| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount}} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount}} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Henrik (Diskussion | bidrag) | Parsoid (Diskussion | bidrag) (Emptied content using mlmaintenance/clearSolutionNamespace script.) | ||
Rad 4: | Rad 4: | ||
<bblock page="Skills:Tolka funktionen och derivatan"/> | <bblock page="Skills:Tolka funktionen och derivatan"/> | ||
<bblock page="Skills:Tolka derivatans nollställe"/> | <bblock page="Skills:Tolka derivatans nollställe"/> | ||
+ | |||
+ | <summary>Denna lektion ger en omfattande förståelse för derivata. Den förklarar hur derivatan kan användas för att lösa matematiska problem och beskriva verkliga situationer. Till exempel kan man använda derivatan för att bestämma ekvationen för en tangent till en funktions graf i en viss punkt. Dessutom kan derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation tolkas som en momentan förändringshastighet. Detta innebär att derivatan beskriver hur något förändras över tid. Lektionen innehåller också praktiska exempel som illustrerar dessa koncept.</summary> | ||
+ | <ocseo title="Derivata: Regler, Exempel och Förklaring på Användning" description="Utforska derivata och dess regler. Lär dig vad en derivata är, se exempel och förstå vad derivatan används till."/> | ||
[[Kategori:Chapter:Regler för derivator]] | [[Kategori:Chapter:Regler för derivator]] |
x=2
Beräkna potens
Multiplicera faktorer
Derivera funktion
D(axn)=a⋅nxn−1
Multiplicera faktorer
Derivatan till en funktion som beskriver en verklig situation kan tolkas som en momentan förändringshastighet. Derivatan beskriver alltså hur någonting förändras. Antag exempelvis att man har en funktion y(t) som ger en prognos för antalet invånare i en stad t år efter att ett bostadsprojekt färdigställts.
Derivatan till denna funktion vid en viss tidpunkt t0 skrivs y′(t0) och beskriver hur antalet invånare förändras då. Enheten för derivatan får man genom att dividera enheterna på axlarna: invånare/år. Om man känner till funktionsuttrycket kan man beräkna derivatans värde vid olika tidpunkter. Här följer tre olika exempel.
Funktionen T(x) beskriver temperaturen på vatten i en kastrull x minuter efter att spisplattan sattes på.
Tolka de två likheternaVi börjar med T(4)=60, vilket innebär att funktionen ger värdet T=60 om man sätter in x=4. Eftersom funktionen anger temperaturen vid olika tidpunkter så kan T(4)=60 tolkas som att vattnets temperatur är 60∘C efter 4 minuter.
Likheten T′(4)=15 innebär att funktionens derivata är 15 då x=4, vilket betyder att funktionen har lutningen 15 i punkten (4,60).
Man kan se lutningen som en förändringshastighet med enheten ∘C/min, alltså y-axelns enhet dividerad med x-axelns enhet. Derivatan T′(4)=15 kan alltså tolkas som att temperaturen ökar med 15∘C/min vid tidpunkten 4 minuter.
Sträckan som en bil kör kan beskrivas med funktionen s(t), där s är sträckan från startpunkten i kilometer och t är tiden i timmar.
Bestäm för vilket t som s′(t)=0 och beskriv bilens rörelse för det t-värdet.
Att s′(t)=0 betyder att derivatan är 0, och eftersom derivatan anger funktionens lutning söker vi de punkter på grafen där den är 0. Det finns bara en sådan punkt, vid t=3.
s′(t) är alltså 0 när t=3. Tolkningen av detta är att sträckan som bilen har färdats efter 3 timmar inte förändras i detta ögonblick. Det innebär alltså att bilen står stilla vilket är samma sak som att hastigheten är 0 km/h. Generellt gäller att derivatan av en funktion som beskriver sträcka som funktion av tid anger hastigheten.