Metod

Beräkna derivatans värde med derivatans definition

För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 i punkten där x=3x=3 kan man använda derivatans definition f(a)=limh0f(a+h)f(a)h, f'(a) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}, där aa är xx-värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För x=3x=3 får man alltså gränsvärdet f(3)=limh0f(3+h)f(3)h, f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}, som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta hh gå mot 0.0.

1

Beräkna f(a)f(a)

Först beräknar man täljarens andra term, f(3),f(3), genom att sätta in xx-värdet i funktionen.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
f(3)=32+23+5f({\color{#0000FF}{3}})={\color{#0000FF}{3}}^2+2\cdot{\color{#0000FF}{3}}+5
f(3)=9+6+5f(3)=9+6+5
f(3)=20f(3)=20

2

Bestäm f(a+h)f(a+h)

För att bestämma den första termen i täljaren, f(3+h),f(3+h), ersätter man xx med a+ha+h och förenklar. I det här fallet är det 3+h.3+h.

f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5
f(3+h)=(3+h)2+2(3+h)+5f({\color{#0000FF}{3+h}})=({\color{#0000FF}{3+h}})^2+2({\color{#0000FF}{3+h}})+5
f(3+h)=32+23h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=3^2+2\cdot3\cdot h+h^2+2(3+h)+5
f(3+h)=9+6h+h2+2(3+h)+5f(3+h)=9+6h+h^2+2(3+h)+5
f(3+h)=9+6h+h2+6+2h+5f(3+h)=9+6h+h^2+6+2h+5
f(3+h)=h2+8h+20f(3+h)=h^2+8h+20

3

Förenkla ändringskvoten

Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.

f(3+h)f(3)h\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
h2+8h+2020h\dfrac{{\color{#0000FF}{h^2+8h+20}}-{\color{#009600}{20}}}{h}
h2+8hh\dfrac{h^2+8h}{h}
h(h+8)h\dfrac{h(h+8)}{h}
h+8h+8

Ändringskvoten kan förenklas till h+8.h+8.

4

Låt hh gå mot 00

Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter hh gå mot 0.0.

f(3)=limh0f(3+h)f(3)hf'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}
f(3)=limh0(h+8)f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}(h+8)
f(3)=8f'(3)=8

Derivatan för funktionen f(x)=x2+2x+5f(x)=x^2+2x+5 när x=3x=3 är alltså lika med 8.8.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}