body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 4 Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel 1

Trigonometriska ettan och additionsformler

Lektionen fokuserar på trigonometriska koncept, inklusive trigonometriska ettan, som är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1. Den förklarar också hur man kan använda trigonometriska ettan för att bestämma det andra värdet om man känner till sinus- eller cosinusvärdet för en vinkel. Sidan innehåller också information om additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus, och hur dessa kan användas för att förenkla och lösa olika matematiska problem. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Trigonometriska ettan och additionsformler

Sida av 5

En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.

Bevis

Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med $1 .$

Bevis

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1

Sambandet kan härledas med t.ex. cirkelns ekvation. Alla punkter

(x, y)

på randen till en cirkel med radien

r

och medelpunkten

(a, b)

uppfyller cirkelns ekvation:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .

Vad är denna ekvation för enhetscirkeln, dvs. cirkeln med radien

1

och medelpunkt i origo?

Man kan bestämma ekvationen genom att sätta in

r = 1,

a = 0

och

b = 0

i cirkelns ekvation.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 1^{2}

SimpPowTerm

Förenkla potens & termer

x^{2} + y^{2} = 1

Eftersom en punkt på enhetscirkeln kan definieras med sinus och cosinus kan man göra ersättningarna

x = cos (v)

och

y = sin (v)

i ekvationen.

(cos (v))^{2} + (sin (v))^{2} = 1

Det är vanligt att exponenterna skrivs innan argumentet. Då får man trigonometriska ettan på den form som är vanligast:

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1 .

Bestäm sinusvärdet med trigonometriska ettan

fullscreen

Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln $v,$ givet att cosinusvärdet för vinkeln är $0.87 .$ Svara exakt.

Visa Lösning

Vi ska alltså bestämma

sin (v)

givet att

cos (v) = 0.87 .

Till vår hjälp har vi trigonometriska ettan:

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1 .

Vi sätter nu in det kända cosinusvärdet i formeln och löser ut

sin (v) .

Kom ihåg att

cos^{2} (v)

är samma sak som

(cos (v))^{2} .

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1

Substitute

$cos (v) = 0.87$

sin^{2} (v) + 0.87^{2} = 1

UseCalc

Slå in på räknare

sin^{2} (v) + 0.7569 = 1

SubEqn

$VL - 0.7569 = HL - 0.7569$

sin^{2} (v) = 1 - 0.7569

SubTerm

Subtrahera term

sin^{2} (v) = 0.2431

SqrtEqn

$VL = HL$

sin (v) = \pm 0.2431

Eftersom vinkeln vi ska bestämma sinusvärdet för ligger ovanför

x -

axeln måste dess sinusvärde vara positivt, så vi förkastar det negativa värdet. Det innebär att sinusvärdet vi söker är

sin (v) = 0.2431 .

{"codehash":"93c2cdffc297f98cc67f3f1f8529fa60"}

Bestäm cosinusvärdet med additionsformeln för cosinus

fullscreen

Beräkna $cos (7 5^{\circ})$ genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.

Visa Lösning

För att dela upp argumentet $7 5^{\circ}$ i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

$v$ (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$. . .$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$. . .$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$. . .$

De enda standardvinklar som summeras till

7 5^{\circ}

är

3 0^{\circ}

och

4 5^{\circ} .

Med den uppdelningen kan

cos (7 5^{\circ})

skrivas om med additionsformeln för cosinus.

cos (7 5^{\circ})

WriteSum

Dela upp i termer

cos (3 0^{\circ} + 4 5^{\circ})

CosAdd

$cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)$

cos (3 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

Dessa sinus- och cosinusvärden kan vi hämta från tabellen.

cos (3 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{3}{2 2} - \frac{1}{2 2}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{3 - 1}{2 2}

Nu kan vi konstatera att

cos (7 5^{\circ}) = \frac{3 - 1}{2 2} .

Trigonometriska ettan och additionsformler

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Trigonometriska ettan och additionsformler

Trigonometriska ettan

Bevis

Exempel

Bestäm sinusvärdet med trigonometriska ettan

Exempel

Bestäm cosinusvärdet med additionsformeln för cosinus

Trigonometriska ettan och additionsformler

Rekommenderade uppgifter