MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
2. Symmetri
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1a , Ma 1b ) /
Kapitel 5
1. 

Symmetri

Symmetri är en egenskap hos geometriska figurer som gör att de kan speglas, vridas eller förflyttas utan att deras utseende förändras. Det finns olika typer av symmetri, som spegelsymmetri och rotationssymmetri. Spegelsymmetri innebär att en figur kan delas in i två spegelbilder, medan rotationssymmetri innebär att en figur kan roteras mindre än ett helt varv utan att dess utseende förändras. Symmetri används ofta inom konst och design och är ett viktigt begrepp inom matematik och geometri. Det används för att förstå och analysera geometriska former och mönster.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
7 sidor teori
14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Symmetri
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Symmetri
  • Spegelsymmetri
  • Rotationssymmetri

Förkunskaper
Teori

Symmetri

En symmetri är en transformation som avbildar en figur på sig själv. Det är en icke-trivial korrespondens av en figur med sig själv — det vill säga, sidorna och vinklarna korresponderar inte med sig själva. När en figur har en symmetri sägs den vara en symmetrisk figur.
Teori

Spegelsymmetri

En plan figur har linjär symmetri eller spegelsymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en reflektion längs en linje. Denna reflektionslinje kallas symmetrilinje. När en figur har linjär symmetri, sägs den vara reflektionssymmetrisk eller linjärt symmetrisk.
En likbent triangel med sin symmetrilinje
Vissa figurer har mer än en symmetrilinje. Till exempel har en kvadrat fyra — linjerna som går genom mittpunkterna på motsatta sidor och linjerna som innehåller kvadratens diagonaler.
En kvadrat och dess fyra symmetrilinjer
Exempel

Spegla en figur i en linje

Spegla figuren i linjen

Svar

Graf:

Ledtråd

Reflektionen och objektet ska vara på samma avstånd från linjen.

Lösning

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån linjen. För att se var på andra sidan linjen vi ska rita speglingen kan vi sätta punkter i hörnen på bokstäverna och räkna hur många rutor ovanför linjen dessa finns. Därefter ritar vi ut motsvarande punkter på samma avstånd under linjen. För första delen av M:et ser det ut på följande sätt.

Vi gör på samma sätt för övriga hörn.

Till sist förbinder vi de nya punkterna.

I den nya figuren är linjen symmetrilinje.

Teori

Rotationssymmetri

En plan figur har rotationssymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en rotation mellan och kring figurens centrum. Denna punkt kallas symmetricentrum. När en figur har rotationssymmetri, sägs den vara rotationssymmetrisk.
En kvadrat, en liksidig triangel och siffran 0
Som visat har kvadrater, liksidiga trianglar och siffran alla rotationssymmetri, var och en med sin egen särskilda vinkelnivå. Symmetriordningen för en figur är antalet gånger den avbildas på sig själv när den roteras från till Till exempel är symmetriordningen för en kvadrat Lägg märke till att den minsta ordningen för rotationssymmetri för en figur är
Exempel

Rotera en figur

Följande figur har rotationssymmetri.

Vad är symmetriordningen?

Ledtråd

Rotera figuren kring dess centrum. Var uppmärksam på om figuren matchar sin ursprungliga position innan den gör en full rotation.

Lösning
För att avgöra om figuren har rotationssymmetri, kontrollera om en rotation på mindre än kring centrum avbildar figuren på sig själv. Med andra ord, kontrollera om det finns en rotation som gör att figuren ser likadan ut som den gjorde i sin ursprungliga position. Använd den följande applet för att rotera figuren.
Som visat, avbildar en rotation på figuren på sig själv. Därför är figuren rotationssymmetrisk. Rotationer på och avbildar också figuren på sig själv. Detta innebär att symmetriordningen är
Illustration

Symmetri i tredimensionella figurer

Symmetrier är inte bara definierade för tvådimensionella figurer. Definitionen kan även utvidgas till tredimensionella figurer. I den verkliga världen finns det många objekt som har någon form av symmetri. Till exempel är solrosor rotationssymmetriska, medan fjärilar har linjesymmetri.

Föreställ dig en fjäril som visar linjesymmetri.
En tredimensionell figur sägs ha axelsymmetri om den kan roteras kring en linje och återgå till sig själv genom en rotation mellan och Detta är motsvarigheten till rotationssymmetri.
En oktagonal prism och linjen som går genom mitten av baserna.
En tredimensionell figur har plansymmetri om det finns ett plan som delar figuren i två halvor, där varje halva är en spegelbild av den andra över planet. Detta är motsvarigheten till linjesymmetri. Tänk på följande bjälke i en sjö.
En vertikal rektangulär prisma som delas av ett vinkelrätt plan märkt P.
Vattnets yta delar bjälken, vilket skapar symmetriska figurer på vardera sidan av sjöytan.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Symmetri
Uppgift 1.1

Figuren är spegelsymmetrisk. Hur många symmetrilinjer har den?

Ett sätt att tolka spegelsymmetri på är att vi tänker oss att vi drar en linje som vi viker figuren längs, ungefär som med en servett. Om de vikta bitarna lägger sig så att alla kanter där de möts precis matchar har vi hittat en symmetrilinje. En rät linje längs med höjden i en likbent triangel utgör en symmetrilinje.


Om vi däremot försöker vika den från en av höjderna från någon av de långa sidorna kommer den nedre biten bli mer kompakt och den övre mer utdragen, så de kommer inte passa ihop. Figuren har 1 symmetrilinje.


Vi tänker på samma sätt som i förra deluppgiften. Om vi viker rektangeln på mitten antingen på höjden eller på längden kommer vi att få två likadana bitar.


Testar vi diagonalen inser vi att hörnen inte kommer att passa ihop. Rektangeln har därför 2 symmetrilinjer.


Vi inser även här att figuren kan vikas på mitten. Men vi kan göra likadant på alla håll, dvs. göra en vikning från mitten av sidan till mitten av motstående sida. Vi hittar då 3 stycken symmetrilinjer.

Har vi hittat alla symmetrilinjer nu? Nej, eftersom sexhörningen är regelbunden kan vi även dra linjer från ett hörn till motstående hörn. Vi hittar då 3 symmetrilinjer till. Totalt har figuren 3+3=6 symmetrilinjer.


Alla figurerna nedan är spegelsymmetriska.

Figure A: man. Figure B: equilateral triangle. Figure C: diamond jewel. Figure D: red cross flag
Vilken eller vilka är rotationssymmetriska?

Vi börjar med figur A. Gubben kommer ju inte tillbaka till urspungsläget förrän han snurrat ett helt varv.

Figur A är därför inte rotationssymmetrisk. Detsamma gäller för figur C, som alltså inte heller är rotationssymmetrisk.

Figur B däremot är en liksidig triangel. Om den roteras så att exempelvis det högra hörnet hamnar i toppen, så kommer den att se likadan ut.

Vi kan tänka på liknande sätt gällande figur D. Om den vrids ett fjärdedels varv kommer vi inte att märka någon skillnad.

Figur B och D är alltså även rotationssymmetriska.

Bestäm rätt reflektion.

Betrakta den givna figuren och linjen

Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen

Betrakta den givna figuren och linjen

Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån spegellinjen. Vi sätter punkter i objektets hörn och drar vinkelräta linjer mot L. Toppen av triangeln befinner sig 2 rutor till vänster om linjen, därför hamnar speglingen 2 rutor till höger om den. Vi speglar de andra punkterna på samma sätt.


Nu förbinder vi punkterna.


Därför är det rätta svaret alternativ C.


Samma sak! Vissa hörn ligger på samma plan så vi färgar punkterna gröna som ligger längst till vänster i objektet.


Nu kan vi binda ihop punkterna med linjer.


Därför är det rätta svaret alternativ B.

Bestäm rätt reflektion.

Betrakta den givna figuren och linjen

Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen

Betrakta den givna figuren och linjen

Vilket av följande diagram representerar reflektionen av figuren över linjen

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån spegellinjen. Vi sätter punkter i objektets hörn och drar vinkelräta linjer mot L. När vi träffar L fortsätter vi dra linjen lika långt ovanför L och placerar en punkt i slutet av sträckan.


Nu förbinder vi punkterna på andra sidan linjen L.


Därför är det rätta svaret alternativ A.


Samma sak igen!


Till sist binder vi ihop punkterna på samma sätt som i figuren under linjen.


Därför är det rätta svaret alternativ B.

Du har en rätvinklig, likbent triangel.

Spegla den i hypotenusan. Vad bildas det för figur?
Spegla den i en av kateterna. Vad bildas det för figur?

Vi ritar upp en rätvinklig, likbent triangel. Hypotenusan är alltid längre än båda kateter så kateterna måste vara lika långa för att triangeln ska vara likbent.


Nu speglar vi triangeln i hypotenusan genom att utgå från det nedre vänstra hörnet och gå i en rät vinkel mot spegellinjen. När vi når den fortsätter vi lika långt på andra sidan och sätter ut en punkt där.


Nu förbinder vi punkterna på andra sidan linjen. Eftersom bilden speglas kommer längderna och vinklarna på andra sidan vara samma som den ospeglade bilden.


Det bildas en fyrhörning med lika långa sidor och 90^(∘)-vinklar. Det är alltså en kvadrat.


Vi utgår från en likadan rätvinklig, likbent triangel, men speglar den nu i en av kateterna. Det spelar ingen roll vilken, så vi tar den vänstra. Vi utgår från det högra hörnet och går vinkelrätt mot spegellinjen, på samma sätt som tidigare.


Nu förbinder vi punkterna på andra sidan. På samma sätt som tidigare kommer längder och vinklar vara samma för speglingen som den ursprungliga bilden.


Det bildas alltså en ny likbent triangel. Kan vi säga något om vinklarna? Ja. I den första triangeln var den ena vinkeln 90^(∘) (eftersom den var rätvinklig) och eftersom den också var likbent måste de andra vinklarna vara lika stora. De ska tillsammans bli 90^(∘) för att vinkelsumman i triangeln ska vara 180^(∘). Det betyder att båda är 45^(∘).


Den övre vinkeln i den nya triangeln är 45^(∘)+45^(∘)=90^(∘). Det bildas alltså en ny likbent, rätvinklig triangel där den gamla hypotenusan är en av de nya kateterna.


Tesselation är vanligt inom konst och innebär att man fyller ut en yta med upprepade geometriska figurer utan att det bildas mellanrum eller överlappningar, som i exemplet. Då bildas en typ av symmetriska mönster.

Går det att täcka hela den gröna kvadratens yta med tessellation genom att lägga ut fler av figuren i nedanstående rutnät? Du får gå utanför rutnätet samt rotera och/eller spegla figuren.

Vi provar genom att fylla på med likadana figurer. Eftersom inga mellanrum eller överlappningar bildas är det alltså frågan om tessellation, så svaret är ja.


Om du kan forma en rektangel genom att sätta ihop två eller fler figurer kan du alltid täcka en given yta.



Vi gör på samma sätt och fyller på med fler identiska figurer. Vi ser att det bildas mellanrum där det inte får plats någon del av en femhörning. Alltså är det inte möjligt att med regelbundna femhörningar täcka en yta genom tessellation.


Symmetri

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.