MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
1a
Kurs 1a Visa detaljer
2. Symmetri
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 1a , Ma 1b ) /
Kapitel 5
1. 

Symmetri

Symmetri är en egenskap hos geometriska figurer som gör att de kan speglas, vridas eller förflyttas utan att deras utseende förändras. Det finns olika typer av symmetri, som spegelsymmetri och rotationssymmetri. Spegelsymmetri innebär att en figur kan delas in i två spegelbilder, medan rotationssymmetri innebär att en figur kan roteras mindre än ett helt varv utan att dess utseende förändras. Symmetri används ofta inom konst och design och är ett viktigt begrepp inom matematik och geometri. Det används för att förstå och analysera geometriska former och mönster.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
7 sidor teori
14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Symmetri
Sida av 7
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Symmetri
  • Spegelsymmetri
  • Rotationssymmetri

Förkunskaper
Teori

Symmetri

En symmetri är en transformation som avbildar en figur på sig själv. Det är en icke-trivial korrespondens av en figur med sig själv — det vill säga, sidorna och vinklarna korresponderar inte med sig själva. När en figur har en symmetri sägs den vara en symmetrisk figur.
Teori

Spegelsymmetri

En plan figur har linjär symmetri eller spegelsymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en reflektion längs en linje. Denna reflektionslinje kallas symmetrilinje. När en figur har linjär symmetri, sägs den vara reflektionssymmetrisk eller linjärt symmetrisk.
En likbent triangel med sin symmetrilinje
Vissa figurer har mer än en symmetrilinje. Till exempel har en kvadrat fyra — linjerna som går genom mittpunkterna på motsatta sidor och linjerna som innehåller kvadratens diagonaler.
En kvadrat och dess fyra symmetrilinjer
Exempel

Spegla en figur i en linje

Spegla figuren i linjen

Svar

Graf:

Ledtråd

Reflektionen och objektet ska vara på samma avstånd från linjen.

Lösning

Speglingen och objektet ska befinna sig lika långt ifrån linjen. För att se var på andra sidan linjen vi ska rita speglingen kan vi sätta punkter i hörnen på bokstäverna och räkna hur många rutor ovanför linjen dessa finns. Därefter ritar vi ut motsvarande punkter på samma avstånd under linjen. För första delen av M:et ser det ut på följande sätt.

Vi gör på samma sätt för övriga hörn.

Till sist förbinder vi de nya punkterna.

I den nya figuren är linjen symmetrilinje.

Teori

Rotationssymmetri

En plan figur har rotationssymmetri om figuren kan avbildas på sig själv genom en rotation mellan och kring figurens centrum. Denna punkt kallas symmetricentrum. När en figur har rotationssymmetri, sägs den vara rotationssymmetrisk.
En kvadrat, en liksidig triangel och siffran 0
Som visat har kvadrater, liksidiga trianglar och siffran alla rotationssymmetri, var och en med sin egen särskilda vinkelnivå. Symmetriordningen för en figur är antalet gånger den avbildas på sig själv när den roteras från till Till exempel är symmetriordningen för en kvadrat Lägg märke till att den minsta ordningen för rotationssymmetri för en figur är
Exempel

Rotera en figur

Följande figur har rotationssymmetri.

Vad är symmetriordningen?

Ledtråd

Rotera figuren kring dess centrum. Var uppmärksam på om figuren matchar sin ursprungliga position innan den gör en full rotation.

Lösning
För att avgöra om figuren har rotationssymmetri, kontrollera om en rotation på mindre än kring centrum avbildar figuren på sig själv. Med andra ord, kontrollera om det finns en rotation som gör att figuren ser likadan ut som den gjorde i sin ursprungliga position. Använd den följande applet för att rotera figuren.
Som visat, avbildar en rotation på figuren på sig själv. Därför är figuren rotationssymmetrisk. Rotationer på och avbildar också figuren på sig själv. Detta innebär att symmetriordningen är
Illustration

Symmetri i tredimensionella figurer

Symmetrier är inte bara definierade för tvådimensionella figurer. Definitionen kan även utvidgas till tredimensionella figurer. I den verkliga världen finns det många objekt som har någon form av symmetri. Till exempel är solrosor rotationssymmetriska, medan fjärilar har linjesymmetri.

Föreställ dig en fjäril som visar linjesymmetri.
En tredimensionell figur sägs ha axelsymmetri om den kan roteras kring en linje och återgå till sig själv genom en rotation mellan och Detta är motsvarigheten till rotationssymmetri.
En oktagonal prism och linjen som går genom mitten av baserna.
En tredimensionell figur har plansymmetri om det finns ett plan som delar figuren i två halvor, där varje halva är en spegelbild av den andra över planet. Detta är motsvarigheten till linjesymmetri. Tänk på följande bjälke i en sjö.
En vertikal rektangulär prisma som delas av ett vinkelrätt plan märkt P.
Vattnets yta delar bjälken, vilket skapar symmetriska figurer på vardera sidan av sjöytan.
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Symmetri
Uppgift 3.1

Nedan syns fyra trafikmärken.

Ta hänsyn till yttre form, text, färg och innehåll. Vilket trafikmärke har flest symmetrilinjer?

Nationella provet VT12 1b

En symmetrilinje är en linje som dras genom en hel figur så att de två sidor som bildas blir spegelbilder av varandra.

A. Motorväg

Den vänstra halvan är en spegelbild av den högra vilken ger en lodrät symmetrilinje. Däremot ser den inte likadan ut nertill som upptill, så vi kan inte dra någon vågrät symmetrilinje. Sneda symmetrilinjer kan inte finnas eftersom figuren är avlång.

Skylten har en symmetrilinje.

B. Stoppskylt

Skylten ser väldigt symmetrisk ut i formen, men texten på den förstör all symmetri. Vi kan inte dra en vågrät linje, eftersom T:et till exempel ser olika ut upptill och nertill. Vi kan inte dra en lodrät linje heller, eftersom P:et bara finns till höger och inte till vänster. Av samma anledningar finns inga sneda symmetrilinjer heller.


C. Väjningsplikt

I den här skylten gör trycket ingen skillnad. Skylten har tre symmetrilinjer, där varje linje går från ett av triangelns hörn till den motsatta sidans mittpunkt.


D. Kör höger

Runda figurer har alltid många symmetrilinjer, men med den tryckta pilen störs detta. Pilen är dock lite symmetrisk, då dess ovansida är en spegelbild av dess undersida. Det leder till att den tryckta skylten har en vågrät symmetrilinje.


Slutsats

Det trafikmärke som har flest symmetrilinjer är alltså trafikmärke C.

Överväg mönstret som bildas av följande tre figurer.

Vilken av följande motsvarar den fjärde figuren i mönstret?

Vad händer mellan figur 1 och 2? De gröna och blå fälten har flyttats två fält medurs, men det har inte det gula och röda. I så fall måste man byta plats på dem. Därför måste det ha skett en spegling.


Mellan nästa par har det inte hänt något med de blå och gröna fälten, medan det röda och gula bytt plats. Det måste därför ha skett en spegling här också.

I varje steg har det alltså skett en spegling, men det är inte samma spegellinje. För varje steg flyttas spegellinjen ett fält medurs. Det betyder att i det tredje steget kommer figuren speglas i symmetrilinjen i den tredje figuren nedan.


För att ta fram den fjärde figuren ska vi alltså använda den tredje spegellinjen ovan.


Därför är den femte figuren alternativet B.

Symmetri

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.