Algoritmer och programmering

Använd följande algoritm på talet $6.$

Addera 2 till talet.
Upprepa följande instruktioner 5 gånger:
	Subtrahera 1 från resultatet.
	Dubblera resultatet.
Subtrahera 2 från resultatet.

Vad blir resultatet?

Vilmer anser att hans tandborstning har blivit lite ostrukturerad så han bestämmer sig för att skriva en algoritm som förtydligar hur man gör. Hjälp honom skriva en algoritm som beskriver hur man borstar tänderna.

Skriv en algoritm som beräknar variationsbredden av en datamängd.

En algoritm för att "översätta" ett ord till rövarspråket ser ut så här. Anta att det nya ordet skrivs under ordet som översätts.

Upprepa för varje bokstav i ordet:
	Om bokstaven är en vokal:
		Lägg till bokstaven i det nya ordet.
	Om bokstaven är en konsonant:
		Skriv bokstaven två gånger, med en lucka mellan dem.
		Skriv bokstaven "O" i luckan mellan dubbletterna.

Använd algoritmen för att översätta ordet $\text{PRIMTAL}$ till rövarspråket.

Skriv en algoritm i minst tre steg för att beräkna lutningen av en linje.

Skriv en algoritm för att lösa uppgifter av typen "Beräkna absolutbeloppet $|x|$", där $x$ kan vara vilket reellt tal som helst.

Ragnar är stolt eftersom han har skrivit sin första algoritm. Tanken är att den först ska addera $3$ till ett tal, sedan dubblera resultatet fem gånger och till sist subtrahera $6.$ När Ragnar låter några vänner testa den blir han dock nedstämd eftersom de får fel resultat. Hjälp Ragnar att hitta felet i algoritmen och att skriva om den så att den fungerar.

Addera 3 till talet.
Upprepa 5 gånger:
	Multiplicera resultatet med 2.
	Subtrahera 6 från resultatet.

Skriv en algoritm med minst tre steg för att addera två bråk.

Eratosthenes såll är en tvåtusenårig algoritm för att hitta primtal. Den börjar med en lista av heltal från $2$ upp till en gräns man själv väljer. Sedan följer man den här processen för att stryka allt som inte är primtal.

Upprepa tills alla tal är antingen inringade eller överstrukna:
	Ringa in första talet som inte är överstruket eller redan inringat.
	Kalla talet n.
	Stryk var n:te efterföljande tal i listan.

När man är klar är de inringade talen alla primtal i listan. Använd Eratosthenes såll för att hitta alla primtal upp till $50.$

Den här algoritmen tar ett positivt heltal $x$ och svarar antingen "Ja" eller "Nej".

Gör en lista med alla heltal från 2 t.o.m. x-1.
Upprepa för varje tal i listan:
	Dividera x med talet.
	Om resultatet är ett heltal:
		Svara "Nej".
Om inget annat svar har givits:
	Svara "Ja".

Vilken fråga svarar algoritmen på?

En tidig metod för att kryptera meddelanden var att använda ett Caesarchiffer. Det är ett så kallat substitutionschiffer, där varje tecken i det kodade meddelandet har bytts ut baserat på en algoritm. För att avkoda meddelandet behöver man den nyckel som användes för att göra kodningen. En algoritm för att göra en sådan avkodning kan se ut på följande sätt.

Upprepa för varje tecken i det kodade meddelandet:
	Bestäm tecknets plats i alfabetet.
	Subtrahera nyckeln från platsnumret.
	Om resultatet är mindre än 1:
		Addera 29 till resultatet.
	Bestäm det tecken i alfabetet som motsvarar resultatet.
	Lägg till tecknet i det avkodade meddelandet.

Caesarchiffret är uppkallat efter den romerska kejsaren Julius Caesar, som använde det för att skicka hemliga meddelanden. Han använde nyckeln $3$ eftersom C är den tredje bokstaven i alfabetet. Antag att följande meddelande skickades av Caesar och använd algoritmen för att avkoda det.

Beskriv med en algoritm hur man löser en ekvation av typen $ab^x + c = d,$ där $a-d$ är heltal större än $1$ och $d>c.$

Skriv en algoritm som beskriver hur man deriverar ett polynom.

Algoritmen "Beräknare" använder tre andra algoritmer, "Jämnhetskollare", "Förminskare" och "Förstorare", för att göra beräkningar på tal. Vad får man om använder "Beräknare" på talet 1?

Beräknare

Addera 2 till talet.
Upprepa 3 gånger:
	Använd Jämnhetskollare på resultatet.
Subtrahera 2 från resultatet.

Jämnhetskollare

Om talet är jämnt:
	Använd Förminskare på talet.
Annars:
	Använd Förstorare på talet.

Förminskare

Dela med 2.
Addera 1.

Förstorare

Multiplicera med 3.
Subtrahera 1.

I det gamla romarriket använde man följande siffror. $\begin{aligned} \text{I} & = 1 \\ \text{V} & = 5 \quad \quad\ \ \, \text{C} = 100\\ \text{X} & = 10 \quad \quad \, \text{D} = 500\\ \text{L} & = 50 \quad \quad \text{M} = 1000\\ \end{aligned}$ Anta att algoritmen nedan beskriver hur tal, t.ex. XII, tolkas i deras talsystem.

Upprepa för varje tecken:
	Översätt tecknet till motsvarande tal.
Lägg ihop talen.

Talet XII blir alltså $10 + 1 + 1 = 12.$ Säg nu att matematikern Matte Maticus kommer till kejsaren och föreslår att talsystemet byts ut till att följa den här algoritmen istället.

Upprepa för varje tecken:
	Skriv ner motsvarande tal.
Upprepa för varje tal:
	Om talet är mindre än det efterföljande:
		Sätt ett minustecken framför talet.
Lägg ihop talen.

Ge ett exempel på ett romerskt tal som algoritmerna tolkar olika.

Vilka fördelar har Maticus talsystem jämfört med det gamla?