body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2c

Kurs 2c Visa detaljer

Innehållsförteckning

( Ma 2a , Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 5

5.

Pythagoras sats

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	9 sidor teori
	0 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Pythagoras sats

Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Rätvinklig triangel
Hypotenusan
Katet
Pythagoras sats

Förkunskaper

Rät vinkel
Triangel
Ekvation
Kvadratrot

Koncept

Rätvinklig triangel

En rätvinklig triangel är en triangel som har en rät vinkel. Sidan mitt emot den räta vinkeln är alltid den längsta sidan, och kallas för hypotenusa. De andra sidorna kallas vanligtvis kateter. Observera att i en rätvinklig triangel så är kateterna alltid vinkelräta mot varandra.

Rätvinklig triangel vs. icke-rätvinklig triangel

Om en av de spetsiga vinklarna i triangeln är markerad så kan kateterna beskrivas i förhållande till den markerade vinkeln. Ta vinkeln

\land θ

i bilden som exempel. Kateten som är med och bildar vinkeln kallas för den närliggande sidan, och sidan som inte rör vinkeln kallas för den motstående sidan.

Sidorna på en rätvinklig triangel markerade

Notera att den motstående sidan och den närliggande sidan byter plats med varandra när

\land θ

ändras, men hypotenusan är alltid densamma.

Utforska

Att skapa en kvadrat av rätvinkliga trianglar

Följande applet innehåller fyra identiska rätvinkliga trianglar. Trianglarna kan flyttas och roteras. Utan att överlappa, försök arrangera trianglarna i ett mönster som ser ut som en kvadrat inom en kvadrat.

Fyra identiska flyttbara rätvinkliga trianglar.

Extra

Hur man använder appleten

För att flytta en triangel, klicka antingen på det röda hörnet, det blå hörnet, eller inuti triangeln och dra.
För att rotera en triangel, klicka på det gula hörnet och dra. Triangeln kommer att rotera runt det blå hörnet.
Tryck på kontrollknappen för att verifiera om arrangemanget är korrekt.
Tryck på tipsknappen för att få hjälp.

Regel

Pythagoras sats

För rätvinkliga trianglar är hypotenusan i kvadrat lika med summan av kvadraterna på kateterna.

Rätvinklig triangel

Extra

Lite om Pythagoras

Denna sats är uppkallad efter den grekiska filosofen och matematikern Pythagoras, som levde på $500 -$ talet f.Kr. Pythagoras anses vara en av de första matematikerna som använde irrationella tal i sina beräkningar. Dessutom studerade han perfekta kroppar, perfekta tal och polygontal, bland andra ämnen. Här är definitionen av perfekta tal tillsammans med några exempel.

Pythagoras tillskrivs också andra upptäckter och bidrag till astronomi och filosofi. Med allt detta, fundera över detta roliga faktum: Det finns inga böcker eller anteckningar skrivna av Pythagoras själv!

Teori

Använda Pythagoras sats för att hitta en okänd sida

Hur lång är sidan $x$ i triangeln?

a

b

Ledtråd

a Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida.

b Den längsta sidan i en rätvinklig triangel är dess hypotenusa.

Lösning

a Eftersom triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats:

a^{2} + b^{2} = c^{2} .

Sidan

c

är triangelns hypotenusa, dvs. den längsta sidan. I det här fallet är den sidan

x,

medan kateterna är

5

och

12

le. Vi sätter in värdena i ekvationen och löser ut

x .

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

5^{2} + 1 2^{2} = x^{2}

Beräkna potens

25 + 144 = x^{2}

Addera termer

169 = x^{2}

Omarrangera ekvation

x^{2} = 169

$VL = HL$

x = \pm 169

Beräkna rot

x = \pm 13

$x > 0$

x = 13

Ekvationen har två lösningar, men

x

är en sidlängd och måste ha ett positivt värde. Den negativa lösningen,

x = - 10,

är inte intressant, och då vet vi att

x = 10

le.

b Här är hypotenusan

25

le. Det är alltid den sida som står mittemot den räta vinkeln. Om

c = 25

le. måste

a

och

b

vara

x

och

7

le, men vilken som är vilken av de två spelar ingen roll.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

x^{2} + 7^{2} = 2 5^{2}

Beräkna potens

x^{2} + 49 = 625

$VL - 49 = HL - 49$

x^{2} = 576

$VL = HL$

x = \pm 576

Beräkna rot

x = \pm 24

$x > 0$

x = 24

Återigen får ekvationen två lösningar, men en sidlängd kan inte vara negativ. Därför måste

x

vara

12

le.

Övning

Hitta den saknade längden

Bestäm den saknade sidlängden för den givna rätvinkliga triangeln. Om det behövs, avrunda svaret till två decimaler.

Slumpmässiga rätvinkliga trianglar

Regel

Omvända Pythagoras sats

Givet en triangel, om kvadraten på den längsta sidan är lika med summan av kvadraterna på de två andra sidorna, då är triangeln en rätvinklig triangel.

Triangel med sidorna a, b och c.

Exempel

Använda den omvända Pythagoras satsen för att kontrollera om en vägg är lodrät

En $2, 8 m$ lång stege lutas mot en vägg. Foten av stegen står $1, 2 m$ från väggen och den når $2, 5 m$ upp på väggen.

Stege mot husvägg

Marken som stegen står på är vågrät och jämn. Är väggen lodrät?

Ledtråd

Om väggen är rak utgör stegen hypotenusan i en rätvinklig triangel.

Lösning

När stegen står lutad mot väggen bildas en triangel mellan stegen, marken och väggen. Om väggen står rakt är triangeln rätvinkig. I så fall utgörs triangelns hypotenusa av stegen, vars längd är $2, 8$ meter, och de två kateterna marken $(1, 2 m)$ och väggen $(2, 5 m) .$

Om triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats. Vi undersöker det genom att sätta in triangelns sidlängder i sambandet.

a^{2} + b^{2} = c^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

1, 2^{2} + 2, 5^{2} = ? 2, 8^{2}

Beräkna potens

1, 44 + 6, 25 = ? 7, 84

Addera termer

7, 68 \neq = 7, 84

Höger- och vänsterledet är inte lika. Det innebär att Pythagoras sats inte är uppfylld och därför är triangeln inte rätvinklig. Väggen står därför inte rakt, utan lutar lite grann.

Övning

Är det en rätvinklig triangel?

Använd den omvända Pythagoras sats för att avgöra om den givna triangeln är en rätvinklig triangel. Avrunda beräkningarna till en decimalsiffra.

Slumpmässiga trianglar

Pythagoras sats

Pythagoras sats

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.