Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett tal $a$ är det positiva värdet av $a,$ och skrivs $|a|.$ Om $a$ är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt $a$ byts tecknet och talet blir positivt. För $3$ och $-3$ gäller därför Den formella definitionen av absolutbeloppet av $a$ är uppdelad i två fall – det första då $a$ är positivt eller $0$ och det andra då $a$ är negativt.

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

• absolutbeloppet av ett positivt tal eller $0$ är samma tal.
• absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal $a$ som kvadratroten ur $a$ i kvadrat.

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet $-4$: Minustecknet försvinner eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om $a$ är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket $\sqrt{a^2}$ ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av $a.$

En grupp forskare studerade effekten av en kemikalie på olika stammar av bakterier. Stam A började med $6000$ celler och minskade med en konstant hastighet av $2000$ celler per timme efter att kemikalien applicerades. Stam B började med $2000$ celler och minskade med en konstant hastighet av $1000$ celler per timme efter att kemikalien applicerades. När kommer stammarna att ha samma antal celler? Förklara.

Facit

Se lösning.

Ledtråd

Skriv ett ekvationssystem och lös det grafiskt.

Lösning

Låt $y$ vara antalet $\text{celler}$, i tusental, och $t$ vara $\text{tiden}$ i timmar. I Stam A fanns det initialt $6$ tusen celler och varje timme minskade antalet med $2$ tusen celler. Låt oss skriva en ekvation som beskriver situationen. I Stam B började vi med $2$ tusen celler och minskningstakten är $1$ tusen celler per timme. Vi kan också skriva detta som en ekvation. Genom att kombinera ekvationerna får vi ett ekvationssystem. Låt oss lösa detta system grafiskt. Vi begränsar definitionsmängden till $t\ge 0$ eftersom det är då studien startade.

Som vi kan se skär graferna varandra i $(4;-2)$. Detta är kontraintuitivt eftersom graferna beskriver antalet bakterier och det kan inte vara mindre än $0$. Därför måste vi begränsa vårt värdeområde till $y\ge 0$.

När vi begränsar värdeområdet till icke-negativa värden har ekvationssystemet inga lösningar.

Emellertid...

Stammarna har dock samma antal celler när de båda är $0$ — bakterierna har ju dött. Låt oss se detta grafiskt.

När alla celler i Stam A har dött, $y=0$, har båda stammarna samma antal celler. Låt oss ta reda på när detta händer. Tekniskt sett, efter $3$ timmar är antalet återstående bakterier detsamma.

Svarsalternativ

Hitta kvadratroten.

Facit

$\pm \frac{7}{12}$

Ledtråd

Tänk på ett tal som resulterar i $\frac{49}{144}$ när det upphöjs till andra potensen.

Lösning

Vi vill hitta båda kvadratrötterna till $\frac{49}{144}.$ Vi måste tänka på ett tal som, när det upphöjs till $\text{andra}$ potensen, resulterar i $\frac{49}{144}.$ Genom att använda lagen om potens av en kvot kan vi se att detta tal är $\frac{7}{12}.$ Med denna information kan vi säga att kvadratrötterna till $\frac{49}{144}$ är $\pm \frac{7}{12}.$

Svarsalternativ

För att beräkna absolutbeloppet av ett tal eller ett uttryck på räknaren använder man kommandot abs. Det hittar man genom att trycka på $\boxed{MATH}$ och sedan på högerknappen för att visa menyn NUM.

Genom att välja det första alternativet, abs, sätts det in tillsammans med en startparentes. Det man skriver inom denna parentes är det som absolutbeloppet beräknas för.

Man kan också använda kommandot som en del av ett uttryck eller i en funktion.