Talbaser

Begrepp

Platsvärde

Varje siffra i ett tal är värt olika mycket, även om det är samma siffra. T.ex. är treorna i $33$ inte lika mycket värda, eftersom den vänstra står på tiotalsplatsen och den högra på entalsplatsen. Man säger att deras platsvärden är $10$ och $1$ . Platsvärdena kan användas för att skriva talet på så kallad utvecklad form: $3\cdot 10+3\cdot 1.$

Begrepp

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används 10-potenser. Exempelvis är talet 235 en summa av sådana: $\begin{aligned} {\color{#0000FF}{235}} &={\color{#0000FF}{2}} \cdot 10^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 10^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 10^0= \\ &=2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1, \end{aligned}$ där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet 235 i bas sex skrivs $235_\text{sex}$ och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal $(6^0=1)$ , andra siffran antalet sexor $(6^1=6)$ , tredje antalet sexor i kvadrat $(6^2=36)$ osv.: ${\color{#0000FF}{235}}_\text{sex} = {\color{#0000FF}{2}} \cdot 6^2 + {\color{#0000FF}{3}} \cdot 6^1 + {\color{#0000FF}{5}} \cdot 6^0 = 95.$ Talet 95 i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna $0 - 5.$ Behövs ett tal större än 5, kombineras flera siffror till ett nytt. Talet 6 skulle skrivas ${\color{#0000FF}{10}}_\text{sex}$ eftersom det är uppbyggt av en sexa ( ${\color{#0000FF}{1}} \cdot 6^1$ ) och noll heltal ( ${\color{#0000FF}{0}} \cdot 6^0$ ). I tabellen nedan ska talet t.ex. 10 i bas sju tolkas som $10_\text{sju}$ , talet 13 i bas fem ska tolkas som $13_\text{fem}.$

Bas tio	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Bas sju	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$
Bas fem	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$	$11$	$12$
Bas tre	$1$	$2$	$10$	$11$	$12$	$20$	$21$
Bas två	$1$	$10$	$11$	$100$	$101$	$110$	$111$

Två vanliga talbaser är 2 och 16, som båda används i datorer. Att använda talbas 2 kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas 16 räknar man hexadecimalt. För talbas 16 och andra baser över 10 krävs det fler siffror än de vanliga

0 - 9,

och då brukar man använda bokstäver. A står då för 10, B för 11 osv.

Konvertera tal till bas tio

Uppgift

Konvertera talet $2354_\text{sju}$ till bas tio.

Lösning

För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna. Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet $7^0=1$ , nästa siffra har värdet $7^1=7$ , tredje har värdet $7^2=49$ och den längst till vänster $7^3 = 343$ . Vi har alltså fyra 1:or, fem 7:or, tre 49:or och två 343:or. Vi sammanfattar detta i en tabell.

Sjupotenser	$7^3$	$7^2$	$7^1$	$7^0$
Tal	${\color{#0000FF}{2}}$	${\color{#0000FF}{3}}$	${\color{#0000FF}{5}}$	${\color{#0000FF}{4}}$
Summa	${\color{#0000FF}{2}}\cdot 7^3$ + ${\color{#0000FF}{3}}\cdot 7^2$ + ${\color{#0000FF}{5}} \cdot 7^1$ + ${\color{#0000FF}{4}} \cdot 7^0$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

2\cdot 7^3 + 3\cdot 7^2 + 5 \cdot 7^1 + 4 \cdot 7^0

Beräkna potens

2 \cdot 343 + 3\cdot 49 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 1

Multiplicera faktorer

686 + 147 + 35 + 4

Förenkla termer

872

Vi har alltså kommit fram till att $2354_\text{sju} = 872_\text{tio}.$

Visa lösning

Konvertera tal från bas tio

Uppgift

Konvertera talet 577 till bas fem.

Lösning

För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet $5^0=1$ , nästa siffra har platsvärdet $5^1=5$ , den efter det $5^2=25$ och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.

Fempotens	$5^4$	$5^3$	$5^2$	$5^1$	$5^0$
Platsvärde	$625$	$125$	$25$	$5$	$1$

Talet vi ska konvertera är 577, vilket är lägre än 625 men större än 125. Det betyder att talet kommer ha 4 siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar 577 med 125 för att se hur många 125 det får plats i talet. $\dfrac{577}{125} = 4.616$ Det finns 4 hela 125 i talet och en rest på $0.616 \cdot 125 = 77$ . Första siffran från vänster är alltså 4 och vi delar resten med 25 för att få nästa siffra. $\dfrac{77}{25} = 3.08$ Andra siffran från vänster är 3 och nu har vi kvar $0.08 \cdot 25 = 2$ . Det är mindre än 5 så tredje siffran blir 0, och den sista blir 2 eftersom vi har kvar 2 heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem: $577_\text{tio} = 4302_\text{fem}.$

Visa lösning

Konvertera från hexadecimalt

Uppgift

Konvertera talet B2F $_\text{sexton}$ till bas 10.

Lösning

Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av 16. Första siffran från höger har platsvärdet $16^0 = 1$ , den andra har värdet $16^1=16$ och den tredje har $16^2 = 256$ . Eftersom basen är högre än 10 finns det extra siffror representerade av bokstäver, där B står för 11 och F för 15. Vi har alltså elva 256:or, två stycken 16 och femton 1:or. Vi sammanfattar i en tabell.

Sextonpotenser	$16^2$	$16^1$	$16^0$
Tal	$\text{{\color{#0000FF}{B}}}$	${\color{#0000FF}{2}}$	$\text{{\color{#0000FF}{F}}}$
Summa	${\color{#0000FF}{11}}\cdot 16^2$ + ${\color{#0000FF}{2}} \cdot 16^1$ + ${\color{#0000FF}{15}} \cdot 16^0$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

11 \cdot 16^2 + 2 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0

Beräkna potens

11 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 15 \cdot 1

Multiplicera faktorer

2816 + 32 + 15

Förenkla termer

2863

Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså $\text{B2F}_\text{sexton} = 2863_\text{tio}.$

Visa lösning

Mynt	1 och 10
Sedlar	20 och 100

Talbaser

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Platsvärde

Talbaser

Exempel

Konvertera tal till bas tio

Exempel

Konvertera tal från bas tio

Exempel

Konvertera från hexadecimalt

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Aritmetik

Exempel

Konvertera tal till bas tio

Exempel

Konvertera tal från bas tio

Exempel

Konvertera från hexadecimalt

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}