2. Symmetri
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
1.
Symmetri
Symmetri är en egenskap hos geometriska figurer som gör att de kan speglas, vridas eller förflyttas utan att deras utseende förändras. Det finns olika typer av symmetri, som spegelsymmetri och rotationssymmetri. Spegelsymmetri innebär att en figur kan delas in i två spegelbilder, medan rotationssymmetri innebär att en figur kan roteras mindre än ett helt varv utan att dess utseende förändras. Symmetri används ofta inom konst och design och är ett viktigt begrepp inom matematik och geometri. Det används för att förstå och analysera geometriska former och mönster.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 7 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Symmetri
Sida av 7
Teori
Symmetri
En symmetri är en transformation som avbildar en figur på sig själv. Det är en icke-trivial korrespondens av en figur med sig själv — det vill säga, sidorna och vinklarna korresponderar inte med sig själva. När en figur har en symmetri sägs den vara en symmetrisk figur.
Teori
Spegelsymmetri
En plan figur har linjär symmetri eller spegelsymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en reflektion längs en linje. Denna reflektionslinje kallas symmetrilinje. När en figur har linjär symmetri, sägs den vara reflektionssymmetrisk eller linjärt symmetrisk.
Vissa figurer har mer än en symmetrilinje. Till exempel har en kvadrat fyra — linjerna som går genom mittpunkterna på motsatta sidor och linjerna som innehåller kvadratens diagonaler.
Exempel
Spegla en figur i en linje
Svar
Graf:
Ledtråd
Reflektionen och objektet ska vara på samma avstånd från linjen.
Lösning
Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån linjen. För att se var på andra sidan linjen vi ska rita speglingen kan vi sätta punkter i hörnen på bokstäverna och räkna hur många rutor ovanför linjen dessa finns. Därefter ritar vi ut motsvarande punkter på samma avstånd under linjen. För första delen av M:et ser det ut på följande sätt.
Vi gör på samma sätt för övriga hörn.
Till sist förbinder vi de nya punkterna.
I den nya figuren är linjen L symmetrilinje.
Teori
Rotationssymmetri
En plan figur har rotationssymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en rotation mellan 0∘ och 360∘ kring figurens centrum. Denna punkt kallas symmetricentrum. När en figur har rotationssymmetri, sägs den vara rotationssymmetrisk.
Som visat har kvadrater, liksidiga trianglar och siffran 0 alla rotationssymmetri, var och en med sin egen särskilda vinkelnivå. Symmetriordningen för en figur är antalet gånger den avbildas på sig själv när den roteras från 0∘ till 360∘. Till exempel är symmetriordningen för en kvadrat 4. Lägg märke till att den minsta ordningen för rotationssymmetri för en figur är 1.
Exempel
Rotera en figur
Följande figur har rotationssymmetri.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8"]}}
Ledtråd
Rotera figuren 360∘ kring dess centrum. Var uppmärksam på om figuren matchar sin ursprungliga position innan den gör en full rotation.
Lösning
För att avgöra om figuren har rotationssymmetri, kontrollera om en rotation på mindre än 360∘ kring centrum avbildar figuren på sig själv. Med andra ord, kontrollera om det finns en rotation som gör att figuren ser likadan ut som den gjorde i sin ursprungliga position. Använd den följande applet för att rotera figuren.
Som visat, avbildar en rotation på 45∘ figuren på sig själv. Därför är figuren rotationssymmetrisk. Rotationer på 90∘, 135∘, 180∘, 225∘, 270∘, 315∘, och 360∘ avbildar också figuren på sig själv. Detta innebär att symmetriordningen är 8.
Illustration
Symmetri i tredimensionella figurer
Symmetrier är inte bara definierade för tvådimensionella figurer. Definitionen kan även utvidgas till tredimensionella figurer. I den verkliga världen finns det många objekt som har någon form av symmetri. Till exempel är solrosor rotationssymmetriska, medan fjärilar har linjesymmetri.
Symmetri
Övningar
Nedan syns fyra trafikmärken.
Ta hänsyn till yttre form, text, färg och innehåll. Vilket trafikmärke har flest symmetrilinjer?
Nationella provet VT12 1b
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
En symmetrilinje är en linje som dras genom en hel figur så att de två sidor som bildas blir spegelbilder av varandra.
A. Motorväg
Den vänstra halvan är en spegelbild av den högra vilken ger en lodrät symmetrilinje. Däremot ser den inte likadan ut nertill som upptill, så vi kan inte dra någon vågrät symmetrilinje. Sneda symmetrilinjer kan inte finnas eftersom figuren är avlång.
Skylten har en symmetrilinje.
B. Stoppskylt
Skylten ser väldigt symmetrisk ut i formen, men texten på den förstör all symmetri. Vi kan inte dra en vågrät linje, eftersom T:et till exempel ser olika ut upptill och nertill. Vi kan inte dra en lodrät linje heller, eftersom P:et bara finns till höger och inte till vänster. Av samma anledningar finns inga sneda symmetrilinjer heller.
C. Väjningsplikt
I den här skylten gör trycket ingen skillnad. Skylten har tre symmetrilinjer, där varje linje går från ett av triangelns hörn till den motsatta sidans mittpunkt.
D. Kör höger
Runda figurer har alltid många symmetrilinjer, men med den tryckta pilen störs detta. Pilen är dock lite symmetrisk, då dess ovansida är en spegelbild av dess undersida. Det leder till att den tryckta skylten har en vågrät symmetrilinje.
Slutsats
Det trafikmärke som har flest symmetrilinjer är alltså trafikmärke C.
security
report
code
Överväg mönstret som bildas av följande tre figurer.
Vilken av följande motsvarar den fjärde figuren i mönstret?
{"type":"choice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">A<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">B<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.73046875em;vertical-align:-0.009765625em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">C<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.7109375em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord Roboto-Bold textbf\">D<\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Vad händer mellan figur 1 och 2? De gröna och blå fälten har flyttats två fält medurs, men det har inte det gula och röda. I så fall måste man byta plats på dem. Därför måste det ha skett en spegling.
Mellan nästa par har det inte hänt något med de blå och gröna fälten, medan det röda och gula bytt plats. Det måste därför ha skett en spegling här också.
I varje steg har det alltså skett en spegling, men det är inte samma spegellinje. För varje steg flyttas spegellinjen ett fält medurs. Det betyder att i det tredje steget kommer figuren speglas i symmetrilinjen i den tredje figuren nedan.
För att ta fram den fjärde figuren ska vi alltså använda den tredje spegellinjen ovan.
Därför är den femte figuren alternativet B.
security
report
code
Symmetri
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll