Sannolikhet

Vi går igenom händelserna en i taget.

I. Ett svenskt barn överlever till åtminstone fem års ålder

Sverige har väldigt låg barndödlighet så sannolikheten att ett barn överlever till åtminstone fem borde vara hög. Tyvärr överlever inte alla barn så den är inte 1. Den näst högsta sannolikheten är 0,997, vilket betyder att barnadödligheten skulle vara 0.3 % verkar rimligt.

II. En myra kan flyga ett jetplan

Hittills har myror inte utvecklat en förmåga att flyga våra plan. Sannolikheten för detta är alltså 0.

III. Få spader ess när ett kort dras ur en kortlek

Det är egentligen uppenbart att den lägre av de återstående sannolikheterna hör ihop med händelsen III. Men låt oss beräkna sannolikheten ändå. I en kortlek finns 52 kort och 1 av dessa är spader ess. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten är alltså cirka 0,02 att dra spader ess.

IV. En slantsingling ger krona eller klave

Vid en slantsingling finns det två utfall: krona eller klave. Sannolikheten att någon av händelserna inträffar måste därför vara 1.

Vi måste börja med att fråga oss om resultatet vid ett tärningskast påverkas av vad tärningen har visat tidigare. Vi kan inse att resultatet inte gör det eftersom det finns 6 möjliga utfall vid varje kast och sannolikheten för att få var och ett av dessa är lika stor varje gång. Sannolikheten för att få en 1:a beräknar vi med sannolikhetsformeln, där antalet gynnsamma utfall är 1 st. och totala antalet utfall är 6 st.

Vi sätter in våra värden i sannolikhetsformeln och förenklar.

Sannolikheten att få en 1:a vid ett tärningskast, oavsett resultat från tidigare kast, är alltså ca 17 %.

Vi vet att sannolikheten för att det blir minst 25^(∘)C eller mer är 38 % = 0,38. Vi använder att summan av sannolikheterna för A och A^c är 1.

Sannolikheten för komplementhändelsen är 62 %.

Att inte få en trea är komplementhändelse till att få en trea. Summan av dessa sannolikheter är därför 1. Vi sätter in sannolikheten för att få en trea i formeln för komplementhändelse.

Sannolikheten att inte få en trea är 0,7.

Sannolikheten för en händelse beräknas med sannolikhetsformeln. Är tärningen sexsidig finns det 6 olika utfall och händelsen minst 2 innebär fem gynnsamma utfall.

Vi sätter in värdena i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten är ca 83 % att slå minst 2.

Alla jämna tal är delbara med 2. På en tärning finns 3 jämna tal så det finns 3 gynnsamma utfall.

Vi sätter in värdena i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten är 50 % att slå ett tal delbart med 2.

Sannolikheten beräknas med sannolikhetsformeln. Vi har 4 svarta, 3 lila och 5 gula kulor, dvs. totalt 4+3+5=12 kulor. Då vi har fyra svarta kulor är antalet gynnsamma utfall 4. Vi sätter in värdena i formeln.

Sannolikheten att ta upp en svart kula är ca 33 %.

Nu utgör både svarta och gula kulor gynnsamma utfall, dvs. totalt 4+5=9 kulor.

Sannolikheten att ta upp en svart eller gul kula är 75 %.

Utfallsrummet när man kastar en tärning är: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Något av dessa utfall måste inträffa och om vi inte får 4, 5 eller 6 måste vi få 1, 2 eller 3 prickar. Om vi kallar händelsen att få 4, 5 eller 6 vid ett tärningskast för A blir komplementhändelsen A^c = 1, 2 eller 3 prickar

Minst poängtalet 2 inkluderar utfallen 2, 3, 4, 5 och 6. Denna händelse är B. Utöver dessa kan man slå poängtalet 1 så komplementhändelsen till B blir B^c= 1 prick.

Summeras sannolikheterna för rött, gult och grönt blir det 1. Det finns ju inga andra möjliga utfall så sannolikheten att någon av dem inträffar måste vara 100 %.

Sannolikheten att trafikljuset visar grönt är 37 %.

Komplementhändelsen till att vinna mer än tusen kr är det som händer om man inte vinner mer än 1 000 kr. Det är alltså att man vinner högst 1 000 kr eller att man drar en nitlott. Om vi kallar händelsen att vinna mer än 1 000 kr för A kan komplementhändelsen skrivas A^c=som mest 1 000 kr eller nitlott. Vi vet att sannolikheten för mer än tusen kr i vinst är 0,002. Summan av sannolikheterna för A och A^c är 1. Vi använder det för att bestämma P(A^c).

Sannolikheten för komplementhändelsen är 99,8 %.

Antingen hamnar häftstiftet med spetsen ner eller upp. Det betyder att summan av dessa sannolikheter måste vara 1 vilket ger oss ekvationen P(ner)+P(upp)=1. Nu kan vi bestämma sannolikheten för att det landar med spetsen nedåt. Vi skriver om 75 % som 0,75.

Antalet gånger stiftet hamnar ner är 920 och enligt tidigare beräkningar förväntar vi oss att sannolikheten för detta ska vara 0,25. Vi kallar det totala antal kast för x vilket ger oss en ekvation.

Stiftet har uppskattningsvis kastats 3 680 gånger vilket innebär att det hamnade med spetsen upp 3 680-920=2 760 gånger.

Det finns totalt 10 kulor i högen och av dessa är 4 blå. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln och förenklar.

Sannolikheten att ta en blå kula är 40 %.

Om sannolikheten att ta en blå kula ska vara 60 % måste de gröna kulorna utgöra 40 % av det totala antalet. De gröna kulornas antal (6) förändras inte. Vi sätter in andelen för de blå kulorna och deras antal i formeln för sannolikhet för att beräkna det totala antalet kulor.

Vi har alltså totalt 15 kulor. Om 6 av dessa är gröna måste 15-6=9 av dem vara blå. Vi måste alltså lägga till 5 blå kulor till högen.

Från början har vi 10 kulor, 6 gröna och 4 blå. Antalet blå kulor vi lägger till kallar vi x. Det totala antalet kulor blir nu 10+x och antalet blå blir 4+x. Sannolikheten för att plocka en blå kula blir därför P(blå)=4+x/10+x. Detta ska vara lika med 60 % dvs. 0,6. Det ger oss en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Eftersom x var antalet blå kulor behöver man lägga till 5 stycken.

När vi slår ihop kortlekarna ökar antalet ess men det gör ju även antalet kort. Efter sammanslagningen finns det 4* 3&=12 ess utav 52* 3&=156 kort. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten att dra ett ess är oförändrad. Därmed har Henrik fel.

Vi beräknar sannolikhet med sannolikhetsformeln. Hjulet kan stanna på 16 olika fält och av dessa har du valt 3. Det betyder att vi ska beräkna sannolikheten för att hjulet stannar på något av de andra 13 fälten. Det är detta som är de gynnsamma utfallen.

Sannolikheten att hjulet stannar på något av de fälten du inte har valt är alltså ca 81 %.

Om man inte vinner 10 kr så drar man antingen en nitlott eller vinner 20 kr. Därför blir komplementhändelsen: A^c=NIT eller VINST 20KR.

Av eleverna fick 53+98=151 antingen A eller B. Sannolikheten att en slumpvis vald elev fick någon av dessa betyg beräknar vi genom att dividera detta med antalet elever som skrev provet. dvs. 53+98+135+210+369+82=947 st. Nu kan vi beräkna sannolikheten.

Sannolikheten är alltså cirka 16 %.

Vi summerar statistiken för killar och tjejer.

Andelen killar som har AB-körkort anges genom att dela antalet killar med AB-körkort med det totala antalet killar på skolan.

Sannolikheten att en kille har AB-körkort är ca 9 %.

Vi summerar statistiken för killar och tjejer.

Vi upprepar nu proceduren i deluppgift A, men för tjejerna.

Sannolikheten att en tjej har AB-körkort är ca 1 %.

Nej, man kan inte addera sannolikheter på det sättet. För att ange sannolikheten att en slumpvis vald elev har AB-körkort måste måste vi dela det totala antalet elever med AB-körkort med det totala antalet elever, dvs. 41+5=46 med 451+419=870. Vi sätter in de nya värdena i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten att en elev har AB-körkort är ungefär 5 %, och alltså inte 10 %.