Förstå Bråk: Lär Dig Använda och Beräkna Bråk

Bråk	Är det skrivet i enklaste form?	Orsak
$\frac{3}{7}$	$Ja$	Inga gemensamma faktorer förutom $1$
$\frac{2 5}{9}$	$Ja$	Inga gemensamma faktorer förutom $1$
$\frac{2}{8}$	$Nej$	Gemensam faktor: $2$
$\frac{1 5}{1 0}$	$Nej$	Gemensam faktor: $5$

Bråk	Nämnare	Multiplar av nämnare	Gemensamma nämnare	MGM av nämnare (MGN)
$\frac{2}{3}$ och $\frac{1}{2}$	$3$ och $2$	$Multiplar av 3 : Multiplar av 2 : 3, 6, 9, 12, 15, \dots 2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$	$6,$ $12, \dots$	$6$
$\frac{5}{6}$ och $\frac{1}{4}$	$6$ och $4$	$Multiplar av 6 : Multiplar av 4 : 6, 12, 18, 24, 30, \dots 4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots$	$12,$ $24, \dots$	$12$
$\frac{1}{4}$ och $\frac{5}{2}$	$4$ och $2$	$Multiplar av 4 : Multiplar av 2 : 4, 8, 12, \dots 2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$	$4,$ $8,$ $12, \dots$	$4$

Bråk	Primtalsfaktorisera	Faktorer som saknas
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$2$ och $3$
$\frac{3}{4}$	$\frac{3}{2 \cdot 2}$	$3$
$\frac{5}{6}$	$\frac{5}{2 \cdot 3}$	$2$

Bråk	Faktorer som saknas	Förläng bråk	$=$
$\frac{1}{2}$	$2$ och $3$	$\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3}$	$\frac{6}{1 2}$
$\frac{3}{2 \cdot 2}$	$3$	$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 3}$	$\frac{9}{1 2}$
$\frac{5}{2 \cdot 3}$	$2$	$\frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 2}$	$\frac{1 0}{1 2}$

Förläng bråket $\frac{5}{6}$ så att...

Täljaren blir

30 .

Nämnaren blir

30 .

I täljaren har vi 5 så om den ska bli 30 måste vi förlänga med 6. Vi multiplicerar både nämnare och täljare med 6.

Bråket 3036 har alltså samma värde som 56.

I nämnaren har vi 6 så om den ska bli 30 måste vi multiplicera med 5. För att bråkets värde inte ska förändras måste vi även multiplicera nämnaren med 5.

Bråket 2530 har alltså samma värde som 56 (och 3036 för den delen).

Skriv bråket i enklaste form.

\frac{3 0}{2 1 0}

Skriv bråket i enklaste form.

\frac{1 6 5}{5 5 0}

Går det att förkorta bråk som står på enklaste form?

När bråk står på sin enklaste form kan de inte förkortas mer. Vi ska alltså förkorta bråken så långt det går. I tal med slutsiffran 0 kan man alltid bryta ut faktorn 10. Både 30 och 210 slutar på 0 och därför kan man förkorta med 10.

I täljaren har vi ett primtal så här kan vi endast bryta ut faktorn 1. Nämnaren kan dock skrivas som 3* 7 vilket innebär att trean kan förkortas bort.

Bråkets enklaste form är 17.

Eftersom 10=5* 2 kan man bryta ut 5 i tal som slutar på 0. Faktorn 5 kan dessutom brytas ut i tal som slutar på 5.

Täljare och nämnare delar även faktorn 11 vilket innebär att vi kan förkorta ytterligare.

10 delar inga faktorer med 3 så bråkets enklaste form är 310.

När ett bråk står på sin enklaste form innebär det att täljare och nämnare inte har några gemensamma faktorer. Primtalsfaktoriserar vi 10 i bråket 310 hittar vi ingen gemensam faktor i nämnare och täljare: \begin{gathered} \dfrac {3}{10}=\dfrac {3}{2\cdot 5}. \end{gathered} Eftersom 3 inte finns som faktor i nämnaren kan bråket inte förkortas längre.

I ett halsband finns

60

pärlor. En tredjedel av dem är röda. Av de övriga är hälften blå och den andra hälften är gula. Vilken eller vilka färger finns det mest av?

En tredjedel av de 60 pärlorna är röda. Vi beräknar hur många det är genom att dividera 60 med 3.

20 av pärlorna är röda, så 60-20=40 pärlor är inte röda. Hälften av dessa är blå och hälften gula. Det finns därför 20 pärlor av varje färg.

Det tar fem minuter att hugga $15$ vedträn.

Hur lång tid tar det att hugga tre vedträn?

Hur många vedträn kan man hugga på en timme?

Det tar fem minuter att hugga 15 vedträn. Hur lång tid tar det att hugga ett? Vi dividerar 5 med 15: 5/15=1/3. Det tar en tredjedels minut att hugga ett vedträ. Vi multiplicerar detta med 3 för att beräkna hur lång tid det tar att hugga tre stycken: 1/3*3=1. Det tar alltså 1 minut.

På 1 timme går det 60 minuter. Vi vet också att varje minut hugger man tre vedträn. På en timme hinner man därför med att hugga 3*60=180stycken.

Hitta minsta gemensamma nämnare för följande bråk.

\frac{1}{4} och \frac{1}{1 4}

\frac{3}{7} och \frac{2}{1 9}

För att hitta minsta gemensamma nämnare primtalsfaktoriserar vi nämnarna. Då ser vi vilka faktorer som saknas för att nämnarna ska vara likadana. För att sedan faktiskt göra dem likadana förlänger vi med dessa faktorer.

Bråk	Faktor som saknas	Förläng	=
1/2 * 2	7	1 * 7/2 * 2 * 7	7/28
1/2 * 7	2	1 * 2/2 * 7 * 2	2/28

Vi ser nu att nämnaren är 28 för båda bråk, så den minsta gemensamma nämnaren är alltså 28.

Vi gör på samma sätt som tidigare och primtalsfaktoriserar bråkens nämnare. Nu är dock både 7 och 19 redan primtal och går inte att faktorisera vidare, vilket innebär att de två termer som måste finnas i den gemensamma nämnaren är 7 och 19. Vi förlänger alltså varje bråk med nämnaren i det andra bråket.

Bråk	Faktor som saknas	Förläng	=
3/7	19	3 * 19/7 * 19	57/133
2/19	7	2* 7/19 * 7	14/133

Den minsta gemensamma nämnaren är 133.

Hitta minsta gemensamma nämnare för följande bråk.

\frac{1}{3}, \frac{5}{6} och \frac{8}{9}

\frac{1}{3}, \frac{4}{5} och \frac{8}{7}

Vi börjar med att primtalsfaktorisera bråkens nämnare. Observera att 3 redan är ett primtal så det första bråkets nämnare går inte att bryta ner i mindre faktorer: 13, 52* 3 och 83* 3. För att göra nämnarna lika måste primtalsfaktoriseringen vara samma i de tre bråken. Vi förlänger alltså därmed med de primtalsfaktorer som fattas i respektive bråk.

Bråk	Faktorer som fattas	Förläng	=
1/3	2 och 3	1 * 2 * 3/3 * 2 * 3	6/18
5/3* 2	3	5* 3/3 * 2 * 3	15/18
8/3* 3	2	8* 2/3 * 3 * 2	16/18

Den minsta gemensamma nämnaren är 18.

Samtliga nämnare är primtal och kan inte brytas ner i mindre faktorer. För att skapa den minsta gemensamma nämnaren måste vi därför multiplicera nämnarna med varandra. Kom ihåg att multiplicera täljarna med samma sak för att inte förändra bråkens värde.

Bråk	Faktorer som fattas	Förläng	=
1/3	5 och 7	1* 5 * 7/3 * 5 * 7	35/105
2/5	3 och 7	2* 3 * 7/5 * 3 * 7	42/105
8/7	3 och 5	8* 3 * 5/7 * 3 * 5	120/105

Den minsta gemensamma nämnaren är 105.

Vilket av följande bråk är störst? Motivera ditt svar utan att använda räknare.

\frac{7}{1 3} eller \frac{1 5}{2 6}

Man kan enklare jämföra bråken om de har samma nämnare eller täljare. Eftersom 13 * 2 = 26 förlänger vi 713 med 2.

När nämnarna är lika är det bara att jämföra storleken på täljarna. Eftersom 14 är mindre än 15 måste 1526 vara störst. 15/26 > 7/13

Ett alternativt sätt att skriva bråk där täljaren är större än nämnaren är blandad form som består av en heltalsdel och en bråktalsdel. T.ex. skrivs bråket $\frac{7}{5}$ som $1 \frac{2}{5}$ på blandad form.

Är talet

10 \frac{8}{6}

skrivet på blandad form?

Är talet

4 \frac{3}{1 2}

skrivet på blandad form?

Skriv det andra talet på bråkform.

Nej. Om bråket står på blandad form ska täljaren vara mindre än nämnaren (Detta kallas för ett äkta bråk). När täljaren är större än nämnaren kan man ju öka heltalsdelen. Vi skriver om bråket på blandad form.

Genom att plocka bort plustecknet står bråket på blandad form: 111/3.

Bråket står på blandad form eftersom det består av en heltalsdel och en bråkdel där täljaren är mindre än nämnaren. Om man vill kan man förenkla bråket ytterligare genom att skriva det på sin enklaste form.

Vi skriver om talet på bråkform.

4 312 skrivs på bråkform som 174.

3

personer delar på

7

äpplen. Hur många äpplen får varje person?

4

päron delas mellan

6

personer. Hur många päron får varje person?

Täljaren i ett bråk anger det som ska delas upp medan nämnaren anger hur många delar det ska delas upp i. Om 3 personer delar på 7 äpplen så är det alltså äpplena som delas i tre lika stora bitar. Vi får bråket 73 som vi väljer att skriva om till blandad form.

När vi delar 7 med 3 får vi 2+ 13 vilket man ibland skriver i blandad form som 2 13. Varje person får alltså två hela och en tredjedels äpple.

Som vi redan nämnt anger täljaren det som delas och nämnaren hur många bitar man ska dela upp i, och eftersom 4 päron delas mellan 6 personer får vi bråket 46. Vi förkortar bråket till sin enklaste form.

Varje person får två tredjedelar av ett päron.

Figuren är en regelbunden sexhörning. De båda linjerna delar sexhörningen mitt itu. Hur stor del av sexhörningen är skuggad? Svara i bråkform.

problemlösnings uppgift ur nationella provet Matte 1b

Nationella provet VT12 1b

För att avgöra hur stor del som är färgad kan vi dela in sexhörningen i lika stora bitar. Genom att dra ytterligare streck som i figuren nedan skapar vi 12 lika stora bitar.

Eftersom 5 av dessa bitar är färgade så utgör det färgade området 512 av figuren.

För att täcka $\frac{3}{8}$ av figuren måste du skugga ytterligare en bit. Vilken eller vilka bitar skulle detta kunna vara?

problemlösningsuppgift ur nationella provet Matte A

Nationella provet VT05 MaA

För att skugga 38 av figuren är det hjälpsamt om figuren är indelad i lika stora bitar. Vi ser att de minsta bitarna i figuren är kvadraterna i mitten så genom att dela in figuren som nedan får vi lika stora bitar.

Hela kvadraten kan alltså delas in i 16 lika stora kvadrater. Genom att förlänga bråket 38 med 2 kan vi bestämma hur många kvadrater av kvadraten som ska färgas genom att läsa av täljaren. 3* 2/8* 2=6/16 38 motsvarar alltså 616, och därför ska figuren skuggas så att 6 av de 16 kvadraterna är täckta. Det kan göras på flera sätt, men figuren nedan visar ett exempel.

Om vi tittar på vår figur så innebär detta att både A och D är rätt.

Hur mycket mörk choklad behövs enligt receptet om man ska baka en chokladtårta till $15$ personer?

bild på chokladtårta ur uppgift från nationella provet Matte A

Nationella provet VT10 Ma A

Enligt receptet räcker ingredienserna till 6 personer. Det måste betyda att om vi delar mängden mörk chocklad i receptet med 6 så får vi hur mycket som behövs för 1 person: 100/6=50/3. Du behöver alltså 50/3 g mörk choklad för att baka kakan för en person. Multiplicerar vi detta med 15 får vi hur mycket choklad som behövs för 15 personer.

Du behöver 250 gram mörk choklad för att göra kakan åt 15 personer.

Vid vilken av följande beräkningar får du den största kvoten?

Nationella provet VT00 MaA

För att avgöra vilken beräkning som ger störst kvot kan man utföra beräkningarna, men utan räknare blir det svårt. Ett första steg kan då vara att avgöra vilka bråk som är större än 1 och vilka som är mindre än 1. Det kan bli lättare om alla tal är heltal. Därför förlänger vi första bråket med 10, tredje med 100 och fjärde med 10 000.

Bråk	Förläng med	Kvot	=
19,3/21	10	19,310/2110	193/210
0,47/0,97	100	0,47100/0,97 100	47/97
0,049/0,0089	10 000	0,049* 10 000/0,0089* 10 000	490/89

Nu har vi istället följande bråk att jämföra.

Om nämnaren är större än täljaren är kvoten mindre än 1, men om täljaren är större än nämnaren är kvoten större än 1. Vi tittar på bråken och noterar att det bara finns ett där täljaren är större än nämnaren.

Detta bråk är alltså större än 1, medan de andra är mindre än 1, så 49089 måste vara största alternativet. Om vi går tillbaka till bråken i uppgiftsformuleringen betyder det att 0.0490.0089 är den beräkning som ger den största kvoten.

Rätt svar är alltså D.

Ange ett tal i bråkform som ligger mellan $\frac{1}{4}$ och $\frac{1}{3},$ har $10$ som nämnare och ett heltal i täljaren.

Nationella provet VT97 MaA

Vilket tal är störst, $0.3333$ eller $\frac{1}{3} ?$ Motivera ditt svar.

Nationella provet VT97 MaA

För att först hitta ett decimaltal så bör vi börja med att skriva om bråken på decimalform. 1/4 = 0.25 och 1/3 = 0.33333... Vi vill nu hitta ett bråk mellan 0.25 och 0.33333... som har 10 i nämnaren och ett heltal i täljaren. Bråket vi söker är 0.3 = 3/10

För att kunna jämföra talen ordentligt så vill vi skriva om båda på antingen bråkform eller decimalform. Lättast blir att skriva båda på bråkform.

1/3 = 0.33333... Talen 0.3333 och 0.33333... är likadana till och med fjärde decimalen. Efter det är talet 0.33333... större. Därav är 13 större än 0.3333.

Bråk

Förkunskaper

Bråk

Blandad form

Omvandling mellan bråkform och blandad form

Förlänga bråk

Förläng bråket

Ledtråd

Lösning

Förkorta bråk

Enklaste form

Förkorta bråket

Ledtråd

Lösning

Minsta gemensamma nämnare

Hitta minsta gemensamma nämnare

Ledtråd

Lösning

Bråk

Rekommenderade uppgifter

	11 sidor teori
	32 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.