Talbaser

När ett tal är givet i det decimala talsystemet används tiopotenser för att beskriva siffrornas platsvärden. Om 111 stod i bas tio skulle talet kunna skrivas som följande summa. 1* 10^2+1* 10^1+1* 10^0. Men nu står talet i bas 2 och då byter vi ut tiopotensen som platsvärde mot tvåpotenser istället.

Genom att förenkla summan kan vi skriva talet i bas 10.

Vi får alltså 111_(två)=7_(tio).

Nu står talet i bas tre vilket betyder att platsvärdet byter bas från 2 till 3.

Genom att förenkla summan kan vi skriva talet i bas 10.

Vi får alltså 111_(tre)=13_(tio).

Nu står talet i bas sexton och platsvärdena beskrivs då av 16-potenser. I bas sexton måste man ha sexton unika siffror. Därför beskriver 10, 11, 12, 13, 14 och 15 med bokstäver, som nedan: 10 A, 11 B, 12 C, 13 D, 14 E, 15 F. Nu kan vi skriva om talet som en summa med hjälp av de tre första bokstävernas värden: A = 11, B = 12 och C = 13.

Vi förenklar summan.

Vi kan alltså skriva om ABC_(sexton) till 2 748_(tio).

För att lösa uppgiften börjar vi med att försöka fylla den översta raden med kulor. Kan vi fylla den helt har vi 1 grupp om 2^3. Räcker inte antalet kulor för att fylla raden går vi vidare till nästa rad och försöker fylla den helt. Vi gör detta tills samtliga kulor har en plats i figuren.

I översta raden har vi 8 platser så vi kan precis fylla den översta raden 1 gång. Men när vi fyllt den översta raden har vi inga kulor kvar. Vi får alltså noll kulor i övriga rader. Vi läser av talet i det blå fältet till 1 000_(två).

Vi använder samma procedur som i deluppgift A och försöker fylla raderna uppifrån och ned. 5 kulor är inte tillräckligt för att fylla den översta raden, så det blir noll kulor där. Men i nästa rad får 4 av våra kulor plats. Den sista kulan räcker inte för att fylla den näst sista raden (som har 2 kulor) helt, så vi får placera den i sista raden istället.

Vi läser av talet i det blå fältet till 101_(två).

Vi använder samma procedur som i deluppgift A och försöker fylla raderna uppifrån och ned. Nu har vi 15 kulor så vi kan definitivt fylla översta raden vilket innebär att vi får 7 kulor kvar. Vi kan även fylla nästa rad med 4 kulor och efter det har vi 3 kulor kvar. Vi fortsätter på detta sätt och får då följande figur.

Vi läser av talet i det blå fältet till 1 111_(två).

För binära tal, alltså tal skrivna i bas två, har första siffran från höger platsvärdet 2^0 = 1, nästa siffra har värdet 2^1 = 2 och siffran efter den har värdet 2^2 = 4. Det betyder att talet 10_\text{två} kan skrivas i bas tio som 1 * 2 + 0 * 1, vilket är lika med 2. Då får vi \begin{gathered} 10_\text{två} \times 10_\text{två} = 2_\text{tio} \cdot 2_\text{tio} = 4_\text{tio}. \end{gathered} Nu vet vi dock att den tredje siffran från höger i ett binärt tal har platsvärdet 2^2=4, vilket innebär att produkten av de två talen kan skrivas som 100_\text{två}. Svaret är alltså \begin{gathered} 10_\text{två} \times 10_\text{två} = 100_\text{två}. \end{gathered} Multiplikation av tal som består av en etta följt av nollor fungerar alltså precis likadant som i bas tio.

Vi använder vad vi har lärt oss från förra deluppgiften. I bas tio är 100 * 100 = 10 000 och det stämmer även i bas två. Svaret är alltså \begin{gathered} 100_\text{två} \times 100_\text{två} = 10\,000_\text{två}. \end{gathered} Vi kan vi bekräfta detta genom att konvertera vänsterledet och högerledet till bas tio. Från tidigare vet vi att 100_\text{två} = 4_\text{tio}, vilket innebär att vänsterledet är lika med 4_\text{tio} \cdot 4_\text{tio} = 16_\text{tio}. Den femte siffran från höger i ett binärt tal har platsvärdet 2^4 = 16, vilket innebär att 16_\text{tio} = 10\,000_\text{två}, precis vad vi väntade oss. Svaret är alltså 10\,000_\text{två}.

En byte innehåller alltså 8 platser som kan fyllas med antingen en nolla eller etta. För att maximera talet sätter vi alla bitar till 1. Vi får då ett tal som består av en summa av alla tvåpotenser från 2^0 till 2^7.

Det största binära talet vi kan skriva med en byte är alltså 255_\text{tio}.

Vi undersöker vilka tvåpotenser som ger större respektive mindre värde än 100.

Med hjälp av tvåpotenser upp till och med 2^6 kan man skriva tal upp till och med 127 dvs. 27 större än 100. Antalet bitar som behövs för att beskriva 100 är alltså de som representerar tvåpotenserna 2^0 till 2^6. De är 7 stycken.

Talet tusen skrivs binärt 1\,111\,101\,000_\text{två}, alltså 2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+0+2^3+0+0+0 vilket kan beräknas till 512+256+128+...+8+0+0+0=1 000. Ska man representera talet tusen med bitar behöver man därför 2 byte (i 2 byte finns ju plats för 16 bitar).

Vi börjar med att skriva om 10_(sexton) i utvecklad form, dvs. som en summa.

Vi skriver även om 100_(fyra) så att talet står som en summa.

Vi förenklar dessa summor en i taget.

Täljaren kan skrivas som 16 i bas 10. Vi beräknar även nämnaren.

Nämnaren blir också 16 vilket ger kvoten 16/16=1_(tio).

Talet 113_(sju) kan skrivas som en summa genom att multiplicera varje siffra med sitt platsvärde i potensform och addera produkterna.

Genom att beräkna summan i sista raden skriver vi talet i bas 10.

I bas 10 skrivs talet som 59_(tio).