Talbaser

Vi har sekvensen nukleotider GATAC, och baserat på informationen i uppgiften kan vi översätta bokstäverna till siffror som \begin{gathered} \text{GATAC} = 20\,301_\text{fyra}. \end{gathered} Vi omvandlar sedan detta tal till bas tio. Eftersom det är skrivet i bas fyra har siffrorna platsvärden som är potenser av 4, så första siffran från höger har platsvärdet 4^0, andra har värdet 4^1 osv. Vi multiplicerar siffrorna med sina platsvärden och summerar dem.

Denna summa ger oss talet i bas tio. 2 * 4^4 + 0 * 4^3 + 3 * 4^2 + 0 * 4^1 + 1 * 4^0 = 561_(tio) Sekvensen nukleotider kodar alltså talet 561_(tio).

Vi börjar med att bestämma hur många nukleotider som behövs för att lagra hela boken. Det finns 2,5 miljoner tecken i Sagan om ringen, alltså 2,5 * 10^6 i grundpotensform. Det behövs fyra nukleotider för varje tecken, vilket innebär att vi behöver totalt 4 * 2.5 * 10^6 = 10^7 nukleotider. Varje nukleotid är 0,34nm lång, alltså 3,4 10^(- 10)m, vilket vi multiplicerar med antalet nukleotider för att få totala längd.

Den totala längden som behövs alltså 3,4 mm DNA. Jämförelsevis innehåller en vanlig människocell ungefär 2m DNA.

Vi kallar talbasen som kompisen använder för x. Eftersom han är väldigt punktlig antar vi att 49_(tio)=301_x. För att lösa ekvationen kan man fråga sig: Vad betyder basen x? När basen är x beskriver siffran längst till höger antalet x^0 i talet, nästa siffra är antalet x^1, nästa är antalet x^2, och så vidare. Utvecklar vi talet får vi följande.

Genom att förenkla summan kan vi beskriva talet i bas 10.

Frågan är nu vad x ska vara för att uttrycket ska bli 49. Vi prövar oss fram genom att öka x successivt.

Basen x ska vara 4 för att 49_(tio) = 301_x.

Det går även att lösa uppgiften med en ekvation. Vi vet att 3x^2 +1 beskriver talet i bas 10. Vi vet även att det ska vara lika med 49, vilket ger oss en ekvation som x kan lösas ut ur.

Vi kan anta att talbasen är positiv, vilket innebär att talet är skrivet med talbas 4.

Talet 22_(fem) kan tolkas som i bilden. Vi fyller två rader med fem prickar i varje rad, och får två över i sista raden.

Räknar man antalet prickar i bilden på "vanligt sätt" får man det till 12. Talet 22_(fem) är alltså lika med 12_(tio).

Bas tre betyder att varje rad får innehålla max tre prickar. Talet 21 innebär att vi har fyllt två rader med tre prickar och får en prick över.

Räknar vi antalet prickar får vi det till sju så 21_(tre) är lika med 7_(tio).

För binära tal, alltså tal skrivna i bas två, har första siffran från höger platsvärdet 2^0 = 1, nästa siffra har värdet 2^1 = 2 och siffran efter den har värdet 2^2 = 4. Det betyder att talet 10_\text{två} kan skrivas i bas tio som 1 * 2 + 0 * 1, vilket är lika med 2. Då får vi \begin{gathered} 10_\text{två} \times 10_\text{två} = 2_\text{tio} \cdot 2_\text{tio} = 4_\text{tio}. \end{gathered} Nu vet vi dock att den tredje siffran från höger i ett binärt tal har platsvärdet 2^2=4, vilket innebär att produkten av de två talen kan skrivas som 100_\text{två}. Svaret är alltså \begin{gathered} 10_\text{två} \times 10_\text{två} = 100_\text{två}. \end{gathered} Multiplikation av tal som består av en etta följt av nollor fungerar alltså precis likadant som i bas tio.

Vi använder vad vi har lärt oss från förra deluppgiften. I bas tio är 100 * 100 = 10 000 och det stämmer även i bas två. Svaret är alltså \begin{gathered} 100_\text{två} \times 100_\text{två} = 10\,000_\text{två}. \end{gathered} Vi kan vi bekräfta detta genom att konvertera vänsterledet och högerledet till bas tio. Från tidigare vet vi att 100_\text{två} = 4_\text{tio}, vilket innebär att vänsterledet är lika med 4_\text{tio} \cdot 4_\text{tio} = 16_\text{tio}. Den femte siffran från höger i ett binärt tal har platsvärdet 2^4 = 16, vilket innebär att 16_\text{tio} = 10\,000_\text{två}, precis vad vi väntade oss. Svaret är alltså 10\,000_\text{två}.

Negativa talbaser fungerar på samma sätt som positiva, med enda skillnaden att potenserna som siffrorna i talet beskriver har en negativ bas. För talbas minus tio anger alltså första siffran från höger antalet (- 10)^0, nästa siffran antalet (- 10)^1 och så vidare. Med hjälp av detta skriver vi 2\,357_\text{minus tio} i bas tio.

Vi kan nu förenkla uttrycket.

Svaret är alltså att 2\,357_\text{minus tio} = (- 1\,743)_\text{tio}.

23_(fyra) kan visas som två rader med fyra cirklar i varje rad samt ytterligare en rad med tre cirklar. 12_(tre) kan vi rita som en rad med tre cirklar och ytterligare en rad med två cirklar.

När vi lägger ihop cirklarna bildar vi rader om fem cirklar för att representera ett tal skrivet i bas fem.

Nu har vi tre fulla rader (fem cirklar per rad) och en cirkel i den fjärde. Vi kan därför skriva talet som 31_(fem).

En daler är lika värd som 1 krona. 1_(sju)& ⇓ & 1* 7^0 &= 1_(tio)

10-daler

Bas tio innebär att vi använder tio siffror (0--9). Har vi tio enkronor är summan av dessa lika mycket värd som en tiokrona.

När basen är sju byter 10 innebörd, som vi ser i tabellen nedan.

Sju endaler är därmed lika mycket värt som en av landets tiodaler, dvs. 10_(sju)=7.

20-daler

Hur mycket är då 20 daler värt i bas tio? Vi gör samma liknelse. I Sverige är 10+10=20 enkronor lika mycket som 1 tjugolapp.

Vi beräknar värdet av 20-lappen i det mystiska landet med hjälp av tabellen.

1 tjugodaler är alltså 7+7=14 endaler, dvs. 20_(sju)=14.

100-daler

När vi har 10* 10=100 enkronor är detta lika mycket värt som en hundralapp i Sverige. På samma sätt är 7* 7=49 endaler lika mycket värt som en hundradalerssedel, dvs. 100_(sju)=49.

Vi har alltså kommit fram till följande omvandling mellan daler och kronor.

Vi ska betala för något som kostar 58kr med daler, och vi vill använda så stora valörer som möjligt. Vi testar oss fram systematiskt. Den största valören är värd 49kr, så vi börjar med en 100-daler. Då har vi 58-49=9kr kvar. Att lägga en 20-daler (värde 14kr) skulle bli för mycket, så vi lägger 1 tiodaler och 2 endaler (värde 7+2 = 9kr). Då har vi betalat hela summan, som blir 112 daler.

Nu ska vi betala för något som kostar 182kr. Med överslagsräkning ser vi att vi borde kunna lägga fram 3 st 100-dalerslappar, eftersom 3 * 49 ≈ 150, vilket är mindre än 182. Då har vi 182-3*49=35 kr kvar att betala. Detta löser vi med först 2 st 20-dalerslappar (värde 2 * 14=28kr), som ger 35-28=7kr kvar. Vi lägger till 1 st 10-dalersmynt, och sedan är vi klara. Vi har då betalat 350 daler.