3. Pythagoras sats
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Pythagoras sats
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 26 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Pythagoras sats
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Rätvinklig triangel
- Hypotenusan
- Katet
- Pythagoras sats
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Rätvinklig triangel
En rätvinklig triangel är en triangel som har en rät vinkel. Sidan mitt emot den räta vinkeln är alltid den längsta sidan, och kallas för hypotenusa. De andra sidorna kallas vanligtvis kateter. Observera att i en rätvinklig triangel så är kateterna alltid vinkelräta mot varandra.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Att skapa en kvadrat av rätvinkliga trianglar
Följande applet innehåller fyra identiska rätvinkliga trianglar. Trianglarna kan flyttas och roteras. Utan att överlappa, försök arrangera trianglarna i ett mönster som ser ut som en kvadrat inom en kvadrat.
Extra
Hur man använder appleten- För att flytta en triangel, klicka antingen på det röda hörnet, det blå hörnet, eller inuti triangeln och dra.
- För att rotera en triangel, klicka på det gula hörnet och dra. Triangeln kommer att rotera runt det blå hörnet.
- Tryck på kontrollknappen för att verifiera om arrangemanget är korrekt.
- Tryck på tipsknappen för att få hjälp.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Pythagoras sats
För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.
Extra
Lite om PythagorasDenna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på 500-talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.
Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!
Dela
Rapportera fel
Översätt
Teori
Använda Pythagoras sats för att hitta en okänd sida
Hur lång är sidan x i triangeln?
a 
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["13"]}}
b 
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["24"]}}
Ledtråd
a Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida.
b Den längsta sidan i en rätvinklig triangel är dess hypotenusa.
Lösning
a Eftersom triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats:
a^2 + b^2 = c^2.
Sidan c är triangelns hypotenusa, dvs. den längsta
sidan. I det här fallet är den sidan x, medan kateterna är 5 och 12 le. Vi sätter in värdena i ekvationen och löser ut x.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
5^2 + 12^2 = x^2
CalcPow
Beräkna potens
25 + 144 = x^2
AddTerms
Addera termerna
169 = x^2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
x^2 = 169
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x = ± sqrt(169)
CalcRoot
Beräkna rot
x = ± 13
x > 0
x = 13
Ekvationen har två lösningar, men x är en sidlängd
och måste ha ett positivt värde. Den negativa lösningen, x=-10, är inte intressant, och då vet vi att x=10 le.
b Här är hypotenusan 25 le. Det är alltid den sida som står mittemot den räta vinkeln. Om c=25 le. måste a och b vara x och 7 le, men vilken som är vilken av de två spelar ingen roll.
a^2+b^2=c^2
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
x^2 + 7^2 = 25^2
CalcPow
Beräkna potens
x^2 + 49 = 625
SubEqn
VL-49=HL-49
x^2 = 576
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
x = ± sqrt(576)
CalcRoot
Beräkna rot
x = ± 24
x > 0
x = 24
Återigen får ekvationen två lösningar, men en sidlängd kan inte vara negativ. Därför måste x vara 12 le.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Hitta den saknade längden
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Omvända Pythagoras sats
Givet en triangel, om kvadraten på den längsta sidan är lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna, då är triangeln en rätvinklig triangel.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Använda den omvända Pythagoras satsen för att kontrollera om en vägg är lodrät
En 2,8m lång stege lutas mot en vägg. Foten av stegen står 1,2m från väggen och den når 2,5m upp på väggen.
Marken som stegen står på är vågrät och jämn. Är väggen lodrät?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
Om väggen är rak utgör stegen hypotenusan i en rätvinklig triangel.
Lösning
När stegen står lutad mot väggen bildas en triangel mellan stegen, marken och väggen. Om väggen står rakt är triangeln rätvinkig. I så fall utgörs triangelns hypotenusa av stegen, vars längd är 2,8 meter, och de två kateterna marken (1,2m) och väggen (2,5m).
Om triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats. Vi undersöker det genom att sätta in triangelns sidlängder i sambandet.
a^2+b^2=c^2
SubstituteValues
Sätt in värden
1,2^2 + 2,5^2 \stackrel ? = 2,8^2
CalcPow
Beräkna potens
1,44 + 6,25 \stackrel ? = 7,84
AddTerms
Addera termerna
7,68 ≠ 7,84
Höger- och vänsterledet är inte lika. Det innebär att Pythagoras sats inte är uppfylld och därför är triangeln inte rätvinklig. Väggen står därför inte rakt, utan lutar lite grann.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Är det en rätvinklig triangel?
Använd den omvända Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är en rätvinklig triangel. Avrunda beräkningarna till en decimalsiffra.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Pythagoras sats
Uppgifter
Hitta längden på hypotenusan av triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"c=","formTextAfter":"cm","answer":{"text":["17"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den saknade sidlängden i triangeln kommer vi att använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 I formeln är a och b kateterna och c är hypotenusan i en rätvinklig triangel. Vi har fått en triangel med a=8cm och b=15cm.
Låt oss sätta in dessa värden i formeln.
Eftersom en negativ sidlängd inte är vettig, behöver vi bara beakta positiva lösningar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta längden på hypotenusan av triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"c=","formTextAfter":"dm","answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den saknade sidlängden i triangeln kommer vi att använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 I formeln är a och b kateterna och c är hypotenusan i en rätvinklig triangel. Vi har fått en triangel med b=3/10dm och a=2/5dm.
Låt oss sätta in dessa värden i formeln.
Eftersom en negativ sidlängd inte är meningsfullt behöver vi bara beakta positiva lösningar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta den saknade längden av triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"b=","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["30"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den saknade sidlängden i triangeln kommer vi att använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 I formeln är a och b kateterna och c är hypotenusan i en rätvinklig triangel. Vi har fått en triangel med a=16 meter och c=34 meter.
Låt oss sätta in dessa värden i formeln.
Eftersom en negativ sidlängd inte är meningsfullt, behöver vi bara beakta positiva lösningar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta den saknade längden av triangeln.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"a=","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den saknade sidlängden i triangeln kommer vi att använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 I formeln är a och b kateterna och c är hypotenusan i en rätvinklig triangel. Vi har fått en triangel med b=9,6 meter och c=10,4 meter.
Låt oss sätta in dessa värden i formeln.
Eftersom en negativ sidlängd inte är vettig, behöver vi bara beakta positiva lösningar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta avståndet mellan punkterna. (3,6) och(7,9)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"enheter","answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att plotta de givna punkterna i koordinatsystemet.
Vi kan använda Pythagoras sats för att hitta avståndet mellan punkterna! För att göra det måste vi först rita en rätvinklig triangel vars hypotenusa är segmentet som förbinder punkterna.
Vi känner till triangelns vertikala och horisontella mått. Vi använder dessa mått som kateter i Pythagoras sats. a^2+ b^2=c^2 ⇒ 3^2+ 4^2=c^2 Slutligen kan vi lösa för hypotenusan c. Detta är avståndet mellan punkterna.
Eftersom avstånd alltid är icke-negativa kan vi dra slutsatsen att punkterna ligger ungefär 5 enheter ifrån varandra.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta avståndet mellan punkterna. (- 3,- 4) och(2,8)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"enheter","answer":{"text":["13"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att plotta de givna punkterna i koordinatsystemet.
Vi kan använda Pythagoras sats för att hitta avståndet mellan punkterna! För att göra det måste vi först rita en rätvinklig triangel vars hypotenusa är segmentet som förbinder punkterna.
Vi känner till triangelns vertikala och horisontella mått. Vi använder dessa mått som kateter i Pythagoras sats. a^2+ b^2=c^2 ⇒ 12^2+ 5^2=c^2 Slutligen kan vi lösa för hypotenusan c. Detta är avståndet mellan punkterna.
Eftersom avstånd alltid är icke-negativa kan vi dra slutsatsen att punkterna ligger ungefär 13 enheter ifrån varandra.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":"meter","answer":{"text":["3,2"]}}
security
report
code
security
report
code
För att hitta den saknade sidlängden i triangeln kommer vi att använda Pythagoras sats. a^2+b^2=c^2 I formeln är a och b kateterna och c är hypotenusan i en rätvinklig triangel. Vi har fått en triangel med a=2,4m, c=4m, och b=x.
Låt oss sätta in dessa värden i formeln.
Eftersom en negativ sidlängd inte är logisk behöver vi bara beakta positiva lösningar.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Hitta avståndet mellan (- 5,2) och (7,- 7).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"enheter","answer":{"text":["15"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss börja med att plotta de givna punkterna i koordinatsystemet.
Vi kan använda Pythagoras sats för att hitta avståndet mellan punkterna! För att göra det måste vi först rita en rätvinklig triangel vars hypotenusa är segmentet som förbinder punkterna.
Vi känner till triangelns vertikala och horisontella mått. Vi använder dessa mått som kateter i Pythagoras sats. a^2+ b^2=c^2 ⇒ 9^2+ 12^2=c^2 Slutligen kan vi lösa för hypotenusan c. Detta är avståndet mellan punkterna.
Eftersom avstånd alltid är icke-negativa kan vi dra slutsatsen att punkterna ligger ungefär 15 enheter ifrån varandra.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll