersom 4=2* 2.
Vi har en produkt i täljaren och en differens i nämnaren. Genom att multiplicera in x i parentesen kan vi även skriva täljaren som en differens.
Kan vi förkorta bråket? Nej det kan vi inte eftersom vi har två olika differenser i täljaren och nämnaren. Men vi har ett minustecken framför bråket. Om vi flyttar upp (eller ner) detta i bråket kan vi byta tecken på termerna i differensen.
Nu ser vi att vi har exakt samma uttryck på båda sidor om bråkstrecket och därför kan vi förkorta bråket till 1.
Om ett bråk kan förkortas med en faktor måste denna återfinnas i både täljare och nämnare. Vi undersöker detta genom att dela upp nämnare och täljare i så små faktorer som möjligt.
Vi ser att alla faktorer i täljaren återfinns åtminstone en gång i både nämnare och täljare, så vi kan definitivt förkorta med a, b och c (tre sätt). Kan vi hitta fler sätt? Vilka faktorer finns i båda nämnare och täljare? Titta på kvoten igen: a* a* a * b* b* c/a * a* b* c. De faktorer som vi hittar i både nämnare och täljare är a, a, b och c. Det betyder att vi kan förkorta med alla möjliga kombinationer av dem.
Bråk | Förkorta med | = |
---|---|---|
a * b * b* c * aa/b * c* aa | aa | a * b * b* c * aa/b * c* aa |
a* a * b* c * ab/a* c* ab | ab | a* a * b* c * ab/a* c* ab |
a* a* a * b* bc/a * a* bc | bc | a * a* a * b* bc/a * a* bc |
a* a * b* b* ac/a* b* ac | ac | a* a * b* b* ac/a* b* ac |
Man kan kombinera två av dem på fyra olika sätt. På hur många sätt kan man kombinera tre av dem?
Bråk | Förkorta med | = |
---|---|---|
a * b* c * aab/c* aab | aab | a * b* c * aab/c* aab |
a * b* b * aac/b* aac | aac | a * b* b * aac/b* aac |
a* a * b* abc/a * abc | abc | a* a * b* abc/a * abc |
Här får vi ytterligare tre sätt. Men vi kan även förkorta bråket med produkten av alla gemensamma primtalsfaktorer: aabc. Totalt ger detta 11 sätt: a, b, c, aa, ab, ac, bc, aab, aac, abc, aabc
Låt oss börja med att förenkla bråket så långt det går. Faktorerna a, a, b och c återfinns i båda nämnare och täljare, så vi kan förkorta med aabc som tidigare visats.
Nu sätter vi in värdena för a och b.
Kvotens värde blir - 2.
Både Tina och Maria har lika mycket fickpengar i början av dagen. Om vi delar in Tinas fickpengar i sjundedelar har Maria exakt 3 sådana sjundedelar kvar (och Tina har sju sjundedelar). Skulle vi lägga till $54 till Marias fickpengar och $9 till Tinas efter shoppingrundan ska dessa uttryck vara lika stora. Vi kan illustrera detta med följande figur.
Vi kallar Tinas mängd fickpengar när de shoppat klart för a. Enligt ovanstående resonemang kan vi alltså ställa upp ekvationen a+9=3a/7+54. Genom att lösa ut a kan vi bestämma hur mycket fickpengar Tina hade kvar i sluter av dagen.
Tina hade $78,75 kvar.
Går det att förkorta nedanstående bråk? Anta att variablernas värden är heltal och skilda från varandra.
I täljaren finns faktorn (c+d) och samma faktor återfinns i nämnaren, vilket innebär att vi kan förkorta bråket med den. För att lättare se detta bryter vi ut x ur bråket.
Nu ser vi att det står samma sak i täljaren och nämnaren, vilket innebär att bråket måste vara lika med 1, oavsett vad c och d är.
Svaret är alltså ja, bråket kan förkortas.
Om vi tittar på täljare och nämnare så innehåller de exakt samma termer och bråket kan därmed förkortas till 1. Vi kan visa varför genom att omarrangera termerna i täljaren eller nämnaren.
Detta innebär att svaret är ja, bråket kan förkortas. Observera att det är inte är nödvändigt att omarrangera termerna för att kunna förkorta bråket.
I täljaren ser vi att termerna 3 * a * b * b och 2 * a* b* b bara skiljer sig åt i siffran som står framför. Man kan tolka det som att den första termen innehåller tre a * b * b och den andra innehåller två a * b * b. Totalt finns det alltså fem a * b * b i täljaren, vilket kan skrivas som 5 * a * b * b.
Vi förkortade med 5a, vilket betyder att svaret är ja, bråket kan förkortas.
A=B+1B där B är ett positivt tal. Blir A större eller mindre om B dubbleras? Motivera ditt svar.
Vi börjar med att testa för några olika värden på B och undersöker om det finns någon trend.
B | B/B+1 | 2B | 2B/2B+1 |
---|---|---|---|
1 | 0,5 | 2 | ≈ 0,67 |
2 | ≈ 0,67 | 4 | 0,8 |
3 | 0,75 | 6 | ≈ 0,86 |
4 | 0,8 | 8 | ≈ 0,89 |
För de värden som vi har undersökt blir kvoten större när B dubbleras. Men kommer detta alltid gälla, oavsett vad B är? Vi börjar med titta på vad som händer med bråkets täljare och nämnare var för sig när B multipliceras med 2. rclc Täljare: & B & ⇒ & 2B Nämnare:& B+1 & ⇒ & 2B+1 Täljaren blir 2B vilket är dubbelt så stort som B. Blir nämnaren också dubbelt så stor? Om man dubblerar B+1 får man 2B+2, men det får vi inte. Istället får vi 2B+1, vilket är 1 mindre än "dubbelt så stort". Det betyder att täljaren dubbleras och nämnaren nästan dubbleras. Förhållandevis blir alltså täljaren lite större än nämnaren när B blir dubbelt så stort. Det betyder att B/B+1 blir större när B dubbleras.
Man kan även resonera sig fram till svaret algebraiskt. Vi kallar den ena kvoten A_1. Kvoten där B dubbleras kallar vi för A_2. A_1=B/B+1 och A_2=2B/2B+1 Vi tar nu fram ett uttryck för kvoten mellan A_2 och A_1.
Nu ser vi att oavsett vilket värde på B vi sätter in kommer täljaren att vara större än nämnaren eftersom 2 är större än 1. Det betyder att kvoten A_2/A_1 alltid är större än 1, vilket i sin tur innebär att A_2 alltid är större än A_1. När B dubbleras blir alltså A alltid större.