Regler för derivator

Derivatans graf

Teori

Värdet på en funktions derivata i en punkt beskriver hur funktionens graf beter sig där, dvs. om den växer, avtar eller har en stationär punkt, och hur snabbt den förändras. Förutom att studera derivatans värde i enskilda punkter kan man också se derivatan som en funktion. Deriverar man t.ex. tredjegradsfunktionen f(x)=x36x2+9x1.5 f(x)=x^3-6x^2+9x-1.5 får man andragradsfunktionen f(x)f'(x) som beskriver derivatan till f(x).f(x). f(x)=3x212x+9 f'(x)=3x^2-12x+9 Det finns användbara samband mellan grafen till en funktion och grafen till dess derivata, och för att undersöka dessa kan man börja med att rita ut grafen till f(x).f(x). Från den kan man se hur lutningen varierar med x.x.

Man kan se att grafen har en maximipunkt där x=1x=1 och en minimipunkt vid x=3.x=3. I båda dessa extrempunkter är lutningen 0.0. Utöver detta kan man också se att grafen är avtagande mellan extrempunkterna och växande till vänster och höger om detta område, vilket markeras med rött respektive grönt i figuren. Detta kan man sedan jämföra med grafen till derivatan.

Man ser då att f(x)f'(x) är 00x=1x=1 och x=3,x=3, alltså på samma ställe som maximi- och minimipunkterna för f(x).f(x). Detta överensstämmer med att derivatan är 00 i stationära punkter. Man ser även att f(x)f'(x) ligger under xx-axeln mellan extrempunkterna och alltså är negativ där. Resten av grafen ligger ovanför xx-axeln och är då positiv.

Det går alltså att använda utseendet på grafen till f(x)f'(x) för att bestämma det generella utseendet på grafen till f(x)f(x) och vice versa.

Graf till f(x)f(x) Graf till f(x)f'(x)
Växande ( \nearrow ) Ovanför xx-axeln (+)
Avtagande ( \searrow ) Nedanför xx-axeln (–)
Stationär (\longrightarrow) Skär xx-axeln (00)

I figuren nedan visas en andragradsfunktion och dess derivata, och genom att ändra på funktionen kan man se hur det påverkar derivatan. Funktion \text{Funktion}

Derivata \text{Derivata}

Derivatans gradtal

För en polynomfunktion f(x)f(x) gäller att derivatans gradtal är 11 lägre än funktionens gradtal.

Regel

grad(f(x))=grad (f(x))1\text{grad}\left( f'(x) \right)=\text{grad }\left( f(x) \right)-1

Exempel

Beskriv funktionen utifrån derivatans graf