{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
arrow_back
eKurser /
Matematik 7 /
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Det finns massor av unika verktyg som är gjorda för specifika syften. Linjaler används för att mäta avståndet mellan två punkter. Vågar används för att mäta vikten av föremål. Denna lektion kommer att presentera ett verktyg för att mäta vinklar samt nya klassificeringar av vinklar baserade på måtten. Följande ämnen kommer att presenteras senare.
  • Gradskiva
  • Mäta en vinkel med en gradskiva
  • Komplementvinklar
  • Supplementvinklar
  • Sidovinklar
  • Vertikalvinklar

Förkunskaper
Teori

Verktyg för att mäta vinklar

Måttet på en vinkel är antalet grader mellan strålarna och kan hittas med en gradskiva.

Koncept

Gradskiva

En gradskiva är ett verktyg som används för att mäta och rita vinklar. Gradskivan består av en halv cirkel och en rak kant. Den rundade delen är markerad i grader från till Denna mätskala används för att beskriva storleken av vinklar.

En gradskiva

Markeringen i mitten vid den raka kanten ska placeras precis vid vinkelns vinkelspets. På samma sätt ska den räta linjen på gradskivan läggas längs med en av vinkelns vinkelben.

En vinkel som mäts med hjälp av en gradskiva
Gradskivor används också för att mäta och rita vinklar i verkliga livet. Snickare använder dem till exempel ibland för att mäta vinklar när de ska såga i trä, för att säkerställa att bitarna passar ihop. Arkitekter använder dem ofta för att rita och kontrollera vinklar i olika designer och ritningar.
Teori

Mätning av en vinkel med en gradskiva

Gradskivan är ett användbart verktyg för att mäta vinklar noggrant, vilket ofta är viktigt när man ska lösa olika geometriska problem.

En vinkel
Det går att mäta vilken vinkel som helst med hjälp av följande process.
1
Anpassa gradskivans mittmarkering och baslinje
expand_more

Placera gradskivan så att vinkelspetsen hamnar precis vid mittmarkeringen. Vrid sedan gradskivan så att baslinjen ligger längs med ett av vinkelbenen.

Baslinjen av en gradskiva ligger längs med ett av vinkelbenen
2
Läs av värdet
expand_more

Notera riktningen som vinkeln är orienterad, antingen medurs eller moturs. I detta exempel ska vinkeln mätas moturs, med den inre skalan, eftersom vinkelbenet som hamnar på nollmarkeringen är på höger sida av gradskivan.

En vinkel som mäts moturs med en gradskiva

Läs sedan av vinkeln på gradskivan där det andra vinkelbenet korsar den inre skalan. I det här fallet hamnar det andra vinkelbenet på på den inre skalan, vilket betyder att vinkeln är

En vinkel med angivet värde, 145 grader

Observera att om gradskivan i stället placeras så att det andra vinkelbenet ligger längs med baslinjen så ska vinkeln mätas medurs, dvs. med den yttre skalan. Resultatet blir detsamma oavsett hur man mäter.

En vinkel som mäts medurs med en gradskiva
Övning

Mäta vinklar med en gradskiva

Mät hur stor vinkeln är med hjälp av en gradskiva. För enkelhetens skull är alla vinklar multiplar av I detta specifika fall kommer räta vinklar inte att ritas med kvadratiska vinkelbågar utan med runda.
Slumpmässiga vinklar

Extra

 Hur man använder applikationen
  • Gradskivan kan flyttas genom att klicka och dra i den röda triangeln.
  • Gradskivan kan roteras genom att dra i den blå pricken på vänster sida.
Teori

Speciella par av vinklar

Förutom att klassificera en vinkel baserat på dess mått, kan vinklar i par även grupperas i två typer beroende på summan av deras mått.

Koncept

Komplementvinklar

Två vinklar kallas för komplementvinklar när summan av dem är I den interaktiva bilden nedanför så är och komplementvinklar eftersom summan av dem är lika med
Applikation som visar två vinklar, vars summa är 90 grader
Om två komplementvinklar har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar varandra, så är vinkeln som bildas av de icke-gemensamma vinkelbenen en rät vinkel.
Två komplementvinklar ihopsatta så att de bildar en rät vinkel
Man kan också tänka tvärt om. Om två vinklar har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar varandra och tillsammans bildar en rät vinkel, då vet man att de två vinklarna är komplementära.
En rät vinkel som är indelad i två komplementvinklar
Notera att om två vinklar är komplementära så vet vi helt säkert att de är spetsiga vinklar. Annars skulle deras summa vara större än
Exempel

Identifiera komplementvinklar

Viktor och William diskuterar om komplementvinklarna i följande diagram.
En rätvinklig triangel med en linje inritad som går mellan hypotenusan och den räta vinkeln.
a Viktor säger att två par komplementvinklar kan identifieras utan att ens använda en gradskiva. William säger att endast ett par komplementvinklar kan identifieras utan att använda en gradskiva. Vem har rätt?
b Hur många par komplementvinklar finns det totalt i diagrammet?

Ledtråd
a Två vinklar är komplementvinklar om summan av dem är Observera att vid vinkelspetsen så finns det tre vinklar.
b Hitta värdena av de okända vinklarna och se vilka par av vinklar som har summan

Lösning
a Börja med att komma ihåg att ett par av vinklar är komplementvinklar om summan av dem är I bilden anges storleken av vinklarna och .
Notera att summan av dessa två vinklar är lika med
Detta innebär att vinklarna och är komplementvinklar. Det finns ingen annan vinkel i bilden som storleken är angiven för, men lägg märke till att det finns tre vinklar vid vinkelspetsen och en av dem är en rät vinkel.
En rätvinklig triangel med en linje inritad som går mellan hypotenusan och den räta vinkeln.
Vinklarna och har samma vinkelspets delar vinkelbenet överlappar inte varandra, och bildar tillsammans Detta innebär att summan av vinklarna och är lika med vinkeln
Eftersom är en rät vinkel så är den lika med Därför kan ersättas med på höger sida i ekvationen.
Summan av vinklarna och är alltså Det betyder att de är komplementvinklar. Inga fler vinklar kan jämföras eftersom deras storlekar är okända. Detta innebär att Viktor har rätt. Två par vinklar kan identifieras som komplementvinklar utan att använda en gradskiva!

Viktor har rätt.

b Med hjälp av en gradskiva, hitta värdet på de okända vinklarna.
En rätvinklig triangel med en linje inritad som går mellan hypotenusan och den räta vinkeln.
Jämför sedan alla möjliga par av vinklar. Paren som har summan är komplementvinklar. Notera att vinklarna och inte behöver jämföras eftersom de redan är större än eller lika med
Andra vinkeln Summan Komplementvinklar?

Ett nytt par av komplementvinklar dök upp, och Totalt finns det alltså tre par av komplementvinklar i bilden.

Teori

När summan av två vinklar är

Den andra typen av klassificering av par av vinklar är de vars mått summerar till

Koncept

Supplementvinklar

Två vinklar kallas för supplementvinklar när summan av dem är I den interaktiva bilden nedanför är och supplementvinklar eftersom summan av dem är
Applikation som visar två vinklar vars summa är 180
Om två vinklar har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar varandra och tillsammans bildar en rak vinkel, då vet man säkert att vinklarna är supplementvinklar.
Två supplementvinklar bildar en rak vinkel
Notera att om två vinklar är supplementvinklar, så måste vinklarna antingen vara räta vinklar båda två, eller så måste en vara spetsig och en trubbig.
Exempel

Datorskärmens lutning

Vissa studier rekommenderar att man lutar datorskärmen bakåt mellan och för bättre hållning och synfält för användaren.

En bärbar dator på ett bord. Den uppfällda skärmen bildar två vinklar mot bordet, en som är 110 grader, och en annan som är 2x+30 grader.
Vad är värdet på i bilden?

Ledtråd

Datorskärmen bildar två supplementvinklar med bordet.

Lösning

Notera att datorskärmen bildar två vinklar med bordet och dessa två vinklar bildar tillsammans en rak vinkel. Detta innebär att vinklarna är supplementvinklar.

En bärbar dator på ett bord. Den uppfällda skärmen bildar två vinklar mot bordet, en som är 110 grader, och en annan som är 2x+30 grader.
Därför vet vi att summan av dessa vinklar är
I bilden kan vi se att och Om vi sätter in dessa värden i ekvationen som vi skrev upp så kan vi lösa ut
SubstituteII

och

▼
Lös ut
AddTerms

Addera termerna

SubEqn

SubTerm

Subtrahera term

DivEqn

CalcQuot

Beräkna kvot

Värdet av är alltså
Teori

Vinkelrelationer baserade på positioner

Ett par vinklar kan också klassificeras i två typer enligt deras relativa positioner. Den första typen presenteras nedan.

Koncept

Sidovinklar

Ett par sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar. I bilden nedanför så är och sidovinklar, eftersom de har samma vinkelspets delar vinkelbenet inte överlappar, och deras summa är
Applikation som visar två vinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, inte överlappar, och vars summa är 180 grader
Notera att de icke-gemensamma vinkelbenen av vinklarna bildar en rät linje och därför bildar sidovinklarna tillsammans en rak vinkel.
Teori

Motsatta vinklar med samma vinkelspets

Den andra typen av vinklar är de som delar spetsen men är motsatta varandra.

Koncept

Vertikala vinklar

Två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor. I den interaktiva bilden nedanför finns två par av vertikala vinklar, och paren är markerade så att de har lika många markeringar i vinkelbågarna.
Två sträckor som korsar varandra, och fyra vinklar som bildas i korsningen
Notera att två vertikala vinklar alltid är lika stora.
Exempel

Vinklar som bildas av tre korsande linjer

I följande diagram finns tre skärande linjer och åtta vinklar markerade.

Tre korsande linjer och åtta vinklar
a Para ihop vertikalvinklarna.
b Vilka av följande par av vinklar bildar ett sidovinkelpar?

Ledtråd
a Två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor.
b Två sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben och inte överlappar.

Lösning
a Kom ihåg att två vinklar kallas för vertikala vinklar om de ligger på motsatta sidor av korsningen mellan två linjer eller sträckor. I den givna bilden finns det fyra vinklar vid varje korsning.
Tre korsande linjer och åtta vinklar
Vinklar som ligger mitt emot varandra delar vinkelspets. Med detta i åtanke kan man dra slutsatsen att och är vertikala vinklar. Samma resonemang kan användas för att hitta alla paren av vertikala vinklar.
Tre korsande linjer och åtta vinklar
b Det finns fyra krav för att två vinklar ska vara sidovinklar.
  • De måste vara supplementvinklar.
  • De måste ha samma vinkelspets.
  • De måste dela ett vinkelben.
  • De får inte överlappa varandra.

Notera att om två vinklar tillsammans bildar en rak linje så måste de vara supplementvinklar. Eftersom inga av vinklarna i bilden överlappar varandra så kan det fjärde villkoret ignoreras. Med allt detta i åtanke så kan de givna paren av vinklar undersökas.

och och och och och
Supplementvinklar? de bildar en rak linje de bildar en rak linje de bildar en rak linje
Delar vinkelspets?
Delar ett vinkelben?
Av de fem givna paren av vinklar så är det tre stycken som är sidovinklar.
Notera att från deluppgift A så vet vi att är och är vertikala vinklar. Det innebär att de inte kan vara sidovinklar också.
Exempel

Vinklar vid vägskälet

Vissa vinklar är markerade där de blå och gröna tunnelbanelinjerna korsar varandra.

Skärande linjer och några vinklar markerade
Vad är måtten på vinklarna och

Ledtråd

Vinkeln och bildar tillsammans en rät linje. Dessutom är vinkeln och motstående vinklar som bildas av korsningen mellan de blå och gröna tunnelbanelinjerna.

Lösning
Observera att vinkeln och tillsammans bildar en rak linje — de har samma vinkelspets, de delar en sida, och de överlappar inte. Dessa egenskaper innebär att de två vinklarna bildar ett sidovinkelpar och att de därför är supplementvinklar. Detta innebär att deras mått summerar till
Dessutom är vinkeln och motstående vinklar bildade av korsningen mellan de blå och gröna tunnelbanelinjerna. Detta innebär att dessa vinklar är vertikala vinklar och, eftersom vertikala vinklar alltid har samma mått, mäter
Övning

Beräkna värdet av i vinkeln

För var och en av de givna vinklarna, beräkna värdet av

Ett slumpmässigt par av vertikala, komplementära eller supplementära vinklar. Storleken på en av vinklarna är given och storleken på den andra efterfrågas.
Avslut

Mätning av vinklar

Att mäta vinklar är avgörande i många scenarier, som projektilrörelse. Vinkelmätningar är väsentliga för att beräkna projektilbanor och landningspunkter, vitala inom områden som rymdteknik. Detta är bara ett exempel där gradskivor spelar en viktig roll.

En gradskiva och en 60-graders vinkel

Varje vinkel kan mätas med en gradskiva, även de med mått större än I detta fall räcker det att mäta den motsatta vinkeln och subtrahera dess mått från

En gradskiva och en 200-graders vinkel

Att kunna mäta vinklar möjliggör gruppering av vinklade par i fyra typer, två beroende på summan av deras mått och de andra två beroende på deras relativa positioner.

Vinkelpar
Måttens summa Relativa positioner
Komplementvinklar Supplementvinklar Sidovinklar Vertikalvinklar
Vinklar vars mått sammanlagt blir Vinklar vars mått sammanlagt blir Vinklar vars icke-gemensamma sidor bildar en rak linje. Motsatta vinklar bildade av skärningen mellan två linjer eller linjesegment.
{{ grade.displayTitle }}
Laddar innehåll