11. Talbaser
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
11.
Talbaser
Innehållet handlar om konceptet talbaser inom matematik. Den förklarar hur olika talsystem fungerar, inklusive hur man omvandlar mellan olika baser som bas 10, bas 7, bas 12. Det finns exempel som illustrerar hur man kan konvertera tal mellan olika baser, och förklaringar av platsvärdena för siffrorna i olika baser. Sidan använder visuella hjälpmedel som bilder och tabeller för att göra koncepten mer begripliga. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer, särskilt de som vill förstå hur olika talsystem fungerar och hur man kan arbeta med dem.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 20 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Talbaser
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Positionssystemet naturliga tal
- Talbas
Förkunskaper
Teori
Dela
Rapportera fel
Positionssystemet - naturliga tal
Det är siffrans position, eller plats, som bestämmer hur mycket den är värd. Platsvärdet för en siffra blir tio gånger större när man rör sig ett steg åt vänster och tio gånger mindre när man rör sig ett steg åt höger. Det här systemet att skriva tal kallas därför för positionssystemet.
Teori
Dela
Rapportera fel
Talbaser
En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används 10-potenser. Exempelvis är talet 235 en summa av sådana:
där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet 235 i bas sex skrivs 235_\text{sex} och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal (6^0=1), andra siffran antalet sexor (6^1=6), tredje antalet sexor i kvadrat (6^2=36) osv.: \begin{gathered} {{\color{#4B7290}{2}}\,{\color{#933939}{3}}\,{\color{#A86400}{5}}}_\text{{\color{#9B40AA}{sex}}} = {\color{#4B7290}{2}} \cdot {\color{#9B40AA}{6}}^2 + {\color{#933939}{3}} \cdot {\color{#9B40AA}{6}}^1 + {\color{#A86400}{5}} \cdot {\color{#9B40AA}{6}}^0 = 95. \end{gathered} Talet 95 i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna 0--5. Behövs ett tal större än 5, kombineras flera siffror till ett nytt. Talet 6 skulle skrivas {\color{#4B7290}{10}}_\text{sex} eftersom det är uppbyggt av en sexa ( 1 * 6^1) och noll heltal ( 0 * 6^0). I tabellen nedan ska talet t.ex. 10 i bas sju tolkas som 10_\text{sju}, talet 13 i bas fem ska tolkas som 13_\text{fem}.
| Bas tio | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bas sju | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 10 |
| Bas fem | 1 | 2 | 3 | 4 | 10 | 11 | 12 |
| Bas tre | 1 | 2 | 10 | 11 | 12 | 20 | 21 |
| Bas två | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 |
Exempel
Dela
Rapportera fel
Konvertera tal till bas tio
Konvertera talet 2\,354_\text{sju} till bas tio.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tio)","answer":{"text":["872"]}}
Ledtråd
Bestäm platsvärdet för siffrorna i det givna numret. Siffran längst till höger motsvarar 7^0, nästa motsvarar 7^1 och så vidare.
Lösning
För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna. 2 3 5 4_(sju) Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet 7^0=1, nästa siffra har värdet 7^1=7, tredje har värdet 7^2=49 och den längst till vänster 7^3 = 343. Vi har alltså fyra 1:or, fem 7:or, tre 49:or och två 343:or. Vi sammanfattar detta i en tabell.
| Sjupotenser | 7^3 | 7^2 | 7^1 | 7^0 |
|---|---|---|---|---|
| Tal | 2 | 3 | 5 | 4 |
| Produkt | 2* 7^3 | 3* 7^2 | 5 * 7^1 | 4 * 7^0 |
| Summa | 2* 7^3 + 3* 7^2 + 5 * 7^1 + 4 * 7^0 | |||
Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.
2* 7^3 + 3* 7^2 + 5 * 7^1 + 4 * 7^0
CalcPow
Beräkna potens
2 * 343 + 3* 49 + 5 * 7 + 4 * 1
Multiply
Multiplicera faktorer
686 + 147 + 35 + 4
AddTerms
Addera termerna
872
Vi har alltså kommit fram till att \begin{gathered} 2\,354_\text{sju} = 872_\text{tio}. \end{gathered}
Exempel
Dela
Rapportera fel
Konvertera tal från bas tio
Konvertera talet 577 till bas fem.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(fem)","answer":{"text":["4302"]}}
Ledtråd
I bas fem har det högra talet platsvärdet 5^0, nästa siffra har platsvärdet 5^1, den därefter 5^2, och så vidare.
Lösning
För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet 5^0=1, nästa siffra har platsvärdet 5^1=5, den efter det 5^2=25 och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.
| Fempotens | 5^4 | 5^3 | 5^2 | 5^1 | 5^0 |
|---|---|---|---|---|---|
| Platsvärde | 625 | 125 | 25 | 5 | 1 |
Talet vi ska konvertera är 577, vilket är lägre än 625 men större än 125. Det betyder att talet kommer ha 4 siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar 577 med 125 för att se hur många 125 det får plats i talet. 577/125 = 4,616 Det finns 4 hela 125 i talet och en rest på 0,616 * 125 = 77. Första siffran från vänster är alltså 4 och vi delar resten med 25 för att få nästa siffra. 77/25 = 3,08 Andra siffran från vänster är 3 och nu har vi kvar 0,08 * 25 = 2. Det är mindre än 5 så tredje siffran blir 0, och den sista blir 2 eftersom vi har kvar 2 heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem: \begin{gathered} 577_\text{tio} = 4\,302_\text{fem}. \end{gathered}
Alternativ lösning
För att konvertera ett tal från bas 10 till bas 5, utförs divisioner med 5 tills kvoten som erhålls är lika med 0. Först divideras talet med 5. I denna division är det viktigt att identifiera kvoten och resten. 577/5 = 115,4 ⇓ 577 = 5* 115 + 2 Kvoten är 115 och resten är 2. Q_1 = 115 r_1 = 2 Nästa steg är att dividera den föregående kvoten med 5. Identifiera återigen kvoten och resten. cc 115/5 = 23 & ⇓ 115 = 5* 23 + 0 &⇒ Q_2 = 23 r_2 = 0 Nu dividerar du 23 med 5. cc 23/5 = 4,6 & ⇓ 23 = 5* 4 + 3 &⇒ Q_3 = 4 r_3 = 3 Slutligen dividerar du 4 med 5. cc 4/5 = 0,8 & ⇓ 4 = 5* 0 + 4 &⇒ Q_4 = 0 r_4 = 4 Den sista kvoten är 0, så processen avslutas här. Restarna, läst nedifrån och upp, bildar det konverterade talet. r_1 = 2 ↑ r_2 = 0 ↑ r_3 = 3 ↑ r_4 = 4 ↑ ⇒ 4 302_(fem) Därför är 577_(tio) lika med 4 302_(fem).
Exempel
Dela
Rapportera fel
Konvertera från hexadecimalt
Konvertera talet \text{B}2\text{F}_\text{sexton} till bas 10.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tio)","answer":{"text":["2863"]}}
Ledtråd
Den högra siffran har platsvärdet 16^0, nästa har värdet 16^1, och den tredje har 16^2. Observera att B står för 11 och F för 15.
Lösning
Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av 16. Första siffran från höger har platsvärdet 16^0 = 1, den andra har värdet 16^1=16 och den tredje har 16^2 = 256. Eftersom basen är högre än 10 finns det extra siffror representerade av bokstäver. B → 11 F → 15 Eftersom numret är B 2 F, vi har alltså elva 256:or, två stycken 16 och femton 1:or. Vi sammanfattar i en tabell.
| Sextonpotenser | 16^2 | 16^1 | 16^0 |
|---|---|---|---|
| Tal | B | 2 | F |
| Produkt | 11* 16^2 | 2 * 16^1 | 15 * 16^0 |
| Summa | 11* 16^2 + 2 * 16^1 + 15 * 16^0 | ||
Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.
11 * 16^2 + 2 * 16^1 + 15 * 16^0
CalcPow
Beräkna potens
11 * 256 + 2 * 16 + 15 * 1
Multiply
Multiplicera faktorer
2 816 + 32 + 15
AddTerms
Addera termerna
2 863
Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså \begin{gathered} \text{B}2\text{F}_\text{sexton} = 2\,863_\text{tio}. \end{gathered}
Talbaser
Uppgift 1.1
Skriv 312_(fem) i basen 10.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tio)","answer":{"text":["82"]}}
security
report
code
security
report
code
Talet 312_(fem) kan skrivas som en summa genom att multiplicera varje siffra med sitt platsvärde i potensform och addera produkterna.
| Fempotenser | 5^2 | 5^1 | 5^0 |
|---|---|---|---|
| Tal | 3 | 1 | 2 |
| Summa | 3* 5^2 + 1* 5^1 + 2 * 5^0 | ||
Genom att beräkna summan i sista raden skriver vi talet i bas 10.
I bas 10 skrivs talet som 82_(tio).
security
report
code
Nedanför syns ett antal femhörningar.
Skriv antalet femhörningar med följande bas.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(sju)","answer":{"text":["15"]}}
security
report
code
security
report
code
Bas 10 är det vi brukar räkna i, då talet 10 kommer efter siffran 9. Vi räknar upp hur många femhörningar vi har genom att passa in dem i rader med 10 platser i varje. Då täcker femhörningarna en hel rad och 2 platser till, så det finns totalt 10+2 = 12 femhörningar.
Eftersom 10 är den bas man normalt räknar i behöver man inte påpeka att vi använder basen 10 genom att skriva 12_(tio). Det är alltså underförstått att man räknar i bas 10 om man skriver 12.
Nu räknar vi i bas 7 istället. Då byter 10 innebörd. Nu är 10 talet efter 6, så siffrorna 7, 8 och 9 används inte. Vår rad blir alltså kortare, men vi har lika många femhörningar som innan.
Femhörningarna täcker nu en hel rad och 5 platser till, så räknat i bas 7 har vi 10 + 5 = 15 femhörningar. Det kan skrivas 15_(sju).
security
report
code
Skriv antalet hjärtan i basen två.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tv\u00e5)","answer":{"text":["101"]}}
security
report
code
security
report
code
Ett sätt att tolka figuren är att två hjärtan har placerats i första och andra raden och ett hjärta har placerats i tredje raden. Två fulla rader och 1 i rest skrivs som 101_(två).
Man kan också tolka figuren som 1 kolumn med 3 hjärtan och 2 i rest. Nu används basen 3, dvs. våra hjärtan har grupperats i tre med två hjärtan över. En full kolumn och 2 i rest skrivs som 12_(tre).
security
report
code
Vilka siffror är tillåtna när man använder basen sex?
{"type":"multichoice","form":{"alts":["0 ","1","2","3","4","5","6","7","8","9"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,1,2,3,4,5]}
security
report
code
security
report
code
Basen sex innebär att vi bygger tal med siffrorna 0, 1, 2, 3, 4 och 5, dvs. 6 siffror (därav basen 6). Siffrorna 6, 7, 8 och 9 kan alltså inte användas. Det betyder att när vi kommer till 5 slår räkningen över till 10.
security
report
code
Nedanför syns ett antal cirklar som placerats på en rad.
Skriv antalet cirklar med följande bas.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(fem)","answer":{"text":["22"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(elva)","answer":{"text":["11"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi lägger kulorna på rader som är fem kulor långa. 10 är talet efter 4, eftersom siffrorna 5, 6, 7, 8 och 9 inte får användas.
I bas fem har vi 10+10+2 = 22 kulor, eller 22_(fem).
I bas 10 används 10 siffror (0--9), i bas 8 används 8 siffror (0--7), så i bas 11 ska vi använda 11 siffror. Vi behöver alltså en ny, och då använder vi A som siffra efter 9. Sedan placerar vi talet 10 där 11 brukar vara.
Kulorna täcker nu en hel rad och sedan en plats till, så i bas 11 har vi 10 +1 =11 kulor. Vi skriver detta som 11_(elva).
security
report
code
Du har talet 421.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tio)","answer":{"text":["273"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"_(tio)","answer":{"text":["601"]}}
security
report
code
security
report
code
För ett tal skrivet i bas åtta representerar varje siffra 0--7 i talet antalet av en 8-potens. Siffran längst till höger anger hur många 8^0 som finns i talet, siffran till vänster om denna anger hur många 8^1 som finns, nästa hur många 8^2 och så vidare. I talet 421 finns det alltså en 8^0, två 8^1 och fyra 8^2.
| 8-potenser | 8^2 | 8^1 | 8^0 |
|---|---|---|---|
| Vårt tal | 4 | 2 | 1 |
Talet i bas tio får vi om vi beräknar summan av alla 8-potenser som finns i talet. Vi beräknar nu denna summa.
När basen är åtta blir talets värde alltså 273 i bas tio. Detta kan också skrivas som 421_\text{åtta} = 273_\text{tio}.
Vi tänker på samma sätt nu när basen är tolv. Vi har en 12^0, två 12^1 och fyra 12^2. Adderar vi dem får vi talet i bas tio.
| 12-potenser | 12^2 | 12^1 | 12^0 | |
|---|---|---|---|---|
| Vårt tal | 4 | 2 | 1 | |
| Summa | 4 * 12^2 + 2* 12^1 + 1 * 12^0 | |||
Vi beräknar nu denna summa.
När basen är tolv blir talets värde 601 i bas tio, vilket också kan skrivas 421_\text{tolv} = 601_\text{tio}.
security
report
code
Talbaser
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll