Talbaser: Konvertering av talsystem

Bas tio	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
Bas sju	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$10$
Bas fem	$1$	$2$	$3$	$4$	$10$	$11$	$12$
Bas tre	$1$	$2$	$10$	$11$	$12$	$20$	$21$
Bas två	$1$	$10$	$11$	$100$	$101$	$110$	$111$

Sjupotenser	$7^{3}$	$7^{2}$	$7^{1}$	$7^{0}$
Tal	$2$	$3$	$5$	$4$
Produkt	$2 \cdot 7^{3}$	$3 \cdot 7^{2}$	$5 \cdot 7^{1}$	$4 \cdot 7^{0}$
Summa	$2 \cdot 7^{3}$ $+$ $3 \cdot 7^{2}$ $+$ $5 \cdot 7^{1}$ $+$ $4 \cdot 7^{0}$

Fempotens	$5^{4}$	$5^{3}$	$5^{2}$	$5^{1}$	$5^{0}$
Platsvärde	$625$	$125$	$25$	$5$	$1$

Sextonpotenser	$1 6^{2}$	$1 6^{1}$	$1 6^{0}$
Tal	$B$	$2$	$F$
Produkt	$11 \cdot 1 6^{2}$	$2 \cdot 1 6^{1}$	$15 \cdot 1 6^{0}$
Summa	$11 \cdot 1 6^{2}$ $+$ $2 \cdot 1 6^{1}$ $+$ $15 \cdot 1 6^{0}$

Skriv antalet hjärtan i basen två.

Ett sätt att tolka figuren är att två hjärtan har placerats i första och andra raden och ett hjärta har placerats i tredje raden. Två fulla rader och 1 i rest skrivs som 101_(två).

Man kan också tolka figuren som 1 kolumn med 3 hjärtan och 2 i rest. Nu används basen 3, dvs. våra hjärtan har grupperats i tre med två hjärtan över. En full kolumn och 2 i rest skrivs som 12_(tre).

Sista delen i ett telefonnummer har ersatts med ABC.

555 - 101 ABC

För att knäcka koden får du ledtråden Räkna tridecimalt. Vilket är numret?

Siffrorna A, B och C anger 10, 11 och 12 i det tridecimala talsystemet.

Om vi utvecklar ABC_(tretton) får vi en summa som räknas om till bas 10. Observera då att vi ersätter A, B och C med sina siffermostvarigheter, dvs. 10, 11 och 12.

13-potenser	13^2	13^1	13^0
Vårt tal...	A	B	C
...i siffror	10	11	12
Summa	10* 13^2+ 11* 13^1+ 12* 13^0

Vi beräknar vad detta blir.

Skriver vi om ABC till bas 10 får vi 1 845. Telefonnumret är alltså 555 - 101 18 45.

En människas genetiska information lagras i DNA, som består av fyra olika nukleotider: adenin, cytosin, guanin och tymin. Dessa nukleotider sätts en efter den andra i en lång rad, och i ordningen lagras information. Man kan se detta som att den genetiska informationen är kodad i bas fyra, med de fyra siffrorna A, C, G och T.

Antag att nukleotiderna representerar siffror på följande sätt:

A - 0,

C - 1,

G - 2,

T - 3 .

Vilket tal i bas tio har då lagrats i sekvensen GATAC?

Det finns idéer om att använda DNA för datalagring. En nukleotid är

0, 34 nm

lång och det går att lagra ett tecken med fyra nukleotider. Hur lång DNA-sekvens behövs då för att lagra hela boken Sagan om ringen, som består av ungefär

2, 5

miljoner tecken?

Vi har sekvensen nukleotider GATAC, och baserat på informationen i uppgiften kan vi översätta bokstäverna till siffror som \begin{gathered} \text{GATAC} = 20\,301_\text{fyra}. \end{gathered} Vi omvandlar sedan detta tal till bas tio. Eftersom det är skrivet i bas fyra har siffrorna platsvärden som är potenser av 4, så första siffran från höger har platsvärdet 4^0, andra har värdet 4^1 osv. Vi multiplicerar siffrorna med sina platsvärden och summerar dem.

4-potenser	4^4	4^3	4^2	4^1	4^0
Vårt tal	2	0	3	0	1
Summa	2 * 4^4 + 0 * 4^3 + 3 * 4^2 + 0 * 4^1 + 1 * 4^0

Denna summa ger oss talet i bas tio. 2 * 4^4 + 0 * 4^3 + 3 * 4^2 + 0 * 4^1 + 1 * 4^0 = 561_(tio) Sekvensen nukleotider kodar alltså talet 561_(tio).

Vi börjar med att bestämma hur många nukleotider som behövs för att lagra hela boken. Det finns 2,5 miljoner tecken i Sagan om ringen, alltså 2,5 * 10^6 i grundpotensform. Det behövs fyra nukleotider för varje tecken, vilket innebär att vi behöver totalt 4 * 2.5 * 10^6 = 10^7 nukleotider. Varje nukleotid är 0,34nm lång, alltså 3,4 10^(- 10)m, vilket vi multiplicerar med antalet nukleotider för att få totala längd.

Den totala längden som behövs alltså 3,4 mm DNA. Jämförelsevis innehåller en vanlig människocell ungefär 2m DNA.

Du och en av dina kompisar, som är väldigt punktlig, ska plugga matematik om exakt

49

minuter. I ett sms skriver din kompis att han kommer om

301

minuter. Kort därefter skickar han ytterligare ett sms och förklarar att han räknar tid i en annan talbas än

10 .

Vilken talbas använder kompisen?

Vi kallar talbasen som kompisen använder för x. Eftersom han är väldigt punktlig antar vi att 49_(tio)=301_x. För att lösa ekvationen kan man fråga sig: Vad betyder basen x? När basen är x beskriver siffran längst till höger antalet x^0 i talet, nästa siffra är antalet x^1, nästa är antalet x^2, och så vidare. Utvecklar vi talet får vi följande.

x-potenser	x^2	x^1	x^0
Vårt tal	3	0	1
Summa	3* x^2+ 0* x^1+ 1 * x^0

Genom att förenkla summan kan vi beskriva talet i bas 10.

Frågan är nu vad x ska vara för att uttrycket ska bli 49. Vi prövar oss fram genom att öka x successivt.

x	3x^2 + 1	=
1	3 * 1^2 + 1	4
2	3 * 2^2 + 1	13
3	3 * 3^2 + 1	28
4	3 * 4^2 + 1	49

Basen x ska vara 4 för att 49_(tio) = 301_x.

Det går även att lösa uppgiften med en ekvation. Vi vet att 3x^2 +1 beskriver talet i bas 10. Vi vet även att det ska vara lika med 49, vilket ger oss en ekvation som x kan lösas ut ur.

Vi kan anta att talbasen är positiv, vilket innebär att talet är skrivet med talbas 4.

För det mesta använder man positiva talbaser, men det finns även negativa. Vad är talet

235 7_{minus tio}

skrivet i bas tio?

Negativa talbaser fungerar på samma sätt som positiva, med enda skillnaden att potenserna som siffrorna i talet beskriver har en negativ bas. För talbas minus tio anger alltså första siffran från höger antalet (- 10)^0, nästa siffran antalet (- 10)^1 och så vidare. Med hjälp av detta skriver vi 2\,357_\text{minus tio} i bas tio.

(- 10)-potenser	(- 10)^3	(- 10)^2	(- 10)^1	(- 10)^0
Vårt tal	2	3	5	7
Summa	2 * (- 10)^3 + 3 * (- 10)^2 + 5* (- 10)^1 + 7 * (- 10)^0

Vi kan nu förenkla uttrycket.

Svaret är alltså att 2\,357_\text{minus tio} = (- 1\,743)_\text{tio}.

Beräkna summan

2 3_{fyra} + 1 2_{tre}

och svara i bas fem genom att göra en grafisk lösning.

23_(fyra) kan visas som två rader med fyra cirklar i varje rad samt ytterligare en rad med tre cirklar. 12_(tre) kan vi rita som en rad med tre cirklar och ytterligare en rad med två cirklar.

När vi lägger ihop cirklarna bildar vi rader om fem cirklar för att representera ett tal skrivet i bas fem.

Nu har vi tre fulla rader (fem cirklar per rad) och en cirkel i den fjärde. Vi kan därför skriva talet som 31_(fem).

Du ska besöka en kompis och hon har gett dig portkoden till sitt hus. Du slår in koden, $6341,$ men dörren förblir låst. Du vet att koden ska vara fyra siffror och på knappsatsen finns siffrorna $0 - 9 .$

Din kompis har den senaste tiden blivit lite smått besatt av talbaser så du misstänker att hon kan ha gett dig koden i en annan bas. Hur många fler koder måste du maximalt testa om så är fallet?

Baserat på vad vi vet om koden kan vi avgöra vilka talbaser som är möjliga. Basen kan inte vara mindre än sju eftersom de baserna inte innehåller siffran 6, och den finns ju i koden. 6 341 Sedan vet vi också att koden ska ha fyra siffror, vilket innebär att det finns en övre gräns för vilken bas talet 6 341 kan vara skrivet i, eftersom det omvandlat till bas tio blir för långt. Om talet är skrivet i bas sju, åtta eller nio kan det bara bli kortare när det skrivs i bas tio, men om det är skrivet i bas elva eller högre kan det bli längre.

Vi blir tvungna att testa oss fram, och börjar med att anta att talet är skrivet i bas elva, alltså 6\,341_\text{elva}.

11-potenser	11^3	11^2	11^1	11^0
Vårt tal	6	3	4	1
Summa	6* 11^3+ 3* 11^2+ 4* 11^1+ 1* 11^0

Räknar vi ut summan får vi 6\,341_\text{elva} = 8\,394_\text{tio}, alltså fyra siffror. Vi fortsätter med bas tolv.

12-potenser	12^3	12^2	12^1	11^0
Vårt tal	6	3	4	1
Summa	6* 12^3+ 3* 12^2+ 4* 12^1+ 1* 12^0

Räknar vi ut summan får vi 6\,341_\text{tolv} = 10\,849_\text{tio}, alltså fem siffror. Talet kan alltså inte vara skrivet i bas tolv eller högre. Då är de enda alternativen bas sju, åtta, nio, tio och elva. Vi har redan testat bas tio, så då finns det bara fyra koder kvar att testa.

Du har rest till det mystiska landet Seventh heaven. I landet har man valt att använda bas $7$ i sitt penningssystem. Innan avresan växlade du pengar till daler som är deras valuta. Du har nu följande valörer av landets valuta i din plånbok.

Mynt	$1$ och $10$
Sedlar	$20$ och $100$

Fyll i följande tabell för att avgöra hur mycket de olika mynten och sedlarna är värda i svenska kronor.

Daler	Värde i kronor
$100$	A
$20$	B
$10$	C
$1$	D

Utgå från att varorna kostar lika mycket i det nya landet som hemma i Sverige samt att

1

daler är lika mycket värd som

1

krona. Vilka mynt och sedlar bör du använda om du vill lägga fram så höga valörer som möjligt, om du ska betala för något som i Sverige kostar

58 kr ?

Utgå ifrån samma förutsättningar som i deluppgift b. Vilka mynt och sedlar bör du använda om du ska betala för något som i Sverige kostar

182 kr ?

En daler är lika värd som 1 krona. 1_(sju)& ⇓ & 1* 7^0 &= 1_(tio)

10-daler

Bas tio innebär att vi använder tio siffror (0--9). Har vi tio enkronor är summan av dessa lika mycket värd som en tiokrona.

När basen är sju byter 10 innebörd, som vi ser i tabellen nedan.

7-potenser	7^2	7^1	7^0
Mynt		1	0
Summa	1 * 7^1+ 0 * 7^0=7

Sju endaler är därmed lika mycket värt som en av landets tiodaler, dvs. 10_(sju)=7.

20-daler

Hur mycket är då 20 daler värt i bas tio? Vi gör samma liknelse. I Sverige är 10+10=20 enkronor lika mycket som 1 tjugolapp.

Vi beräknar värdet av 20-lappen i det mystiska landet med hjälp av tabellen.

7-potenser	7^2	7^1	7^0
Sedel		2	0
Summa	2 * 7^1+ 0 * 7^0=14

1 tjugodaler är alltså 7+7=14 endaler, dvs. 20_(sju)=14.

100-daler

När vi har 10* 10=100 enkronor är detta lika mycket värt som en hundralapp i Sverige. På samma sätt är 7* 7=49 endaler lika mycket värt som en hundradalerssedel, dvs. 100_(sju)=49.

7-potenser	7^2	7^1	7^0
Sedel	1	0	0
Summa	1 * 7^2+ 0 * 7^1+ 0 * 7^0=49

Vi har alltså kommit fram till följande omvandling mellan daler och kronor.

Daler	Värde i kronor
100	49
20	14
10	7
1	1

Vi ska betala för något som kostar 58kr med daler, och vi vill använda så stora valörer som möjligt. Vi testar oss fram systematiskt. Den största valören är värd 49kr, så vi börjar med en 100-daler. Då har vi 58-49=9kr kvar. Att lägga en 20-daler (värde 14kr) skulle bli för mycket, så vi lägger 1 tiodaler och 2 endaler (värde 7+2 = 9kr). Då har vi betalat hela summan, som blir 112 daler.

Nu ska vi betala för något som kostar 182kr. Med överslagsräkning ser vi att vi borde kunna lägga fram 3 st 100-dalerslappar, eftersom 3 * 49 ≈ 150, vilket är mindre än 182. Då har vi 182-3*49=35 kr kvar att betala. Detta löser vi med först 2 st 20-dalerslappar (värde 2 * 14=28kr), som ger 35-28=7kr kvar. Vi lägger till 1 st 10-dalersmynt, och sedan är vi klara. Vi har då betalat 350 daler.

Talbaser

Förkunskaper

Positionssystemet - naturliga tal

Talbaser

Konvertera tal till bas tio

Ledtråd

Lösning

Konvertera tal från bas tio

Ledtråd

Lösning

Alternativ lösning

Konvertera från hexadecimalt

Ledtråd

Lösning

10-daler

20-daler

100-daler

Talbaser

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	20 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.