body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

{{ article.displayTitle }}

Sida {{ slide.slideNumber }} av {{ article.intro.bblockCount }}

← Derivatans definition

Metod

Beräkna derivatans värde med derivatans definition

För att bestämma derivatan för t.ex. funktionen

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

i punkten där

x = 3

kan man använda derivatans definition

f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h},

där

a

är

x -

värdet i punkten man vill beräkna derivatan för. För

x = 3

får man alltså gränsvärdet

f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h},

som man bestämmer genom att beräkna varje term i täljaren för sig, förenkla ändringskvoten och till sist låta

h

gå mot

0 .

1

Beräkna

f (a)

Först beräknar man täljarens andra term, $f (3),$ genom att sätta in $x -$ värdet i funktionen.

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

$x = 3$

f (3) = 3^{2} + 2 \cdot 3 + 5

Beräkna potens & produkt

f (3) = 9 + 6 + 5

Addera termer

f (3) = 20

2

Bestäm

f (a + h)

För att bestämma den första termen i täljaren, $f (3 + h),$ ersätter man $x$ med $a + h$ och förenklar. I det här fallet är det $3 + h .$

f (x) = x^{2} + 2 x + 5

$x = 3 + h$

f (3 + h) = (3 + h)^{2} + 2 (3 + h) + 5

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f (3 + h) = 3^{2} + 2 \cdot 3 \cdot h + h^{2} + 2 (3 + h) + 5

Beräkna potens & produkt

f (3 + h) = 9 + 6 h + h^{2} + 2 (3 + h) + 5

Multiplicera in $2$

f (3 + h) = 9 + 6 h + h^{2} + 6 + 2 h + 5

Förenkla termer

f (3 + h) = h^{2} + 8 h + 20

3

Förenkla ändringskvoten

Nu kan man sätta in uttrycken och förenkla kvoten.

\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

$f (3 + h) = h^{2} + 8 h + 20$ och $f (3) = 20$

\frac{h ^{2} + 8 h + 2 0 - 2 0}{h}

Förenkla termer

\frac{h ^{2} + 8 h}{h}

Bryt ut $h$

\frac{h ( h + 8 )}{h}

Förenkla kvot

h + 8

Ändringskvoten kan förenklas till $h + 8 .$

4

Låt

h

gå mot

0

Slutligen beräknar man gränsvärdet, dvs. man sätter in den förenklade kvoten från förra steget och låter $h$ gå mot $0 .$

f^{'} (3) = h \to 0 lim \frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f^{'} (3) = h \to 0 lim (h + 8)

$h \to 0$

f^{'} (3) = 8

Derivatan för funktionen $f (x) = x^{2} + 2 x + 5$ när $x = 3$ är alltså lika med $8 .$

{{ grade.displayTitle }}

{{ article.displayTitle }}

{{ tocSubtitle }}

Laddar innehåll