3. Symmetri
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Symmetri
Symmetri är en egenskap hos geometriska figurer som gör att de kan speglas, vridas eller förflyttas utan att deras utseende förändras. Det finns olika typer av symmetri, som spegelsymmetri och rotationssymmetri. Spegelsymmetri innebär att en figur kan delas in i två spegelbilder, medan rotationssymmetri innebär att en figur kan roteras mindre än ett helt varv utan att dess utseende förändras. Symmetri används ofta inom konst och design och är ett viktigt begrepp inom matematik och geometri. Det används för att förstå och analysera geometriska former och mönster.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 7 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Symmetri
Sida av 7
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Symmetri
En symmetri är en transformation som avbildar en figur på sig själv. Det är en icke-trivial korrespondens av en figur med sig själv — det vill säga, sidorna och vinklarna korresponderar inte med sig själva. När en figur har en symmetri sägs den vara en symmetrisk figur.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Spegelsymmetri
En plan figur har linjär symmetri eller spegelsymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en reflektion längs en linje. Denna reflektionslinje kallas symmetrilinje. När en figur har linjär symmetri, sägs den vara reflektionssymmetrisk eller linjärt symmetrisk.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Spegla en figur i en linje
Svar
Graf:
Ledtråd
Reflektionen och objektet ska vara på samma avstånd från linjen.
Lösning
Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån linjen. För att se var på andra sidan linjen vi ska rita speglingen kan vi sätta punkter i hörnen på bokstäverna och räkna hur många rutor ovanför linjen dessa finns. Därefter ritar vi ut motsvarande punkter på samma avstånd under linjen. För första delen av M:et ser det ut på följande sätt.
Vi gör på samma sätt för övriga hörn.
Till sist förbinder vi de nya punkterna.
I den nya figuren är linjen L symmetrilinje.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Rotationssymmetri
En plan figur har rotationssymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en rotation mellan 0^(∘) och 360^(∘) kring figurens centrum. Denna punkt kallas symmetricentrum. När en figur har rotationssymmetri, sägs den vara rotationssymmetrisk.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Rotera en figur
Följande figur har rotationssymmetri.
Vad är symmetriordningen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8"]}}
Ledtråd
Rotera figuren 360^(∘) kring dess centrum. Var uppmärksam på om figuren matchar sin ursprungliga position innan den gör en full rotation.
Lösning
För att avgöra om figuren har rotationssymmetri, kontrollera om en rotation på mindre än 360^(∘) kring centrum avbildar figuren på sig själv. Med andra ord, kontrollera om det finns en rotation som gör att figuren ser likadan ut som den gjorde i sin ursprungliga position. Använd den följande applet för att rotera figuren.
Som visat, avbildar en rotation på 45^(∘) figuren på sig själv. Därför är figuren rotationssymmetrisk. Rotationer på 90^(∘), 135^(∘), 180^(∘), 225^(∘), 270^(∘), 315^(∘), och 360^(∘) avbildar också figuren på sig själv. Detta innebär att symmetriordningen är 8.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Illustration
Symmetri i tredimensionella figurer
Symmetrier är inte bara definierade för tvådimensionella figurer. Definitionen kan även utvidgas till tredimensionella figurer. I den verkliga världen finns det många objekt som har någon form av symmetri. Till exempel är solrosor rotationssymmetriska, medan fjärilar har linjesymmetri.
En tredimensionell figur sägs ha axelsymmetri om den kan roteras kring en linje och återgå till sig själv genom en rotation mellan 0^(∘) och 360^(∘). Detta är motsvarigheten till rotationssymmetri.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Symmetri
Uppgift 2.1
Hur många grader måste den regelbundna stjärnan minst roteras för att se likadan ut?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["72"]}}
security
report
code
security
report
code
Stjärnan är regelbunden. Det betyder att om man drar linjer från dess mittpunkt ut till uddarna är vinklarna som bildas lika stora. Eftersom ett helt varv är 360^(∘), blir varje vinkel 360^(∘)/5=72^(∘). Den gröna och blå vinkeln nedan är alltså båda 72^(∘).
Nu roterar vi stjärnan tills den ser likadan ut. Det spelar ingen roll vilket håll, men vi väljer medurs.
Nu har den gröna vinkeln bytt plats med den blå. Stjärnan måste alltså ha roterat med en vinkel som är lika stor som den blå: 72^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen L?
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":3}
Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen L?
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån spegellinjen. Vi sätter punkter i triangelns hörn och drar vinkelräta linjer mot L. När vi träffar L fortsätter vi dra linjen lika långt ut till höger om L och placerar en punkt i slutet av sträckan.
Nu förbinder vi punkterna på andra sidan linjen.
Det rätta valet är alternativ D.
Samma sak igen! Två av hörnen ligger på samma plan
så vi färgar en av dem grön.
Nu förbinder vi punkterna.
Det rätta valet är alternativ C.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["72"]}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi kan vrida blomman så att blad nr 1 hamnar på plats 2, blad nr 2 hamnar på plats 3 osv.
När figuren roteras måste den vridas precis så många grader som det är mellan två blad. Vi undrar därför hur stor vinkeln är mellan två intilliggande blad i det främre lagret. 5 blad får plats på ett varv, dvs. 360^(∘), så det är 360^(∘)5 = 72^(∘) mellan 2 blad.
Man måste alltså minst vrida den 72^(∘).
En figur är spegelsymmetrisk om man kan dra en eller flera linjer som delar upp den i två spegelbilder. Vi kan dra fem sådana linjer.
Blomman är alltså spegelsymmetrisk.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Överväg mönstret som bildas av följande fyra figurer.
Vilken av följande motsvarar den femte figuren i mönstret?
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Om man jämför den första och andra figuren ser vi att den gröna rutan flyttats till det övre högra hörnet och den röda till nedre högra hörnet. Den blå är kvar. Det betyder att figuren roterats 90^(∘).
Vad händer mellan den andra och den tredje figuren? Har den också roterats 90^(∘)? Nej, både den blå och den röda kvadraten är kvar. Det är endast den gröna rutan som flyttats. Det betyder att det har skett en spegling i diagonalen.
Mellan den tredje och den fjärde figuren har det skett ytterligare en rotation.
Nu har det alltså skett en rotation, en spegling och en rotation. Nästa operation borde därför vara en spegling. Det betyder att den gröna och blå kvadraten blir kvar, men den röda flyttas till det motsatta hörnet.
Därför är den femte figuren alternativet C.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Spegla objektet först i y-axeln. Spegla därefter både objektet och speglingen i x-axeln.
Vad ser du?
{"type":"choice","form":{"alts":["En figur","Bokstaven H","Bokstaven L","Bokstaven S","Bokstaven T","Bokstaven U","Bokstaven Z"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att spegla figuren i y-axeln. Punkterna i speglingens hörn ska befinna sig lika långt till höger om y-axeln som motsvarande avbildade punkter är till vänster om y-axeln.
Sedan gör vi samma sak igen och speglar både objektet och första speglingen i x-axeln.
Det blev ett H!
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hur många grader ska den liksidiga triangeln vrida runt punkten P för att triangeln ska sammanfalla med den ursprungliga? Ange minsta möjliga gradtal.
Nationella provet VT05 MaA
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["120"]}}
security
report
code
security
report
code
Utgår vi från punkten P, och drar linjer ut mot triangelns hörn, kan vi skapa tre vinklar som tillsammans bildar 360^(∘). Detta betyder att varje enskild vinkel är 360^(∘)3=120^(∘).
För tillfället är den blå sidan bas men vrider vi triangeln 120^(∘) åt något håll får vi en ny sida som blir bas. Exempelvis kan vi vrida triangeln moturs 120^(∘) vilket innebär att den gröna sidan blir bas som nedan.
Även om den gröna sidan nu utgör bas så ser den likadan ut som innan vridningen. Man säger att liksidiga trianglar har en rotationssymmetri på 120^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Symmetri
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll