Talbaser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Platsvärde

Varje siffra i ett tal är värt olika mycket, även om det är samma siffra. T.ex. är treorna i 3333 inte lika mycket värda, eftersom den vänstra står på tiotalsplatsen och den högra på entalsplatsen. Man säger att deras platsvärden är 1010 och 11. Platsvärdena kan användas för att skriva talet på så kallad utvecklad form: 310+31. 3\cdot 10+3\cdot 1.

Begrepp

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används 10-potenser. Exempelvis är talet 235 en summa av sådana: 235=2102+3101+5100==2100+310+51,\begin{aligned} {\color{#0000FF}{235}} &={\color{#0000FF}{2}} \cdot 10^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 10^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 10^0= \\ &=2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1, \end{aligned} där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet 235 i bas sex skrivs 235sex235_\text{sex} och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal (60=1)(6^0=1), andra siffran antalet sexor (61=6)(6^1=6), tredje antalet sexor i kvadrat (62=36)(6^2=36) osv.: 235sex=262+361+560=95. {\color{#0000FF}{235}}_\text{sex} = {\color{#0000FF}{2}} \cdot 6^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 6^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 6^0 = 95. Talet 95 i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna 05.0 - 5. Behövs ett tal större än 5, kombineras flera siffror till ett nytt. Talet 6 skulle skrivas 10sex{\color{#0000FF}{10}}_\text{sex} eftersom det är uppbyggt av en sexa (161{\color{#0000FF}{1}} \cdot 6^1) och noll heltal (060{\color{#0000FF}{0}} \cdot 6^0). I tabellen nedan ska talet t.ex. 10 i bas sju tolkas som 10sju10_\text{sju}, talet 13 i bas fem ska tolkas som 13fem.13_\text{fem}.

Bas tio 11 22 33 44 55 66 77
Bas sju 11 22 33 44 55 66 1010
Bas fem 11 22 33 44 1010 1111 1212
Bas tre 11 22 1010 1111 1212 2020 2121
Bas två 11 1010 1111 100100 101101 110110 111111
Två vanliga talbaser är 2 och 16, som båda används i datorer. Att använda talbas 2 kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas 16 räknar man hexadecimalt. För talbas 16 och andra baser över 10 krävs det fler siffror än de vanliga 09,0 - 9, och då brukar man använda bokstäver. A står då för 10, B för 11 osv.
Uppgift

Konvertera talet 2354sju2354_\text{sju} till bas tio.

Lösning

För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna. Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet 70=17^0=1, nästa siffra har värdet 71=77^1=7, tredje har värdet 72=497^2=49 och den längst till vänster 73=3437^3 = 343. Vi har alltså fyra 1:or, fem 7:or, tre 49:or och två 343:or. Vi sammanfattar detta i en tabell.

Sjupotenser 737^3 727^2 717^1 707^0
Tal 2{\color{#0000FF}{2}} 3{\color{#0000FF}{3}} 5{\color{#0000FF}{5}} 4{\color{#0000FF}{4}}
Summa 273{\color{#0000FF}{2}}\cdot 7^3 + 372{\color{#0000FF}{3}}\cdot 7^2 + 571{\color{#0000FF}{5}} \cdot 7^1 + 470{\color{#0000FF}{4}} \cdot 7^0

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

273+372+571+4702\cdot 7^3 + 3\cdot 7^2 + 5 \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^0
2343+349+57+412 \cdot 343 + 3\cdot 49 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 1
686+147+35+4686 + 147 + 35 + 4
872872

Vi har alltså kommit fram till att 2354sju=872tio. 2354_\text{sju} = 872_\text{tio}.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Konvertera talet 577 till bas fem.

Lösning

För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet 50=15^0=1, nästa siffra har platsvärdet 51=55^1=5, den efter det 52=255^2=25 och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.

Fempotens 545^4 535^3 525^2 515^1 505^0
Platsvärde 625625 125125 2525 55 11

Talet vi ska konvertera är 577, vilket är lägre än 625 men större än 125. Det betyder att talet kommer ha 4 siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar 577 med 125 för att se hur många 125 det får plats i talet. 577125=4.616 \dfrac{577}{125} = 4.616 Det finns 4 hela 125 i talet och en rest på 0.616125=770.616 \cdot 125 = 77. Första siffran från vänster är alltså 4 och vi delar resten med 25 för att få nästa siffra. 7725=3.08 \dfrac{77}{25} = 3.08 Andra siffran från vänster är 3 och nu har vi kvar 0.0825=20.08 \cdot 25 = 2. Det är mindre än 5 så tredje siffran blir 0, och den sista blir 2 eftersom vi har kvar 2 heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem: 577tio=4302fem. 577_\text{tio} = 4302_\text{fem}.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Konvertera talet B2Fsexton_\text{sexton} till bas 10.

Lösning

Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av 16. Första siffran från höger har platsvärdet 160=116^0 = 1, den andra har värdet 161=1616^1=16 och den tredje har 162=25616^2 = 256. Eftersom basen är högre än 10 finns det extra siffror representerade av bokstäver, där B står för 11 och F för 15. Vi har alltså elva 256:or, två stycken 16 och femton 1:or. Vi sammanfattar i en tabell.

Sextonpotenser 16216^2 16116^1 16016^0
Tal B\text{{\color{#0000FF}{B}}} 2{\color{#0000FF}{2}} F\text{{\color{#0000FF}{F}}}
Summa 11162{\color{#0000FF}{11}}\cdot 16^2 + 2161{\color{#0000FF}{2}} \cdot 16^1 + 15160{\color{#0000FF}{15}} \cdot 16^0

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

11162+2161+1516011 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0
11256+216+15111 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 15 \cdot 1
2816+32+152816 + 32 + 15
28632863

Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså B2Fsexton=2863tio. \text{B2F}_\text{sexton} = 2863_\text{tio}.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}