Talbaser

För att lösa uppgiften börjar vi med att försöka fylla den översta raden med kulor. Kan vi fylla den helt har vi 1 grupp om 2^3. Räcker inte antalet kulor för att fylla raden går vi vidare till nästa rad och försöker fylla den helt. Vi gör detta tills samtliga kulor har en plats i figuren.

I översta raden har vi 8 platser så vi kan precis fylla den översta raden 1 gång. Men när vi fyllt den översta raden har vi inga kulor kvar. Vi får alltså noll kulor i övriga rader. Vi läser av talet i det blå fältet till 1 000_(två).

Vi använder samma procedur som i deluppgift A och försöker fylla raderna uppifrån och ned. 5 kulor är inte tillräckligt för att fylla den översta raden, så det blir noll kulor där. Men i nästa rad får 4 av våra kulor plats. Den sista kulan räcker inte för att fylla den näst sista raden (som har 2 kulor) helt, så vi får placera den i sista raden istället.

Vi läser av talet i det blå fältet till 101_(två).

Vi använder samma procedur som i deluppgift A och försöker fylla raderna uppifrån och ned. Nu har vi 15 kulor så vi kan definitivt fylla översta raden vilket innebär att vi får 7 kulor kvar. Vi kan även fylla nästa rad med 4 kulor och efter det har vi 3 kulor kvar. Vi fortsätter på detta sätt och får då följande figur.

Vi läser av talet i det blå fältet till 1 111_(två).

En byte innehåller alltså 8 platser som kan fyllas med antingen en nolla eller etta. För att maximera talet sätter vi alla bitar till 1. Vi får då ett tal som består av en summa av alla tvåpotenser från 2^0 till 2^7.

Det största binära talet vi kan skriva med en byte är alltså 255_\text{tio}.

Vi undersöker vilka tvåpotenser som ger större respektive mindre värde än 100.

Med hjälp av tvåpotenser upp till och med 2^6 kan man skriva tal upp till och med 127 dvs. 27 större än 100. Antalet bitar som behövs för att beskriva 100 är alltså de som representerar tvåpotenserna 2^0 till 2^6. De är 7 stycken.

Talet tusen skrivs binärt 1\,111\,101\,000_\text{två}, alltså 2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+0+2^3+0+0+0 vilket kan beräknas till 512+256+128+...+8+0+0+0=1 000. Ska man representera talet tusen med bitar behöver man därför 2 byte (i 2 byte finns ju plats för 16 bitar).

Baserat på vad vi vet om koden kan vi avgöra vilka talbaser som är möjliga. Basen kan inte vara mindre än sju eftersom de baserna inte innehåller siffran 6, och den finns ju i koden. 6 341 Sedan vet vi också att koden ska ha fyra siffror, vilket innebär att det finns en övre gräns för vilken bas talet 6 341 kan vara skrivet i, eftersom det omvandlat till bas tio blir för långt. Om talet är skrivet i bas sju, åtta eller nio kan det bara bli kortare när det skrivs i bas tio, men om det är skrivet i bas elva eller högre kan det bli längre.

Vi blir tvungna att testa oss fram, och börjar med att anta att talet är skrivet i bas elva, alltså 6\,341_\text{elva}.

Räknar vi ut summan får vi 6\,341_\text{elva} = 8\,394_\text{tio}, alltså fyra siffror. Vi fortsätter med bas tolv.

Räknar vi ut summan får vi 6\,341_\text{tolv} = 10\,849_\text{tio}, alltså fem siffror. Talet kan alltså inte vara skrivet i bas tolv eller högre. Då är de enda alternativen bas sju, åtta, nio, tio och elva. Vi har redan testat bas tio, så då finns det bara fyra koder kvar att testa.

Vi börjar med att skriva om 10_(sexton) i utvecklad form, dvs. som en summa.

Vi skriver även om 100_(fyra) så att talet står som en summa.

Vi förenklar dessa summor en i taget.

Täljaren kan skrivas som 16 i bas 10. Vi beräknar även nämnaren.

Nämnaren blir också 16 vilket ger kvoten 16/16=1_(tio).

Talet 113_(sju) kan skrivas som en summa genom att multiplicera varje siffra med sitt platsvärde i potensform och addera produkterna.

Genom att beräkna summan i sista raden skriver vi talet i bas 10.

I bas 10 skrivs talet som 59_(tio).