{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Inga inlägg om filrättigheter hittades
TemplateBot (Diskussion | bidrag)
(Automatically edited by massSearchReplace maintenance script.)
Dejo1955@gmail.com (Diskussion | bidrag)
Rad 1: Rad 1:
−
<hbox type="h1" iconcolor="wordlist"> <translate><!--T:1-->
+
<hbox type="h1" subject="concept"> <translate><!--T:1-->
 
Derivata</translate> </hbox>
 
Derivata</translate> </hbox>
−
 
 
<translate><!--T:2-->
 
<translate><!--T:2-->
 
Derivatan av en [[Begrepp:Funktion|funktion]] i en viss punkt är samma sak som [[Begrepp:Lutning|lutningen]] för den [[Begrepp:Tangent|tangent]] som kan dras genom punkten. Om tangentens lutning är positiv är även derivatan positiv, är lutningen negativ är derivatan negativ och där tangenten har lutningen $0$ är derivatan $0.$</translate>  
 
Derivatan av en [[Begrepp:Funktion|funktion]] i en viss punkt är samma sak som [[Begrepp:Lutning|lutningen]] för den [[Begrepp:Tangent|tangent]] som kan dras genom punkten. Om tangentens lutning är positiv är även derivatan positiv, är lutningen negativ är derivatan negativ och där tangenten har lutningen $0$ är derivatan $0.$</translate>  
  
−
<jsxgpre id="derivata_wordlist_anim">
+
<jsxgpre id="Concept_Derivata_1" alt="" static=0>
−
var Xmax=9.5;
+
var b = mlg.board([-9.5,7.5,9.5,-5.5], {desktopSize:'medium',style:"se"});
−
var Xmin=-9.5;
+
var bb = b.board.getBoundingBox();
−
var Ymax=7.5;
+
var buttons = [];
−
var Ymin=-3.5;
+
var bb2 = [bb[0],1.75,bb[2],-1.75];
−
var b = mlg.board([Xmin, Ymax, Xmax, Ymin], {desktopSize:'medium'});
+
 
−
b.xaxis(10,9,'x');
+
var b1 = b.subBoard([0,0],bb,{border:false});
−
b.yaxis(10,9,'y');
+
var b2 = b.subBoard(b1,bb2,{padding:0.1,position:'s',border:false});
−
var string = {
+
b.subCrop([b1,b2],0.05);
−
  move_me: '<!--T:31--> Drag mig!',
+
 
−
};
+
/*This rectangle is to hide some elements of the upper board that go beyond the board limits*/
 +
var r1 = b2.node(bb2[0]-1,bb2[1]);
 +
var r2 = b2.node(bb2[2]+1,bb2[3]);
 +
b.rectangle(r1,r2,{fillColor:"white",withLines:false,layer:8});
  
 +
b1.xaxis(10,9,'x');
 +
b1.yaxis(10,9,'y');
  
−
{/* Extrempunkter och inflexionspunkt för tredjegradsfunktionen */
+
/*Extrempunkter och inflexionspunkt för tredjegradsfunktionen*/
 
var p1 = b.node(-4,1.783);
 
var p1 = b.node(-4,1.783);
 
var p2 = b.node(3,-1.075);
 
var p2 = b.node(3,-1.075);
 
var Inflex = b.node(function() {return ((p1.X() + p2.X())/2);},function() {return ((p1.Y() + p2.Y())/2);});
 
var Inflex = b.node(function() {return ((p1.X() + p2.X())/2);},function() {return ((p1.Y() + p2.Y())/2);});
−
}
 
  
−
{/* Första- andra och tredjegradsfunktionen som körs beroende på graphNode */
+
/*Första- andra och tredjegradsfunktionen som körs beroende på graphNode*/
−
var firstDegree = function(x) {
+
var firstDegree = function(x){return 2*x-1;};
−
  return 2*x-1;
+
var secondDegree = function(x){return -0.15*x*x+2;};
−
};
+
var thirdDegree = function(x){return 0.05*(x*x*x/3+x*x/2-12*x+1);};
−
var secondDegree = function(x) {
 
−
return -0.15*x*x+2;
 
−
};
 
−
var thirdDegree = function(x) {
 
−
  return 0.05*(x*x*x/3+x*x/2-12*x+1);
 
−
};}
 
  
−
/* Välj third (3), second (2) eller firstdegree (1). */
+
/*Välj third (3), second (2) eller firstdegree (1).*/
 
var graphNode = b.node(2,0);
 
var graphNode = b.node(2,0);
−
{/* Val av funktion som ska köras beroende på graphNode */
 
  
 +
/*Val av funktion som ska köras beroende på graphNode*/
 
var graphFunc = function(x) {
 
var graphFunc = function(x) {
−
if (graphNode.X() === 3) {
+
if (graphNode.X() == 3) {return thirdDegree(x);}
−
return thirdDegree(x);
+
else if (graphNode.X() == 2) {return secondDegree(x);}
−
}
+
else if (graphNode.X() == 1) {return firstDegree(x);}
−
else if (graphNode.X() === 2) {
+
};
−
return secondDegree(x);
 
−
}  
 
−
else if (graphNode.X() === 1) {
 
−
return firstDegree(x);
 
−
}
 
−
};}
 
  
−
/* Ritar grafen för den valda funktionen */
+
var lowLim = function(x) {
−
{var selectedFunc = b.board.create('functionGraph', [graphFunc, -10,10], {strokeWidth:2, strokeColor:'blue'});
+
if (graphNode.X() == 3) {return bb[0]+0.25;}
 +
else if (graphNode.X() == 2) {return -7;}
 +
else if (graphNode.X() == 1) {return 0.5*(bb[3]+1);}
 +
};
  
−
{/* Glider, tangent, normal och segment som ritas ut mellan p3 och p4. Notera att tangenten och normalen samt p3,p4,p5,p6 göms på slutet. */
+
var highLim = function(x) {
−
var glid = b.glider(-6,-1.5,selectedFunc,{fixed:false});
+
if (graphNode.X() == 3) {return bb[2];}
−
var tang = b.board.create('tangent', [glid]);
+
else if (graphNode.X() == 2) {return 7;}
−
var norm = b.normal(tang,glid);
+
else if (graphNode.X() == 1) {return bb[2];}
−
var pullMe= b.txt(glid.X()+1.7,glid.Y()-0.5,string.move_me,{mathMode:false});
+
};
−
var p3 = b.Tpoint(norm,glid,-2.7);
 
−
var p4 = b.Tpoint(norm,glid,2.7);
 
−
var p5 = b.Tpoint(tang,glid,1);
 
−
var p6 = b.Tpoint(tang,glid,-1);
 
−
var seg = b.segment(p3,p4,{strokeColor:'red'});
 
−
b.hide([tang,norm,p3,p4,p5,p6]);
 
  
−
}
+
/*Ritar grafen för den valda funktionen*/
 +
var selectedFunc = b.board.create('functionGraph', [graphFunc,lowLim,highLim], {strokeWidth:2, strokeColor:'blue',layer:4});
  
−
/* Segmentets lutning */
+
/*Glider, tangent, normal och segment som ritas ut mellan p3 och p4. Notera att tangenten och normalen samt p3,p4,p5,p6 göms på slutet.*/
−
var kVal = function() {
+
var glid = b.glider(-6,-1.5,selectedFunc,{fixed:false});
−
    return ((p4.Y() - p3.Y())/(p4.X() - p3.X()));
+
var tang = b.board.create('tangent', [glid],{opacity:0});
−
};}
+
var norm = b.normal(tang,glid,{opacity:0});
  
 +
var p3 = b.Tpoint(norm,glid,-2.7,{opacity:0});
 +
var p4 = b.Tpoint(norm,glid,2.7,{opacity:0});
 +
var p5 = b.Tpoint(tang,glid,1,{opacity:0});
 +
var p6 = b.Tpoint(tang,glid,-1,{opacity:0});
 +
var seg = b.segment(p3,p4,{strokeColor:'red'});
 +
var seg2 = b.line(p3,p4,{strokeColor:'red',strokeWidth:1.5,dash:2,opacity:0.25,layer:4});
  
−
{/* Derivataflagga och lutningsflagga */
+
/*Segmentets lutning*/
−
var DerivataText = b.txt(-5,4,'Derivata: '+kVal().toFixed(1),{flag:true,fontSize:0.8,mathMode:false});
+
var kVal = function() {return ((p4.Y() - p3.Y())/(p4.X() - p3.X()));};
−
var LutningText = b.txt(-5,6,'Tangentens lutning: '+kVal().toFixed(1),{flag:true,fontSize:0.8,mathMode:false});
 
−
$(b.getId(DerivataText)).css({
 
−
    "text-align":"center",
 
−
});
 
−
$(b.getId(LutningText)).css({
 
−
    "text-align":"center",
 
−
});
 
−
}
 
−
b.changeText(DerivataText,'<!--T:27--> Derivata i punkten: '+kVal().toFixed(1));
 
−
b.changeText(LutningText,'<!--T:28--> Tangentens lutning: '+kVal().toFixed(1));
 
  
−
var setColAndPos = function(){
+
/*Derivataflagga och lutningsflagga*/
−
if(graphNode.X()===3){
+
var DerivataText = b2.txt(bb2[0]/2,bb2[1]-1,'\\text{Derivata: }'+kVal().toFixed(1),{flag:true,flagColor:"white",fontSize:0.9});
−
b.show(pullMe);
+
var LutningText = b2.txt(bb2[2]/2,bb2[1]-1,'\\text{Tangentens lutning: }'+kVal().toFixed(1),{flag:true,fontSize:0.9});
−
b.changeText(DerivataText,'<!--T:29--> Derivata i punkten: 0.9');
+
$(b.getId(DerivataText)).css({"text-align":"center"});
−
b.changeText(LutningText,'<!--T:30--> Tangentens lutning: 0.9');
+
$(b.getId(LutningText)).css({"text-align":"center"});
−
DerivataText.moveTo([-5,4]);
 
−
LutningText.moveTo([-5,6]);
 
−
glid.moveTo([-6,thirdDegree(-6)]);
 
−
pullMe.moveTo([glid.X()+1.7,glid.Y()-0.5]);
 
−
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
−
$(b.getId(LutningText)).css({
 
−
    "background-color":"rgb(150, 255, 150)",
 
−
    "border-color":"green",
 
−
});
 
−
}
 
−
if(graphNode.X()===2){
 
−
glid.moveTo([-5,secondDegree(-5)]);
 
−
b.show(pullMe);
 
−
b.changeText(DerivataText,'Derivata i punkten: 1.5');
 
−
b.changeText(LutningText,'Tangentens lutning: 1.5');
 
−
DerivataText.moveTo([-5,4]);
 
−
LutningText.moveTo([-5,6]);
 
−
pullMe.moveTo([glid.X()-1.7,glid.Y()+0.5]);
 
−
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
−
$(b.getId(LutningText)).css({
 
−
    "background-color":"rgb(150, 255, 150)",
 
−
    "border-color":"green",
 
−
});
 
  
−
}
+
var setColAndPos = function(){
−
if(graphNode.X()===1){
+
b.pulse(glid,{attribute:'size',min:0.4,max:0.65,finalValue:0.5});
−
b.show(pullMe);
+
if(graphNode.X()==3){
−
b.changeText(DerivataText,'Derivata i punkten: 2');
+
b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }'+b.num(0.9));
−
b.changeText(LutningText,'Tangentens lutning: 2');
+
b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }'+b.num(0.9));
−
DerivataText.moveTo([-5,4]);
+
glid.moveTo([-6,thirdDegree(-6)]);
−
LutningText.moveTo([-5,6]);
+
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
−
glid.moveTo([1,1]);
+
        seg2.setAttribute({strokeColor:'green'});
−
pullMe.moveTo([glid.X()+1.8,glid.Y()-0.2]);
 
−
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
−
$(b.getId(LutningText)).css({
 
−
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
 
−
"border-color":"green",
 
−
});
 
−
 
−
}};
 
−
setColAndPos();
 
−
 
 
−
var snapDist=0.5;
 
−
glid.on('drag', function(){
 
−
if(graphNode.X()===3 || graphNode.X()===2){
 
−
var newTextD = '<!--T:32--> Derivata i punkten: '+ kVal().toFixed(1);
 
−
var newTextL = '<!--T:33--> Tangentens lutning: '+ kVal().toFixed(1);
 
−
b.changeText(DerivataText,newTextD);
 
−
b.changeText(LutningText,newTextL);
 
−
b.hide(pullMe);
 
−
if(graphNode.X()===3){
 
−
if(Math.abs(glid.X()-(-4))<snapDist){
 
−
glid.moveTo([-4,glid.Y()]);
 
−
b.changeText(DerivataText,'Derivata i punkten: 0');
 
−
b.changeText(LutningText,'Tangentens lutning: 0');
 
−
}
 
−
if(Math.abs(3-glid.X())<snapDist){
 
−
glid.moveTo([3,glid.Y()]);
 
−
b.changeText(DerivataText,'Derivata i punkten: 0');
 
−
b.changeText(LutningText,'Tangentens lutning: 0');
 
−
}
 
−
if(Math.abs(p3.Y()-p4.Y())<0.05){
 
−
seg.setAttribute({strokeColor:'black'});
 
 
$(b.getId(LutningText)).css({
 
$(b.getId(LutningText)).css({
−
"background-color":"rgb(200, 200, 200)",
+
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
−
"border-color":"black",
+
            "border-color":"green",
 
});
 
});
−
}
+
}
−
if(Math.abs(p4.Y()-p3.Y())>0.05){
+
if(graphNode.X()==2){
 +
glid.moveTo([-5,secondDegree(-5)]);
 +
b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }'+b.num(1.5));
 +
b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }'+b.num(1.5));
 
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
        seg2.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
$(b.getId(LutningText)).css({
 
$(b.getId(LutningText)).css({
−
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
+
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
−
"border-color":"green",
+
"border-color":"green",
−
});
+
});
−
}
+
}
−
if(p4.Y()-p3.Y()<-0.05){
+
if(graphNode.X()==1){
−
seg.setAttribute({strokeColor:'red'});
+
b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }2');
 +
b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }2');
 +
glid.moveTo([1,1]);
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
        seg2.setAttribute({strokeColor:'green'});
 
$(b.getId(LutningText)).css({
 
$(b.getId(LutningText)).css({
−
"background-color":"rgb(255, 150, 150)",
+
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
−
"border-color":"red",
+
"border-color":"green",
 
});
 
});
−
}
 
−
if(glid.X()<-8.5){
 
−
glid.moveTo([-8.5,thirdDegree(-8.5)]);
 
−
}
 
−
if(glid.X()>8.5){
 
−
glid.moveTo([8.5,thirdDegree(8.5)]);
 
−
}
 
 
}
 
}
−
if(graphNode.X()===2){
+
};
−
if(Math.abs(glid.X())<snapDist){
+
setColAndPos();
−
glid.moveTo([0,glid.Y()]);
+
 
−
seg.setAttribute({strokeColor:'black'});
+
var snapDist=0.5;
−
b.changeText(DerivataText,'Derivata i punkten: 0');
+
glid.on('drag', function(){
−
b.changeText(LutningText,'Tangentens lutning: 0');
+
b.limit(glid,bb[0]+0.5,bb[1]-0.5,bb[2]-0.5,bb[3]+0.5);
−
$(b.getId(LutningText)).css({
+
if(graphNode.X()==3 || graphNode.X()==2){
−
"background-color":"rgb(200, 200, 200)",
+
var newTextD = '\\text{Derivata i punkten: }'+b.num(kVal().toFixed(1));
−
"border-color":"black",
+
var newTextL = '\\text{Tangentens lutning: }'+b.num(kVal().toFixed(1));
−
});
+
b.changeText(DerivataText,newTextD);
−
}
+
        b.changeText(LutningText,newTextL);
−
if(glid.X()>snapDist){
+
       
−
seg.setAttribute({strokeColor:'red'});
+
        if(graphNode.X()==3){
−
$(b.getId(LutningText)).css({
+
if(Math.abs(glid.X()-(-4))<snapDist){
−
"background-color":"rgb(255, 150, 150)",
+
glid.moveTo([-4,glid.Y()]);
−
"border-color":"red",
+
                b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }0');
−
});
+
                b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }0');
−
}
+
}
−
if(glid.X()<-snapDist){
+
if(Math.abs(3-glid.X())<snapDist){
−
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
+
glid.moveTo([3,glid.Y()]);
−
$(b.getId(LutningText)).css({
+
b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }0');
−
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
+
b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }0');
−
"border-color":"green",
+
}
−
});
+
if(Math.abs(p3.Y()-p4.Y())<0.05){
−
}
+
seg.setAttribute({strokeColor:'black'});
−
if(glid.X()<-6){
+
                seg2.setAttribute({strokeColor:'black'});
−
glid.moveTo([-6,secondDegree(-6)]);
+
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(200, 200, 200)",
 +
"border-color":"black",
 +
});
 +
}
 +
if(Math.abs(p4.Y()-p3.Y())>0.05){
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
                seg2.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
 +
"border-color":"green",
 +
});
 +
}
 +
if(p4.Y()-p3.Y()<-0.05){
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'red'});
 +
                seg2.setAttribute({strokeColor:'red'});
 +
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(255, 150, 150)",
 +
"border-color":"red",
 +
});
 +
}
 
}
 
}
−
if(glid.X()>6){
+
−
glid.moveTo([6,secondDegree(6)]);
+
        if(graphNode.X()==2){
 +
if(Math.abs(glid.X())<snapDist){
 +
glid.moveTo([0,glid.Y()]);
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'black'});
 +
                seg2.setAttribute({strokeColor:'black'});
 +
b.changeText(DerivataText,'\\text{Derivata i punkten: }0');
 +
b.changeText(LutningText,'\\text{Tangentens lutning: }0');
 +
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(200, 200, 200)",
 +
"border-color":"black",
 +
});
 +
}
 +
if(glid.X()>snapDist){
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'red'});
 +
                seg2.setAttribute({strokeColor:'red'});
 +
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(255, 150, 150)",
 +
"border-color":"red",
 +
});
 +
}
 +
if(glid.X()<-snapDist){
 +
seg.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
                seg2.setAttribute({strokeColor:'green'});
 +
$(b.getId(LutningText)).css({
 +
"background-color":"rgb(150, 255, 150)",
 +
"border-color":"green",
 +
});
 +
}
 
}
 
}
 
}
 
}
−
}
 
−
if(graphNode.X()===1){
 
−
if(glid.X()<-1){
 
−
glid.moveTo([-1,firstDegree(-1)]);
 
−
}
 
−
if(glid.X()>4){
 
−
glid.moveTo([4,firstDegree(4)]);
 
−
}
 
−
b.hide(pullMe);
 
−
}
 
 
});
 
});
  
−
mlg.af("firstDegreeW.funktion", function(){
+
var f1 = function(){
−
graphNode.moveTo([1,0]);
+
buttons[0].select();
−
setColAndPos();
+
    buttons[0].disabled = true;
−
});
+
    buttons[1].enable();
 +
    buttons[1].deselect();
 +
    buttons[2].enable();
 +
    buttons[2].deselect();
 +
graphNode.moveTo([1,0]);
 +
setColAndPos();
 +
};
  
−
mlg.af("secondDegreeW.funktion", function(){
+
var f2 = function(){
−
graphNode.moveTo([2,0]);
+
buttons[1].select();
−
setColAndPos();
+
    buttons[1].disabled = true;
−
});
+
    buttons[0].enable();
 +
    buttons[0].deselect();
 +
    buttons[2].enable();
 +
    buttons[2].deselect();
 +
graphNode.moveTo([2,0]);
 +
setColAndPos();
 +
};
  
−
mlg.af("thirdDegreeW.funktion", function(){
+
var f3 = function(){
−
graphNode.moveTo([3,0]);
+
buttons[2].select();
−
setColAndPos();
+
    buttons[2].disabled = true;
−
});
+
    buttons[0].enable();
 +
    buttons[0].deselect();
 +
    buttons[1].enable();
 +
    buttons[1].deselect();
 +
graphNode.moveTo([3,0]);
 +
setColAndPos();
 +
};
  
 +
var pos1 = b2.node(bb2[0]+0.1,bb2[3]+0.1);
 +
var pos2 = b2.node(0,bb2[3]+0.1);
 +
var pos3 = b2.node(bb2[2]-0.1,bb2[3]+0.1);
 +
buttons.push(b.button(pos1.X(),pos1.Y(),"Förstagradsfunktion",f1,{anchor:'sw',width:140}));
 +
buttons.push(b.button(pos2.X(),pos2.Y(),"Andragradsfunktion",f2,{anchor:'s',width:140}));
 +
buttons.push(b.button(pos3.X(),pos3.Y(),"Tredjegradsfunktion",f3,{anchor:'se',width:140}));
 +
f2();
 
</jsxgpre>
 
</jsxgpre>
−
 
−
<div class='jsx-btn-container'>
 
−
<jsxbtn onclick='mlg.cf("firstDegreeW.funktion")'><translate><!--T:15-->
 
−
Förstagradsfunktion</translate></jsxbtn>
 
−
<jsxbtn onclick='mlg.cf("secondDegreeW.funktion")'><translate><!--T:16-->
 
−
Andragradsfunktion</translate></jsxbtn><br/>
 
−
</div>
 
−
<div class='jsx-btn-container'>
 
−
<jsxbtn onclick='mlg.cf("thirdDegreeW.funktion")'><translate><!--T:17-->
 
−
Tredjegradsfunktion</translate></jsxbtn>
 
−
</div>
 
  
 
<translate><!--T:18-->
 
<translate><!--T:18-->
Rad 258: Rad 241:
 
Några vanliga beteckningar för [[Intro:Derivera funktioner|derivatan av en funktion]] $f(x)$ är förutom $f'(x)$ exempelvis $D(f(x))$ och $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}.$</translate>
 
Några vanliga beteckningar för [[Intro:Derivera funktioner|derivatan av en funktion]] $f(x)$ är förutom $f'(x)$ exempelvis $D(f(x))$ och $\frac{\text{d}f}{\text{d}x}.$</translate>
  
−
 
+
==<translate><!--T:21--> Derivatans definition</translate>==
−
==<translate><!--T:21-->
 
−
Derivatans definition</translate>==
 
 
<translate><!--T:22-->
 
<translate><!--T:22-->
 
[[Rules:Derivatans definition|Definitionen av derivatan]] i en punkt där $x=a,$ det vill säga $f'(a),$ är [[Begrepp:Gränsvärde|gränsvärdet]] av en [[Rules:Ändringskvot|ändringskvot]]:</translate>
 
[[Rules:Derivatans definition|Definitionen av derivatan]] i en punkt där $x=a,$ det vill säga $f'(a),$ är [[Begrepp:Gränsvärde|gränsvärdet]] av en [[Rules:Ändringskvot|ändringskvot]]:</translate>
−
\[
+
\gathered{f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.}
−
f'(a) = \lim \limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
 
−
\]
 
 
<translate><!--T:23-->
 
<translate><!--T:23-->
 
Genom att sätta in [[Begrepp:Funktionsvärde|funktionsvärdena]] $f(a+h)$ och $f(a)$ i täljaren och låta $h$ gå mot $0$ bestämmer man derivatans värde i $x=a.$</translate>
 
Genom att sätta in [[Begrepp:Funktionsvärde|funktionsvärdena]] $f(a+h)$ och $f(a)$ i täljaren och låta $h$ gå mot $0$ bestämmer man derivatans värde i $x=a.$</translate>
  
−
==<translate><!--T:24-->
+
==<translate><!--T:24--> Bestämning och tolkning av derivatans värde</translate>==
−
Bestämning och tolkning av derivatans värde</translate>==
 
 
<translate><!--T:25-->
 
<translate><!--T:25-->
 
För att bestämma derivatans värde i en [[Begrepp:Godtycklig|godtycklig]] punkt kan man t.ex.
 
För att bestämma derivatans värde i en [[Begrepp:Godtycklig|godtycklig]] punkt kan man t.ex.
−
*[[Metod:Beräkna derivatans värde med derivatans definition|använda derivatans definition]],  
+
* [[Metod:Beräkna derivatans värde med derivatans definition|använda derivatans definition]],  
−
*använda [[Memo:Deriveringsregler|deriveringsreglerna]] eller  
+
* använda [[Memo:Deriveringsregler|deriveringsreglerna]] eller  
−
*göra en [[Metod:Uppskatta derivata grafiskt|grafisk uppskattning]].  
+
* göra en [[Metod:Uppskatta derivata grafiskt|grafisk uppskattning]].  
 
Ibland kan värdet [[Misc:Derivata som modell|tolkas]] som en [[Begrepp:Förändringshastighet|momentan förändringshastighet]], dvs. hur något förändras vid ett visst tillfälle. Ofta vill man bestämma eventuella [[Begrepp:Extrempunkt|extrempunkter]] till en funktion och eftersom derivatan i sådana är $0$ kan man använda detta för att [[Metod:Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell|hitta extrempunkternas koordinater]].</translate>  
 
Ibland kan värdet [[Misc:Derivata som modell|tolkas]] som en [[Begrepp:Förändringshastighet|momentan förändringshastighet]], dvs. hur något förändras vid ett visst tillfälle. Ofta vill man bestämma eventuella [[Begrepp:Extrempunkt|extrempunkter]] till en funktion och eftersom derivatan i sådana är $0$ kan man använda detta för att [[Metod:Bestämma extrempunkter med derivata och teckentabell|hitta extrempunkternas koordinater]].</translate>  
  

Versionen från 5 maj 2025 kl. 18.07

Koncept

Derivata

Derivatan av en funktion i en viss punkt är samma sak som lutningen för den tangent som kan dras genom punkten. Om tangentens lutning är positiv är även derivatan positiv, är lutningen negativ är derivatan negativ och där tangenten har lutningen är derivatan

Förstagradsfunktionen har samma derivata, på hela grafen medan derivatans värde varierar för andragrads- och tredjegradsfunktionen. Punkter där derivatan är kallas för stationära punkter och dit hör förutom maximi- och minimipunkter även terrasspunkter. När man anger om den stationära punkten är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt säger man att man anger dess karaktär. Några vanliga beteckningar för derivatan av en funktion är förutom exempelvis och

Derivatans definition

Definitionen av derivatan i en punkt där det vill säga är gränsvärdet av en ändringskvot:
Genom att sätta in funktionsvärdena och i täljaren och låta gå mot bestämmer man derivatans värde i

Bestämning och tolkning av derivatans värde

För att bestämma derivatans värde i en godtycklig punkt kan man t.ex.

Ibland kan värdet tolkas som en momentan förändringshastighet, dvs. hur något förändras vid ett visst tillfälle. Ofta vill man bestämma eventuella extrempunkter till en funktion och eftersom derivatan i sådana är kan man använda detta för att hitta extrempunkternas koordinater.

{{ grade.displayTitle }}
Laddar innehåll