Regel

Derivatan av en potensfunktion

För att derivera en potensfunktion

f (x) = x^{n},

där

n

är en konstant, multiplicerar man

x^{n}

med

n

och minskar exponenten med

1 .

Derivera/Förenkla

f (x) = x^{4}

f (x) = x^{2}

f (x) = x^{- 5}

Deriveringsregeln gäller för alla reella $n$ . Ibland kan man dock behöva göra vissa omskrivningar för att kunna använda regeln.

Man kan motivera regeln genom att visa att den exempelvis gäller då $n = 2,$ alltså för funktionen $f (x) = x^{2} .$ Man gör detta med hjälp av derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

SubstituteII

$f (x + h) = (x + h)^{2}$ och $f (x) = x^{2}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h}

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{x ^{2} + 2 x h + h ^{2} - x ^{2}}{h}

SimpTerms

Förenkla termerna

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{2 x h + h ^{2}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h \cdot 2 x + h \cdot h}{h}

FactorOut

Bryt ut $h$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{h ( 2 x + h )}{h}

SimpQuot

Förenkla kvot

f^{'} (x) = h \to 0 lim (2 x + h)

To

$h \to 0$

f^{'} (x) = 2 x

Deriveringsregeln gäller alltså när $n = 2,$ och det går att visa det för alla $n$ också.

Även funktionen $f (x) = x$ går att derivera med deriveringsregeln för potensfunktioner, eftersom $x$ är en potens med graden $1 .$ Ofta brukar man dock använda en snabbare väg, nämligen regeln som säger att $D (x) = 1,$ som härleds här.

f (x) = x

NumberToExponentOne

$a = a^{1}$

f (x) = x^{1}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (x^{1})

DeriveMonom

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 1 \cdot x^{0}

ExponentZero

$a^{0} = 1$

f^{'} (x) = 1

@@ Rad 280: / Rad 280: @@
 -->
-<jsxgpre id="polynomialDerivative" class="jxgbox jsx-canvas">var b=mlg.board([-5.5,1.3,5.5,-1.0],{desktopSize:'medium'});
+<jsxgpre id="polynomialDerivative" class="jxgbox jsx-canvas">
+var b=mlg.board([-5.5,1.3,5.5,-1.0],{desktopSize:'medium'});
@@ Rad 454: / Rad 455: @@
  b.hide(expStay, 800);
  b.show(expAfter, 1200);
- setTimeout(function() {stepUp();},1000);
+ setTimeout(function() {stepUp();},1200);
 	}
 	else if (step === 4) {
@@ Rad 486: / Rad 487: @@
  expSub = b.txt(par.X() + 1.91*tScale, par.Y() + 0.16*tScale, '- 1', {opacity:0, fontsize:tScale});
- expAfter = b.txt(par.X() + 2.14*tScale, par.Y() + 0.16*tScale, '\\text{-}6', {opacity:0, fontsize:tScale});
+ expAfter = b.txt(par.X() + 1.44*tScale, par.Y() + 0.16*tScale, '\\text{-}6', {opacity:0, fontsize:tScale});
@@ Rad 528: / Rad 529: @@
 //Börja med x^4
-mlg.cf("polynomialDifferentiation.X4");</jsxgpre>
+mlg.cf("polynomialDifferentiation.X4");
+</jsxgpre>

Versionen från 22 augusti 2018 kl. 17.27

Derivatan av en potensfunktion

Rekommenderade uppgifter