Bråk

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Bråk

Bråk är uttryck skrivna på formen $\frac{a}{b}$ , alltså på samma sätt som en division. De används ofta för att beskriva andelar av en helhet, t.ex. "en fjärdedel" eller "tre halvor."

Talet ovanför bråkstrecket kallas täljare och talet nedanför kallas nämnare. Nämnaren anger antalet delar som utgör en hel och täljaren anger hur många sådana delar man har.

Nämnaren kan aldrig vara

0

eftersom det är förbjudet att dividera med

0

, oavsett vad täljaren är.

Regel

Förlänga bråk

När man förlänger ett bråk innebär det att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Även om täljaren och nämnaren förändras kommer inte bråkets värde att förändras eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}$

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att man förlängt det kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i $3$ lika stora delar, där man ska äta $1$ av bitarna.

Förläng med 2

Återställ

Man kan se att

\frac{1}{3}

av pizzan är lika mycket som

\frac{2}{6}

eller

\frac{4}{12}

av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza betyder det också att de är lika stora.

Förläng bråket

fullscreen

Uppgift

Förläng $\dfrac{3}{4}$ med 3.

Visa Lösning

Lösning

När man förlänger ett bråk multipliceras både täljare och nämnare med samma faktor.

\dfrac{3}{4}

ExpandFracFörläng med

3

\dfrac{3\cdot 3}{4\cdot 3}

MultiplyMultiplicera faktorer

\dfrac{9}{12}

Bråken $\frac{3}{4}$ och $\frac{9}{12}$ är lika stora.

Regel

Förkorta bråk

När man förkortar bråk divideras täljare och nämnare med samma tal. Täljaren och nämnaren förändras men det gör inte bråkets värde eftersom bråket fortfarande beskriver samma andel.

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a/k}{b/k}$

För att visa att värdet av ett bråk är samma efter att det förkortats kan man t.ex. tänka sig en pizza som delats i $12$ lika stora bitar, där man ska äta $8$ av dessa.

Förkorta med 2

Återställ

Man kan se att

\frac{8}{12}

av pizzan är lika mycket som

\frac{4}{6}

eller

\frac{2}{3}

av pizzan. Eftersom dessa tre bråktal representerar samma mängd pizza innebär det att de är lika stora. Detta är ett exempel på när man förkortar bråk med

2.

Till skillnad från när man förlänger ett bråk kan man inte förkorta hur många gånger som helst. För att förkorta ett bråk måste man kunna bryta ut en gemensam faktor från både täljare och nämnare. Kan man inte det säger man att bråket står på sin enklaste form. Exempelvis står

\frac{2}{3}

på enklaste form.

Förkorta bråket

fullscreen

Uppgift

Fökorta $\dfrac{8}{64}$ så långt som möjligt.

Visa Lösning

Lösning

Eftersom både täljare och nämnare är jämna tal kan vi börja med att förkorta med

2.

\dfrac{8}{64}

ReduceFracFörkorta med

2

\dfrac{8/2}{64/2}

CalcQuotBeräkna kvot

\dfrac{4}{32}

Både $4$ och $32$ är delbara med $4$ , så vi förkortar igen.

\dfrac{4}{32}

ReduceFracFörkorta med

4

\dfrac{4/4}{32/4}

CalcQuotBeräkna kvot

\dfrac{1}{8}

Täljaren och nämnaren har inga fler gemensamma faktorer, så bråket står nu på sin enklaste form.

Begrepp

Gemensam nämnare

Om man har två eller flera bråk med olika nämnare kan man, genom att förlänga eller förkorta, se till att bråkens nämnare blir likadana. Man säger att de har fått gemensam nämnare. Detta är viktigt t.ex. när man adderar och subtraherar bråk. Som exempel kan bråken $\frac{1}{3}$ och $\frac{1}{2}$ skrivas om med nämnaren $6$ genom att man förlänger det första bråket med $2$ och det andra med $3.$ $\dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{2}{6}\qquad\text{och}\qquad\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}=\dfrac{3}{6}$

Notera att bråken förlängdes med varandras nämnare. Det är en metod som alltid fungerar för att hitta en gemensam nämnare. Bråken

\frac{1}{3}

och

\frac{1}{2}

har även andra gemensamma nämnare. Dessa kan hittas genom att man fortsätter förlänga bråken med tal som gör att nämnarna blir lika. Den minsta av de gemensamma nämnarna brukar kallas för minsta gemensamma nämnare (MGN).

Hitta minsta gemensamma nämnare

fullscreen

Uppgift

Hitta den minsta gemensamma nämnaren till bråken $\dfrac{1}{2}, \quad \dfrac{3}{4} \quad \text{och} \quad \dfrac{5}{6} .$

Visa Lösning

Lösning

När två bråk har samma nämnare kan dessa brytas ner i samma primtalsfaktorer. Vi bryter ner nämnarna för de tre bråken och identifierar vilka gemensamma primtalsfaktorer de har.

Bråk	Primtalsfaktorisera	Faktorer som saknas
$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	2 och 3
$\dfrac{3}{4}$	$\dfrac{3}{2\cdot 2}$	3
$\dfrac{5}{6}$	$\dfrac{5}{2\cdot 3}$	2

Alla nämnare innehåller primtalsfaktorn 2. I det andra bråket hittar vi ytterligare en 2:a och i det tredje hittar vi en 3:a. Nämnarna för alla bråken måste alltså innehålla två 2:or och en 3:a. För att skapa den minsta gemensamma nämnaren förlänger vi bråken med de faktorer som saknas.

Bråk	Faktorer som saknas	Förläng bråk	$=$
$\dfrac{1}{2}$	${\color{#0000FF}{2}}$ och ${\color{#009600}{3}}$	$\dfrac{1 \cdot{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#009600}{3}}}{2\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#009600}{3}}}$	$\dfrac{6}{12}$
$\dfrac{3}{2\cdot 2}$	${\color{#009600}{3}}$	$\dfrac{3 \cdot{\color{#009600}{3}}}{2\cdot 2\cdot {\color{#009600}{3}}}$	$\dfrac{9}{12}$
$\dfrac{5}{2\cdot 3}$	${\color{#0000FF}{2}}$	$\dfrac{5 \cdot{\color{#0000FF}{2}}}{2\cdot 3\cdot {\color{#0000FF}{2}}}$	$\dfrac{10}{12}$

Den minsta gemensamma nämnaren är alltså 12.

$\dfrac{1}{3}$	$=$	En tredjedel
$\dfrac{2}{5}$	$=$	Två femtedelar
$\dfrac{5}{7}$	$=$	Fem sjundedelar
$\dfrac{7}{2}$	$=$	Sju halvor