body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

1b

Kurs 1b Visa detaljer

11. Talbaser

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

13.

Talbaser

Innehållet handlar om konceptet talbaser inom matematik. Den förklarar hur olika talsystem fungerar, inklusive hur man omvandlar mellan olika baser som bas 10, bas 7, bas 12. Det finns exempel som illustrerar hur man kan konvertera tal mellan olika baser, och förklaringar av platsvärdena för siffrorna i olika baser. Sidan använder visuella hjälpmedel som bilder och tabeller för att göra koncepten mer begripliga. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer, särskilt de som vill förstå hur olika talsystem fungerar och hur man kan arbeta med dem.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Talbaser

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Positionssystemet naturliga tal
Talbas

Förkunskaper

Teori

Positionssystemet - naturliga tal

Det är siffrans position, eller plats, som bestämmer hur mycket den är värd. Platsvärdet för en siffra blir tio gånger större när man rör sig ett steg åt vänster och tio gånger mindre när man rör sig ett steg åt höger. Det här systemet att skriva tal kallas därför för positionssystemet.

I talet ovan ser man att siffran

7

finns med i två positioner. Den ena sjuan är värd

7

tusental

(7000)

och den andra

7

hundratal

(700) .

Teori

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används $10 -$ potenser. Exempelvis är talet $235$ en summa av sådana:

där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet

235

i bas sex skrivs

23 5_{sex}

och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal

(6^{0} = 1),

andra siffran antalet sexor

(6^{1} = 6),

tredje antalet sexor i kvadrat

(6^{2} = 36)

osv.:

235_{s e x} = 2 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6^{1} + 5 \cdot 6^{0} = 95 .

Talet

95

i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna

0 - 5 .

Behövs ett tal större än

5,

kombineras flera siffror till ett nytt. Talet

6

skulle skrivas

10_{sex}

eftersom det är uppbyggt av en sexa

(1 \cdot 6^{1})

och noll heltal

(0 \cdot 6^{0}) .

I tabellen nedan ska talet t.ex.

10

i bas sju tolkas som

1 0_{sju},

talet

13

i bas fem ska tolkas som

1 3_{fem} .

Bas tio	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Bas sju	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$
Bas fem	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$	$11$	$12$
Bas tre	$1$	$2$	$10$	$11$	$12$	$20$	$21$
Bas två	$1$	$10$	$11$	$100$	$101$	$110$	$111$

Två vanliga talbaser är

2

och

16,

som båda används i datorer. Att använda talbas

2

kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas

16

räknar man hexadecimalt. För talbas

16

och andra baser över

10

krävs det fler siffror än de vanliga

0 - 9,

och då brukar man använda bokstäver. A står då för

10,

B för

11

osv.

Exempel

Konvertera tal till bas tio

Konvertera talet

235 4_{sju}

till bas tio.

Ledtråd

Bestäm platsvärdet för siffrorna i det givna numret. Siffran längst till höger motsvarar $7^{0},$ nästa motsvarar $7^{1}$ och så vidare.

Lösning

För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna.

235 4_{sju}

Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet

7^{0} = 1,

nästa siffra har värdet

7^{1} = 7,

tredje har värdet

7^{2} = 49

och den längst till vänster

7^{3} = 343 .

Vi har alltså

fyra

1 : or,

fem

7 : or,

tre

49 : or

och

tv \overset{˚}{a}

343 : or .

Vi sammanfattar detta i en tabell.

Sjupotenser	$7^{3}$	$7^{2}$	$7^{1}$	$7^{0}$
Tal	$2$	$3$	$5$	$4$
Produkt	$2 \cdot 7^{3}$	$3 \cdot 7^{2}$	$5 \cdot 7^{1}$	$4 \cdot 7^{0}$
Summa	$2 \cdot 7^{3}$ $+$ $3 \cdot 7^{2}$ $+$ $5 \cdot 7^{1}$ $+$ $4 \cdot 7^{0}$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

2 \cdot 7^{3} + 3 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7^{1} + 4 \cdot 7^{0}

CalcPow

Beräkna potens

2 \cdot 343 + 3 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 1

Multiply

Multiplicera faktorer

686 + 147 + 35 + 4

AddTerms

Addera termer

872

Vi har alltså kommit fram till att

235 4_{sju} = 87 2_{tio} .

Exempel

Konvertera tal från bas tio

Konvertera talet

577

till bas fem.

Ledtråd

I bas fem har det högra talet platsvärdet $5^{0},$ nästa siffra har platsvärdet $5^{1},$ den därefter $5^{2},$ och så vidare.

Lösning

För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet $5^{0} = 1,$ nästa siffra har platsvärdet $5^{1} = 5,$ den efter det $5^{2} = 25$ och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.

Fempotens	$5^{4}$	$5^{3}$	$5^{2}$	$5^{1}$	$5^{0}$
Platsvärde	$625$	$125$	$25$	$5$	$1$

Talet vi ska konvertera är

577,

vilket är lägre än

625

men större än

125 .

Det betyder att talet kommer ha

4

siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar

577

med

125

för att se hur många

125

det får plats i talet.

\frac{5 7 7}{1 2 5} = 4, 616

Det finns

4

hela

125

i talet och en rest på

0, 616 \cdot 125 = 77 .

Första siffran från vänster är alltså

4

och vi delar resten med

25

för att få nästa siffra.

\frac{7 7}{2 5} = 3, 08

Andra siffran från vänster är

3

och nu har vi kvar

0, 08 \cdot 25 = 2 .

Det är mindre än

5

så tredje siffran blir

0,

och den sista blir

2

eftersom vi har kvar

2

heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem:

57 7_{tio} = 430 2_{fem} .

Alternativ lösning

För att konvertera ett tal från bas

10

till bas

5,

utförs divisioner med

5

tills kvoten som erhålls är lika med

0 .

Först divideras talet med

5 .

I denna division är det viktigt att identifiera kvoten och resten.

\frac{5 7 7}{5} = 115, 4 ⇓ 577 = 5 \cdot 115 + 2

Kvoten är

115

och resten är

2 .

{Q_{1} = 115 r_{1} = 2

Nästa steg är att dividera den föregående kvoten med

5 .

Identifiera återigen kvoten och resten.

\frac{1 1 5}{5} = 23 ⇓ 115 = 5 \cdot 23 + 0 \Rightarrow {Q_{2} = 23 r_{2} = 0

Nu dividerar du

23

med

5 .

\frac{2 3}{5} = 4, 6 ⇓ 23 = 5 \cdot 4 + 3 \Rightarrow {Q_{3} = 4 r_{3} = 3

Slutligen dividerar du

4

med

5 .

\frac{4}{5} = 0, 8 ⇓ 4 = 5 \cdot 0 + 4 \Rightarrow {Q_{4} = 0 r_{4} = 4

Den sista kvoten är

0,

så processen avslutas här. Restarna, läst nedifrån och upp, bildar det konverterade talet.

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ r_{1} = 2 ↑ r_{2} = 0 ↑ r_{3} = 3 ↑ r_{4} = 4 ↑ \Rightarrow 430 2_{fem}

Därför är

57 7_{tio}

lika med

430 2_{fem} .

Exempel

Konvertera från hexadecimalt

Konvertera talet

B 2 F_{sexton}

till bas

10 .

Ledtråd

Den högra siffran har platsvärdet $1 6^{0},$ nästa har värdet $1 6^{1},$ och den tredje har $1 6^{2} .$ Observera att B står för $11$ och F för $15 .$

Lösning

Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av

16 .

Första siffran från höger har platsvärdet

1 6^{0} = 1,

den andra har värdet

1 6^{1} = 16

och den tredje har

1 6^{2} = 256 .

Eftersom basen är högre än

10

finns det extra siffror representerade av bokstäver.

B \to 11 F \to 15

Eftersom numret är

B 2 F,

vi har alltså

elva

256 : or,

tv \overset{˚}{a}

stycken

16

och

femton

1 : or .

Vi sammanfattar i en tabell.

Sextonpotenser	$1 6^{2}$	$1 6^{1}$	$1 6^{0}$
Tal	$B$	$2$	$F$
Produkt	$11 \cdot 1 6^{2}$	$2 \cdot 1 6^{1}$	$15 \cdot 1 6^{0}$
Summa	$11 \cdot 1 6^{2}$ $+$ $2 \cdot 1 6^{1}$ $+$ $15 \cdot 1 6^{0}$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

11 \cdot 1 6^{2} + 2 \cdot 1 6^{1} + 15 \cdot 1 6^{0}

CalcPow

Beräkna potens

11 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 15 \cdot 1

Multiply

Multiplicera faktorer

2816 + 32 + 15

AddTerms

Addera termer

2863

Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså

B 2 F_{sexton} = 286 3_{tio} .

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Talbaser

Övningar

Skriv

31 2_{fem}

i basen

10 .

Talet 312_(fem) kan skrivas som en summa genom att multiplicera varje siffra med sitt platsvärde i potensform och addera produkterna.

Fempotenser	5^2	5^1	5^0
Tal	3	1	2
Summa	3* 5^2 + 1* 5^1 + 2 * 5^0

Genom att beräkna summan i sista raden skriver vi talet i bas 10.

I bas 10 skrivs talet som 82_(tio).

Nedanför syns ett antal femhörningar.

Skriv antalet femhörningar med följande bas.

Tio

Sju

Bas 10 är det vi brukar räkna i, då talet 10 kommer efter siffran 9. Vi räknar upp hur många femhörningar vi har genom att passa in dem i rader med 10 platser i varje. Då täcker femhörningarna en hel rad och 2 platser till, så det finns totalt 10+2 = 12 femhörningar.

Eftersom 10 är den bas man normalt räknar i behöver man inte påpeka att vi använder basen 10 genom att skriva 12_(tio). Det är alltså underförstått att man räknar i bas 10 om man skriver 12.

Nu räknar vi i bas 7 istället. Då byter 10 innebörd. Nu är 10 talet efter 6, så siffrorna 7, 8 och 9 används inte. Vår rad blir alltså kortare, men vi har lika många femhörningar som innan.

Femhörningarna täcker nu en hel rad och 5 platser till, så räknat i bas 7 har vi 10 + 5 = 15 femhörningar. Det kan skrivas 15_(sju).

Vilka siffror är tillåtna när man använder basen sex?

Basen sex innebär att vi bygger tal med siffrorna 0, 1, 2, 3, 4 och 5, dvs. 6 siffror (därav basen 6). Siffrorna 6, 7, 8 och 9 kan alltså inte användas. Det betyder att när vi kommer till 5 slår räkningen över till 10.

Nedanför syns ett antal cirklar som placerats på en rad.

Skriv antalet cirklar med följande bas.

Fem

Elva

Vi lägger kulorna på rader som är fem kulor långa. 10 är talet efter 4, eftersom siffrorna 5, 6, 7, 8 och 9 inte får användas.

I bas fem har vi 10+10+2 = 22 kulor, eller 22_(fem).

I bas 10 används 10 siffror (0--9), i bas 8 används 8 siffror (0--7), så i bas 11 ska vi använda 11 siffror. Vi behöver alltså en ny, och då använder vi A som siffra efter 9. Sedan placerar vi talet 10 där 11 brukar vara.

Kulorna täcker nu en hel rad och sedan en plats till, så i bas 11 har vi 10 +1 =11 kulor. Vi skriver detta som 11_(elva).

Nedanstående figur illustrerar talet $35$ i bas tio. Vi har alltså tre fulla rader som representerar tiotal $(1 0^{1})$ och en rad med $5$ som representerar ental $(1 0^{0}) .$

Använd en motsvarande illustration för att konvertera talet till det decimala talsystemet (bas tio).

2 2_{fem}

2 1_{tre}

Talet 22_(fem) kan tolkas som i bilden. Vi fyller två rader med fem prickar i varje rad, och får två över i sista raden.

Räknar man antalet prickar i bilden på "vanligt sätt" får man det till 12. Talet 22_(fem) är alltså lika med 12_(tio).

Bas tre betyder att varje rad får innehålla max tre prickar. Talet 21 innebär att vi har fyllt två rader med tre prickar och får en prick över.

Räknar vi antalet prickar får vi det till sju så 21_(tre) är lika med 7_(tio).

Du har talet $421 .$

Ange talets värde i bas tio om talet står i bas åtta.

Ange talets värde i bas tio om talet står i bas tolv.

För ett tal skrivet i bas åtta representerar varje siffra 0--7 i talet antalet av en 8-potens. Siffran längst till höger anger hur många 8^0 som finns i talet, siffran till vänster om denna anger hur många 8^1 som finns, nästa hur många 8^2 och så vidare. I talet 421 finns det alltså en 8^0, två 8^1 och fyra 8^2.

8-potenser	8^2	8^1	8^0
Vårt tal	4	2	1

Talet i bas tio får vi om vi beräknar summan av alla 8-potenser som finns i talet. Vi beräknar nu denna summa.

När basen är åtta blir talets värde alltså 273 i bas tio. Detta kan också skrivas som 421_\text{åtta} = 273_\text{tio}.

Vi tänker på samma sätt nu när basen är tolv. Vi har en 12^0, två 12^1 och fyra 12^2. Adderar vi dem får vi talet i bas tio.

12-potenser	12^2	12^1	12^0
Vårt tal	4	2	1
Summa	4 * 12^2 + 2* 12^1 + 1 * 12^0

Vi beräknar nu denna summa.

När basen är tolv blir talets värde 601 i bas tio, vilket också kan skrivas 421_\text{tolv} = 601_\text{tio}.

Talbaser

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.