Prioriteringsregler och avrundning: Lär dig svara med rätt antal värdesiffror

Uttryck	Förenklat	Operation
$(1 + 2) \cdot 3^{2} - \frac{5 + 5}{2}$	$3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}$	Utvärdering av parenteser och grupperingssymboler
$3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}$	$3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}$	Potenser
$3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}$	$27 - 5$	Multiplikation och division
$27 - 5$	$22$	Subtraktion

Uttryck

Förenklat

Operation

(1 + 2) \cdot 3^{2} - \frac{5 + 5}{2}

3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}

Utvärdering av parenteser och grupperingssymboler

3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}

3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}

Potenser

3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}

27 - 5

Multiplikation och division

27 - 5

22

Subtraktion

Antal	Avrundning	Resultat
$76$	Till närmaste tio	$80$
$214$	Till närmaste hundratal	$200$
$5, 2941$	Till närmaste tusendelar	$5, 294$
$27, 982$	Till närmaste heltal	$28$

Antal

Avrundning

Resultat

76

Till närmaste tio

80

214

Till närmaste hundratal

200

5, 2941

Till närmaste tusendelar

5, 294

27, 982

Till närmaste heltal

28

Då man ska använda prioriteringsreglerna men har variabler i uttrycken kan man behöva olika samband. En av dessa är den sk. distributiva lagen.

Visa med areaberäkningar i figuren att distributiva lagen gäller:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c .

Visa med ett eget exempel att denna lag gäller.

Detta blir ett geometriskt bevis. Poängen är att vi vill skriva ett uttryck för hela arean och sedan ett uttryck för summan av de två färgade områdena för sig. Eftersom dessa uttryck beskriver samma area kan vi sätta likhet mellan dem.

Hela rektangeln i ett uttryck

Den stora rektangeln består av sidorna a och b+c och arean av dem beskrivs av produkten av dessa.

Rektangelns area kan alltså skrivas som a* (b+c).

Som summa av de färgade fälten

Nu uttrycker vi arean för de två färgade bitarna för sig och summerar sedan dessa. Vi kan börja med den blå biten som har längden a och bredden b och alltså har arean a * b.

På liknande sätt kan vi uttrycka arean av den gröna biten som a * c.

De två färgade bitarna får då tillsammans den totala arean a* b+a* c.

Slutsats

Nu har vi två uttryck som beskriver samma area. De måste därför vara lika dvs. a* (b+c) = a* b+a* c

Vi ersätter variablerna med tal. Vi kan exempelvis välja a=2, b=3 och c=4. Nu delar vi upp regeln i vänsterled och högerled: VL&=a* (b+c)och HL&=a* b+a* c. Sedan sätter vi in våra värden och beräknar leden var för sig.

Nu gör vi samma sak för högerledet.

Båda led är alltså 14 så lagen stämmer alltså för vårt exempel. Observera att detta inte är ett bevis, utan vi vet nu bara att lagen gäller för fallet då a=2, b=3 och c=4.

Förenkla uttrycket

2 \cdot a + a - a / a, a \neq = 0

genom att använda prioriteringsreglerna.

Vi förenklar uttrycket genom att utföra räkneoperationerna i ordningen potens, multiplikation och division, och slutligen addition och subtraktion. Då vi ska beräkna kvoten .a /a. måste vi förstå att vad som helst dividerat på sig självt blir ett.

Med de vanliga prioriteringsreglerna får vi alltså 3a-1.

Aina är ansvarig för säkerheten på ett nytt kryssningsfartyg och ska beräkna hur många livbåtar fartyget behöver. Hon vet att en livbåt rymmer

120

personer, men att det är ett avrundat värde, samt att summan av passagerare och besättning är maximalt

2280

personer. Hur många livbåtar bör fartyget ha för att det med säkerhet ska finnas plats för samtliga ombord?

Det kluriga är att inse hur man ska hantera att det givna antalet som får plats i en livbåt är avrundat. Hade det inte varit det hade vi direkt kunnat bestämma hur många livbåtar som krävs genom att dividera maximala antalet personer ombord med antalet personer som får plats i en livbåt. Nu måste vi först resonera kring vad det avrundade värdet 120 kan betyda.

Lägsta möjliga maxantal i livbåt

Vi börjar fundera på vilket som är det lägsta tal som kan avrundas till just 120. Vi håller oss till heltal eftersom det enda rimliga är att räkna med hela antal personer. För att ett tal ska kunna avrundas uppåt till 120 måste siffran efter tiotalssiffran vara 5 eller högre. Det innebär att heltalen från och med 119 ned till och med 115 är möjliga. Det lägsta möjliga maximala antalet i livbåtarna måste alltså vara 115 st.

Högsta möjliga maxantal i livbåt

Vi resonerar på liknande sätt för att bestämma högsta möjliga maxantal, men undersöker tal större än 120 istället. För att de ska kunna avrundas nedåt till 120 måste siffran efter tiotalssiffran vara lägre än 5. Det betyder att heltalen från och med 121 upp till och med 124 är möjliga. Det högsta möjliga maximala antal personer i en livbåt bör därför vara 124 st.

Beräkning av antal livbåtar

Nu vet vi att det avrundade antalet 120 personer kan syfta på allt från 115 personer till 124 personer. Vi räknar ut hur många båtar det skulle krävas i båda fallen genom att dividera totala antalet personer ombord med antalet som får plats i en livbåt. 2280/115=19,82608... [1.2em] 2280/124=18,38709... Behovet av båtar kan alltså variera mellan nästan 20 fulla båtar och lite drygt 18 båtar. För att vara helt säkra på att samtliga ombord får plats i fartygets livbåtar måste vi dock räkna med att en båt bara rymmer 115 personer. Aina bör därför ta beslutet att placera 20 livbåtar på fartyget.

Prioriteringsregler och avrundning

Förkunskaper