Symmetri

Ett sätt att tolka spegelsymmetri på är att vi tänker oss att vi drar en linje som vi viker figuren längs, ungefär som med en servett. Om de vikta bitarna lägger sig så att alla kanter där de möts precis matchar har vi hittat en symmetrilinje. En rät linje längs med höjden i en likbent triangel utgör en symmetrilinje.

Om vi däremot försöker vika den från en av höjderna från någon av de långa sidorna kommer den nedre biten bli mer kompakt och den övre mer utdragen, så de kommer inte passa ihop. Figuren har 1 symmetrilinje.

Vi tänker på samma sätt som i förra deluppgiften. Om vi viker rektangeln på mitten antingen på höjden eller på längden kommer vi att få två likadana bitar.

Testar vi diagonalen inser vi att hörnen inte kommer att passa ihop. Rektangeln har därför 2 symmetrilinjer.

Vi inser även här att figuren kan vikas på mitten. Men vi kan göra likadant på alla håll, dvs. göra en vikning från mitten av sidan till mitten av motstående sida. Vi hittar då 3 stycken symmetrilinjer.

Har vi hittat alla symmetrilinjer nu? Nej, eftersom sexhörningen är regelbunden kan vi även dra linjer från ett hörn till motstående hörn. Vi hittar då 3 symmetrilinjer till. Totalt har figuren 3+3=6 symmetrilinjer.

Vi börjar med figur A. Gubben kommer ju inte tillbaka till urspungsläget förrän han snurrat ett helt varv.

Figur A är därför inte rotationssymmetrisk. Detsamma gäller för figur C, som alltså inte heller är rotationssymmetrisk.

Figur B däremot är en liksidig triangel. Om den roteras så att exempelvis det högra hörnet hamnar i toppen, så kommer den att se likadan ut.

Vi kan tänka på liknande sätt gällande figur D. Om den vrids ett fjärdedels varv kommer vi inte att märka någon skillnad.

Figur B och D är alltså även rotationssymmetriska.

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån spegellinjen. Vi sätter punkter i objektets hörn och drar vinkelräta linjer mot L. Toppen av triangeln befinner sig 2 rutor till vänster om linjen, därför hamnar speglingen 2 rutor till höger om den. Vi speglar de andra punkterna på samma sätt.

Nu förbinder vi punkterna.

Därför är det rätta svaret alternativ C.

Samma sak! Vissa hörn ligger på samma plan så vi färgar punkterna gröna som ligger längst till vänster i objektet.

Nu kan vi binda ihop punkterna med linjer.

Därför är det rätta svaret alternativ B.

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån spegellinjen. Vi sätter punkter i objektets hörn och drar vinkelräta linjer mot L. När vi träffar L fortsätter vi dra linjen lika långt ovanför L och placerar en punkt i slutet av sträckan.

Nu förbinder vi punkterna på andra sidan linjen L.

Därför är det rätta svaret alternativ A.

Samma sak igen!

Till sist binder vi ihop punkterna på samma sätt som i figuren under linjen.

Därför är det rätta svaret alternativ B.

Vi ritar upp en rätvinklig, likbent triangel. Hypotenusan är alltid längre än båda kateter så kateterna måste vara lika långa för att triangeln ska vara likbent.

Nu speglar vi triangeln i hypotenusan genom att utgå från det nedre vänstra hörnet och gå i en rät vinkel mot spegellinjen. När vi når den fortsätter vi lika långt på andra sidan och sätter ut en punkt där.

Nu förbinder vi punkterna på andra sidan linjen. Eftersom bilden speglas kommer längderna och vinklarna på andra sidan vara samma som den ospeglade bilden.

Det bildas en fyrhörning med lika långa sidor och 90^(∘)-vinklar. Det är alltså en kvadrat.

Vi utgår från en likadan rätvinklig, likbent triangel, men speglar den nu i en av kateterna. Det spelar ingen roll vilken, så vi tar den vänstra. Vi utgår från det högra hörnet och går vinkelrätt mot spegellinjen, på samma sätt som tidigare.

Nu förbinder vi punkterna på andra sidan. På samma sätt som tidigare kommer längder och vinklar vara samma för speglingen som den ursprungliga bilden.

Det bildas alltså en ny likbent triangel. Kan vi säga något om vinklarna? Ja. I den första triangeln var den ena vinkeln 90^(∘) (eftersom den var rätvinklig) och eftersom den också var likbent måste de andra vinklarna vara lika stora. De ska tillsammans bli 90^(∘) för att vinkelsumman i triangeln ska vara 180^(∘). Det betyder att båda är 45^(∘).

Den övre vinkeln i den nya triangeln är 45^(∘)+45^(∘)=90^(∘). Det bildas alltså en ny likbent, rätvinklig triangel där den gamla hypotenusan är en av de nya kateterna.

Vi provar genom att fylla på med likadana figurer. Eftersom inga mellanrum eller överlappningar bildas är det alltså frågan om tessellation, så svaret är ja.

Om du kan forma en rektangel genom att sätta ihop två eller fler figurer kan du alltid täcka en given yta.

Vi gör på samma sätt och fyller på med fler identiska figurer. Vi ser att det bildas mellanrum där det inte får plats någon del av en femhörning. Alltså är det inte möjligt att med regelbundna femhörningar täcka en yta genom tessellation.