body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1b

Kurs 1b Visa detaljer

Innehållsförteckning

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

13.

Talbaser

Innehållet handlar om konceptet talbaser inom matematik. Den förklarar hur olika talsystem fungerar, inklusive hur man omvandlar mellan olika baser som bas 10, bas 7, bas 12. Det finns exempel som illustrerar hur man kan konvertera tal mellan olika baser, och förklaringar av platsvärdena för siffrorna i olika baser. Sidan använder visuella hjälpmedel som bilder och tabeller för att göra koncepten mer begripliga. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar matematik på olika nivåer, särskilt de som vill förstå hur olika talsystem fungerar och hur man kan arbeta med dem.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Talbaser

Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Positionssystemet naturliga tal
Talbas

Förkunskaper

Teori

Positionssystemet - naturliga tal

Det är siffrans position, eller plats, som bestämmer hur mycket den är värd. Platsvärdet för en siffra blir tio gånger större när man rör sig ett steg åt vänster och tio gånger mindre när man rör sig ett steg åt höger. Det här systemet att skriva tal kallas därför för positionssystemet.

Platsvärden

I talet ovan ser man att siffran

7

finns med i två positioner. Den ena sjuan är värd

7

tusental

(7000)

och den andra

7

hundratal

(700) .

Teori

Talbaser

En talbas anger hur man ska tolka platsvärdet på en siffra i ett tal. I bas tio, som används i vårt vanliga decimala talsystem, används $10 -$ potenser. Exempelvis är talet $235$ en summa av sådana:

235 = 2*10^2 + 3*10^1 + 5*10^0

där siffrorna i talet anger hur många det finns av varje potens. Människor använder bas tio eftersom vi har tio fingrar, men t.ex. myror skulle kunna räkna baserat på deras antal ben, alltså i talbas sex. Talet

235

i bas sex skrivs

23 5_{sex}

och är uppbyggt av sexpotenser. Första siffran från höger anger antalet heltal

(6^{0} = 1),

andra siffran antalet sexor

(6^{1} = 6),

tredje antalet sexor i kvadrat

(6^{2} = 36)

osv.:

235_{s e x} = 2 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6^{1} + 5 \cdot 6^{0} = 95 .

Talet

95

i uträkningen antas vara skrivet i bas tio, eftersom inget annat anges. Lägg märke till att man i bas sex bara får man bara använda siffrorna

0 - 5 .

Behövs ett tal större än

5,

kombineras flera siffror till ett nytt. Talet

6

skulle skrivas

10_{sex}

eftersom det är uppbyggt av en sexa

(1 \cdot 6^{1})

och noll heltal

(0 \cdot 6^{0}) .

I tabellen nedan ska talet t.ex.

10

i bas sju tolkas som

1 0_{sju},

talet

13

i bas fem ska tolkas som

1 3_{fem} .

Bas tio	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Bas sju	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$
Bas fem	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$	$11$	$12$
Bas tre	$1$	$2$	$10$	$11$	$12$	$20$	$21$
Bas två	$1$	$10$	$11$	$100$	$101$	$110$	$111$

Två vanliga talbaser är

2

och

16,

som båda används i datorer. Att använda talbas

2

kallas att man räknar binärt och då finns det bara ettor och nollor. Används talbas

16

räknar man hexadecimalt. För talbas

16

och andra baser över

10

krävs det fler siffror än de vanliga

0 - 9,

och då brukar man använda bokstäver. A står då för

10,

B för

11

osv.

Exempel

Konvertera tal till bas tio

Konvertera talet

235 4_{sju}

till bas tio.

Ledtråd

Bestäm platsvärdet för siffrorna i det givna numret. Siffran längst till höger motsvarar $7^{0},$ nästa motsvarar $7^{1}$ och så vidare.

Lösning

För att konvertera från en annan bas till bas tio måste man börja med att bestämma platsvärdet för de olika siffrorna.

235 4_{sju}

Talet är skrivet i bas sju, vilket innebär att siffran längst till höger har platsvärdet

7^{0} = 1,

nästa siffra har värdet

7^{1} = 7,

tredje har värdet

7^{2} = 49

och den längst till vänster

7^{3} = 343 .

Vi har alltså

fyra

1 : or,

fem

7 : or,

tre

49 : or

och

tv \overset{˚}{a}

343 : or .

Vi sammanfattar detta i en tabell.

Sjupotenser	$7^{3}$	$7^{2}$	$7^{1}$	$7^{0}$
Tal	$2$	$3$	$5$	$4$
Produkt	$2 \cdot 7^{3}$	$3 \cdot 7^{2}$	$5 \cdot 7^{1}$	$4 \cdot 7^{0}$
Summa	$2 \cdot 7^{3}$ $+$ $3 \cdot 7^{2}$ $+$ $5 \cdot 7^{1}$ $+$ $4 \cdot 7^{0}$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

2 \cdot 7^{3} + 3 \cdot 7^{2} + 5 \cdot 7^{1} + 4 \cdot 7^{0}

Beräkna potens

2 \cdot 343 + 3 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 4 \cdot 1

Multiplicera faktorer

686 + 147 + 35 + 4

Addera termer

872

Vi har alltså kommit fram till att

235 4_{sju} = 87 2_{tio} .

Exempel

Konvertera tal från bas tio

Konvertera talet

577

till bas fem.

Ledtråd

I bas fem har det högra talet platsvärdet $5^{0},$ nästa siffra har platsvärdet $5^{1},$ den därefter $5^{2},$ och så vidare.

Lösning

För att konvertera från bas tio till en annan bas måste man först undersöka vad platsvärdet är för siffrorna i ett sådant tal. I bas fem har siffran längst till höger platsvärdet $5^{0} = 1,$ nästa siffra har platsvärdet $5^{1} = 5,$ den efter det $5^{2} = 25$ och så vidare. Vi skapar en tabell med de olika värdena.

Fempotens	$5^{4}$	$5^{3}$	$5^{2}$	$5^{1}$	$5^{0}$
Platsvärde	$625$	$125$	$25$	$5$	$1$

Talet vi ska konvertera är

577,

vilket är lägre än

625

men större än

125 .

Det betyder att talet kommer ha

4

siffror i bas fem. Vi börjar från vänster och delar

577

med

125

för att se hur många

125

det får plats i talet.

\frac{5 7 7}{1 2 5} = 4, 616

Det finns

4

hela

125

i talet och en rest på

0, 616 \cdot 125 = 77 .

Första siffran från vänster är alltså

4

och vi delar resten med

25

för att få nästa siffra.

\frac{7 7}{2 5} = 3, 08

Andra siffran från vänster är

3

och nu har vi kvar

0, 08 \cdot 25 = 2 .

Det är mindre än

5

så tredje siffran blir

0,

och den sista blir

2

eftersom vi har kvar

2

heltal. Sätter vi dessa siffror efter varandra kan vi skriva talet i bas fem:

57 7_{tio} = 430 2_{fem} .

Alternativ lösning

För att konvertera ett tal från bas

10

till bas

5,

utförs divisioner med

5

tills kvoten som erhålls är lika med

0 .

Först divideras talet med

5 .

I denna division är det viktigt att identifiera kvoten och resten.

\frac{5 7 7}{5} = 115, 4 ⇓ 577 = 5 \cdot 115 + 2

Kvoten är

115

och resten är

2 .

{Q_{1} = 115 r_{1} = 2

Nästa steg är att dividera den föregående kvoten med

5 .

Identifiera återigen kvoten och resten.

\frac{1 1 5}{5} = 23 ⇓ 115 = 5 \cdot 23 + 0 \Rightarrow {Q_{2} = 23 r_{2} = 0

Nu dividerar du

23

med

5 .

\frac{2 3}{5} = 4, 6 ⇓ 23 = 5 \cdot 4 + 3 \Rightarrow {Q_{3} = 4 r_{3} = 3

Slutligen dividerar du

4

med

5 .

\frac{4}{5} = 0, 8 ⇓ 4 = 5 \cdot 0 + 4 \Rightarrow {Q_{4} = 0 r_{4} = 4

Den sista kvoten är

0,

så processen avslutas här. Restarna, läst nedifrån och upp, bildar det konverterade talet.

⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ r_{1} = 2 ↑ r_{2} = 0 ↑ r_{3} = 3 ↑ r_{4} = 4 ↑ \Rightarrow 430 2_{fem}

Därför är

57 7_{tio}

lika med

430 2_{fem} .

Exempel

Konvertera från hexadecimalt

Konvertera talet

B 2 F_{sexton}

till bas

10 .

Ledtråd

Den högra siffran har platsvärdet $1 6^{0},$ nästa har värdet $1 6^{1},$ och den tredje har $1 6^{2} .$ Observera att B står för $11$ och F för $15 .$

Lösning

Vi börjar med att bestämma platsvärdet för siffrorna i talet. Eftersom det är skrivet i bas sexton representerar siffrorna potenser av

16 .

Första siffran från höger har platsvärdet

1 6^{0} = 1,

den andra har värdet

1 6^{1} = 16

och den tredje har

1 6^{2} = 256 .

Eftersom basen är högre än

10

finns det extra siffror representerade av bokstäver.

B \to 11 F \to 15

Eftersom numret är

B 2 F,

vi har alltså

elva

256 : or,

tv \overset{˚}{a}

stycken

16

och

femton

1 : or .

Vi sammanfattar i en tabell.

Sextonpotenser	$1 6^{2}$	$1 6^{1}$	$1 6^{0}$
Tal	$B$	$2$	$F$
Produkt	$11 \cdot 1 6^{2}$	$2 \cdot 1 6^{1}$	$15 \cdot 1 6^{0}$
Summa	$11 \cdot 1 6^{2}$ $+$ $2 \cdot 1 6^{1}$ $+$ $15 \cdot 1 6^{0}$

Vi förenklar summan för att få talet skrivet i bas tio.

11 \cdot 1 6^{2} + 2 \cdot 1 6^{1} + 15 \cdot 1 6^{0}

Beräkna potens

11 \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 15 \cdot 1

Multiplicera faktorer

2816 + 32 + 15

Addera termer

2863

Vi har nu talet skrivet i bas tio, alltså

B 2 F_{sexton} = 286 3_{tio} .

Talbaser

Talbaser

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.