Talbaser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Platsvärde

Varje siffra i ett tal är värt olika mycket, även om det är samma siffra. T.ex. är treorna i 3333 inte lika mycket värda, eftersom den vänstra står på tiotalsplatsen och den högra på entalsplatsen. Man säger att deras platsvärden är 1010 och 11. Platsvärdena kan användas för att skriva talet på så kallad utvecklad form: 310+31. 3\cdot 10+3\cdot 1.

Begrepp

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används 10-potenser. Exempelvis är talet 235 en summa av sådana: 235=2102+3101+5100==2100+310+51,\begin{aligned} {\color{#0000FF}{235}} &={\color{#0000FF}{2}} \cdot 10^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 10^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 10^0= \\ &=2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1, \end{aligned} där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet 235 i bas sex skrivs 235sex235_\text{sex} och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal (60=1)(6^0=1), andra siffran antalet sexor (61=6)(6^1=6), tredje antalet sexor i kvadrat (62=36)(6^2=36) osv.: 235sex=262+361+560=95. {\color{#0000FF}{235}}_\text{sex} = {\color{#0000FF}{2}} \cdot 6^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 6^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 6^0 = 95. Talet 95 i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna 05.0 - 5. Behövs ett tal större än 5, kombineras flera siffror till ett nytt. Talet 6 skulle skrivas 10sex{\color{#0000FF}{10}}_\text{sex} eftersom det är uppbyggt av en sexa (161{\color{#0000FF}{1}} \cdot 6^1) och noll heltal (060{\color{#0000FF}{0}} \cdot 6^0). I tabellen nedan ska talet t.ex. 10 i bas sju tolkas som 10sju10_\text{sju}, talet 13 i bas fem ska tolkas som 13fem.13_\text{fem}.

Bas tio 11 22 33 44 55 66 77
Bas sju 11 22 33 44 55 66 1010
Bas fem 11 22 33 44 1010 1111 1212
Bas tre 11 22 1010 1111 1212 2020 2121
Bas två 11 1010 1111 100100 101101 110110 111111
Två vanliga talbaser är 2 och 16, som båda används i datorer. Att använda talbas 2 kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas 16 räknar man hexadecimalt. För talbas 16 och andra baser över 10 krävs det fler siffror än de vanliga 09,0 - 9, och då brukar man använda bokstäver. A står då för 10, B för 11 osv.
Uppgift

Konvertera talet 2354sju2354_\text{sju} till bas tio.

Lösning

För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna. Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet 70=17^0=1, nästa siffra har värdet 71=77^1=7, tredje har värdet 72=497^2=49 och den längst till vänster 73=3437^3 = 343. Vi har alltså fyra 1:or, fem 7:or, tre 49:or och två 343:or. Vi sammanfattar detta i en tabell.

Sjupotenser 737^3 727^2 717^1 707^0
Tal 2{\color{#0000FF}{2}} 3{\color{#0000FF}{3}} 5{\color{#0000FF}{5}} 4{\color{#0000FF}{4}}
Summa 273{\color{#0000FF}{2}}\cdot 7^3 + 372{\color{#0000FF}{3}}\cdot 7^2 + 571{\color{#0000FF}{5}} \cdot 7^1 + 470{\color{#0000FF}{4}} \cdot 7^0

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

273+372+571+4702\cdot 7^3 + 3\cdot 7^2 + 5 \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^0
2343+349+57+412 \cdot 343 + 3\cdot 49 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 1
686+147+35+4686 + 147 + 35 + 4
872872

Vi har alltså kommit fram till att 2354sju=872tio. 2354_\text{sju} = 872_\text{tio}.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Konvertera talet 577 till bas fem.

Lösning

För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet 50=15^0=1, nästa siffra har platsvärdet 51=55^1=5, den efter det 52=255^2=25 och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.

Fempotens 545^4 535^3 525^2 515^1 505^0
Platsvärde 625625 125125 2525 55 11

Talet vi ska konvertera är 577, vilket är lägre än 625 men större än 125. Det betyder att talet kommer ha 4 siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar 577 med 125 för att se hur många 125 det får plats i talet. 577125=4.616 \dfrac{577}{125} = 4.616 Det finns 4 hela 125 i talet och en rest på 0.616125=770.616 \cdot 125 = 77. Första siffran från vänster är alltså 4 och vi delar resten med 25 för att få nästa siffra. 7725=3.08 \dfrac{77}{25} = 3.08 Andra siffran från vänster är 3 och nu har vi kvar 0.0825=20.08 \cdot 25 = 2. Det är mindre än 5 så tredje siffran blir 0, och den sista blir 2 eftersom vi har kvar 2 heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem: 577tio=4302fem. 577_\text{tio} = 4302_\text{fem}.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Konvertera talet B2Fsexton_\text{sexton} till bas 10.

Lösning

Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av 16. Första siffran från höger har platsvärdet 160=116^0 = 1, den andra har värdet 161=1616^1=16 och den tredje har 162=25616^2 = 256. Eftersom basen är högre än 10 finns det extra siffror representerade av bokstäver, där B står för 11 och F för 15. Vi har alltså elva 256:or, två stycken 16 och femton 1:or. Vi sammanfattar i en tabell.

Sextonpotenser 16216^2 16116^1 16016^0
Tal B\text{{\color{#0000FF}{B}}} 2{\color{#0000FF}{2}} F\text{{\color{#0000FF}{F}}}
Summa 11162{\color{#0000FF}{11}}\cdot 16^2 + 2161{\color{#0000FF}{2}} \cdot 16^1 + 15160{\color{#0000FF}{15}} \cdot 16^0

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

11162+2161+1516011 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0
11256+216+15111 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 15 \cdot 1
2816+32+152816 + 32 + 15
28632863

Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså B2Fsexton=2863tio. \text{B2F}_\text{sexton} = 2863_\text{tio}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv 312fem312_{\text{fem}} i basen 10.10.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanför syns ett antal femhörningar.

Talbaser2913.svg

Skriv antalet femhörningar med följande bas.

a

Tio

b

Sju

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka siffror är tillåtna när man använder följande baser?


a

Sex

b

Elva

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanför syns ett antal cirklar som placerats på en rad.

Talbaser2117.svg

Skriv antalet cirklar med följande baser.


a

Fem

b

Elva

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanstående figur illustrerar talet 3535 i bas tio. Vi har alltså tre fulla rader som representerar tiotal (10110^1) och en rad med 55 som representerar ental (10010^0).

Exercise69.svg

Använd en motsvarande illustration för att konvertera följande tal till det decimala talsystemet (bas tio).


a

22fem22_{\text{fem}}

b

21tre21_{\text{tre}}

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har talet 421.


a

Ange talets värde i bas tio om talet står i bas åtta.

b

Ange talets värde i bas tio om talet står i bas tolv.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Omvandla nedanstående tal till det decimala talsystemet.

a

111tva˚111_{\text{två}}

b

111tre111_{\text{tre}}

c

ABCsexton\text{ABC}_{\text{sexton}}

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanför syns ett antal kulor som har grupperats i rader för att beskriva det binära talsystemet upp till talet 1515 i det decimala talsystemet.

Exercise464 1.svg

Använd figuren och visa hur följande tal kan skrivas om från bas tio till det binära talsystemet.


a

8

b

5

c

15

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna produkten 10tva˚10tva˚10_\text{två} \cdot 10_\text{två}. Svara i bas två.

b

Beräkna produkten 100tva˚100tva˚100_\text{två} \cdot 100_\text{två}. Svara i bas två.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Informationsenheten byte som används i datorer består nästan alltid av 8 bitar, där en bit (eller siffra i det här fallet) antingen kan vara 00 eller 11 i det binära talsystemet.

a

Vilket är det största binära talet som man kan skriva med en byte? Svara i bas tio.

b

Hur många bitar behöver du för att skriva talet hundra binärt?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna bråket och svara i basen 10:10: 10sexton100fyra. \dfrac{10_{\text{sexton}}}{100_{\text{fyra}}}.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Talet 113113 är skrivet i bas 7.7. Skriv talet i bas 10.10. Redovisa din lösning.

Nationella provet HT16 1b/1c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tolka figuren och skriv antalet hjärtan med lämplig talbas.

Talbaser70 1.svg
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sista delen i ett telefonnummer har ersatts med ABC: 555 - 101ABC.555\text{ - }101\text{ABC}. För att knäcka koden får du ledtråden "Räkna tridecimalt." Vilket är numret?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En människas genetiska information lagras i DNA, som består av fyra olika nukleotider: adenin, cytosin, guanin och tymin. Dessa nukleotider sätts en efter den andra i en lång rad, och i ordningen lagras information. Man kan se detta som att den genetiska informationen är kodad i bas fyra, med de fyra siffrorna A, C, G och T.

a

Antag att nukleotiderna representerar siffror på följande sätt: A-0, C-1, G-2, T-3. Vilket tal i bas tio har då lagrats i sekvensen GATAC?

b

Det finns idéer om att använda DNA för datalagring. En nukleotid är 0.34 nm lång och det går att lagra ett tecken med fyra nukleotider. Hur lång DNA-sekvens behövs då för att lagra hela boken Sagan om ringen, som består av ungefär 2.5 miljoner tecken?

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du och en av dina kompisar, som är väldigt punktlig, ska plugga matematik om exakt 4949 minuter. I ett sms skriver din kompis att han kommer om 301301 minuter. Kort därefter skickar han ytterligare ett sms och förklarar att han räknar tid i en annan talbas än 10.10. Vilken talbas använder kompisen?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För det mesta använder man positiva talbaser, men det finns även negativa. Vad är talet 2357minus tio2357_\text{minus tio} skrivet i bas tio?

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna summan 23fyra+12tre23_{\text{fyra}}+12_{\text{tre}} och svara i bas fem genom att göra en grafisk lösning.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du ska besöka en kompis och hon har gett dig portkoden till sitt hus. Du slår in koden, 6341,6341, men dörren förblir låst. Du vet att koden ska vara fyra siffror och på knappsatsen finns siffrorna 09.0-9. Din kompis har den senaste tiden blivit lite smått besatt av talbaser så du misstänker att hon kan ha gett dig koden i en annan bas. Hur många fler koder måste du maximalt testa om så är fallet?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har rest till det mystiska landet "Seventh heaven". I landet har man valt att använda bas 7 i sitt penningssystem. Innan avresan växlade du pengar till "daler" som är deras valuta. Du har nu följande valörer av landets valuta i din plånbok.

Mynt 1 och 10
Sedlar 20 och 100


a

Hur mycket är de olika mynten och sedlarna värda i svenska kronor?

b

Utgå från att varorna kostar lika mycket i det nya landet som hemma i Sverige samt att 1 daler är lika mycket värd som 1 krona. Vilka mynt och sedlar bör du använda om du vill lägga fram så höga valörer som möjligt, om du ska betala för något som i Sverige kostar 58 kr? Vad kostar varan i daler?

c

Utgå ifrån samma förutsättningar som i deluppgift b. Vilka mynt och sedlar bör du använda om du ska betala för något som i Sverige kostar 182 kr?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}