{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Vissa verkliga situationer kan modelleras med mer än en ekvation. När två eller fler ekvationer betraktas samtidigt, bildar de ett ekvationssystem. Det finns olika metoder för att lösa ekvationssystem. Denna lektion kommer att fokusera på metoden som involverar att rita graferna för ekvationerna.
- Ekvationssystem
- Lösa linjära ekvationssystem grafiskt
- Antal Lösningar till ett System av Linjära Ekvationer
Förkunskaper
Teori
Arbeta med flera ekvationer samtidigt
En ekvation kan modellera olika situationer i verkliga livet. I vissa fall behövs dock mer än en ekvation. När två eller fler ekvationer betraktas samtidigt sägs de bilda ett ekvationssystem.
Koncept
Ekvationssystem
Ett ekvationssystem är en uppsättning av två eller fler ekvationer som involverar samma variabler. Lösningarna till ett system är värden för dessa variabler som uppfyller alla ekvationer samtidigt. Ett ekvationssystem skrivs vanligtvis som en vertikal lista med en klammerparentes på vänster sida.
{x+y=5x−y=3
De vanligaste systemen är system av linjära ekvationer, som endast innehåller linjära ekvationer. Grafiskt är lösningarna till ekvationssystem de punkter där graferna för ekvationerna skär varandra. Av denna anledning uttrycks dessa lösningar vanligtvis som koordinater. System kan innehålla många olika typer av ekvationer och kan lösas grafiskt eller algebraiskt.
Extra
Typer av EkvationssystemEkvationssystem kan klassificeras utifrån deras algebraiska egenskaper, särskilt vilka typer av ekvationer som ingår. Följande är några av de vanligaste typerna.
| Typ av System | Beskrivning | Exempel |
|---|---|---|
| Linjärt system | Innehåller endast linjära ekvationer. | {x+2y=82x−3y=1
|
| Linjärt-kvadratiskt system | Inkluderar linjära och kvadratiska ekvationer. | {y=3x+1x2+y2=25
|
| Kvadratiskt system | Består enbart av andragradsekvationer. | {x2+y2=16y=x2−4
|
| Icke-linjärt system | Innehåller minst en icke-linjär ekvation. | {sinx+y=1x2+y2=4
|
Kom ihåg att linjär-kvadratiska system och kvadratiska system också är icke-linjära system.
Övning
Hitta Lösningen till ett Ekvationssystem
Överväg grafen av ett system av ekvationer bestående av två linjer. Hitta lösningen till systemet. Skriv värdena separerade med ett kommatecken.
Teori
Lösa ett system av linjära ekvationer
Ett system av linjära ekvationer kan lösas algebraiskt genom att manipulera ekvationerna med olika aritmetiska operationer. Alternativt kan det lösas grafiskt genom att rita graferna för ekvationerna i samma koordinatsystem. Den senare metoden som använder grafritning kommer nu att förklaras mer i detalj.
Metod
Att lösa ett linjärt ekvationssystem grafiskt
Att lösa ett system av linjära ekvationer grafiskt innebär att rita linjerna som representeras av ekvationerna i systemet och identifiera skärningspunkten, om det finns någon. Betrakta ett exempel på ett ekvationssystem.
Ibland ligger skärningspunkten för linjerna inte över rutnätet i koordinatsystemet. I detta fall är lösningen som hittas genom att grafiskt lösa ekvationssystemet approximativ.
{2y=−2x+8x=y−1
Det föregående systemet kan lösas genom att följa dessa tre steg.
1
Skriv ekvationerna i k-form
expand_more Börja med att skriva ekvationerna i k-form genom att isolera y-variablerna. För den första linjära ekvationen, dela båda sidor med 2. För den andra ekvationen, lägg till 1 på båda sidor.
{2y=−2x+8x=y−1(I)(II)
▼
(I): Lös ut y
DivEqn
(I): VL/2=HL/2
{y=2−2x+8x=y−1
WriteSumFrac
(I): Dela upp bråk
{y=2−2x+28x=y−1
MovePartNumRight
(I): ca⋅b=ca⋅b
{y=2−2x+28x=y−1
MoveNegNumToFrac
(I): Skriv minustecken framför bråk
{y=−22x+28x=y−1
CalcQuot
(I): Beräkna kvot
{y=−1x+4x=y−1
(I): Neutralelementslagen för multiplikation
{y=−x+4x=y−1
▼
(II): Lös ut y
{y=−x+4y=x+1
2
Rita linjerna
expand_more Nu när ekvationerna båda är skrivna i k-form kan de ritas på samma koordinatsystem. Observera att lutningen för den första linjen är −1 medan lutningen för den andra linjen är 1.
3
Identifiera skärningspunkten
expand_more Punkten där linjerna skär varandra är lösningen till systemet.
Linjerna verkar skära varandra vid (1,5;2,5). Därför är detta lösningen till systemet — värdet av x är 1,5 och värdet av y är 2,5.
Exempel
Modellering med ett system av linjära ekvationer
Lucas köpte x munkar och y bubble teas. Varje munk kostade 20 kr och varje bubble tea kostade 60 kr. Totalt köpte Lucas 20 saker och betalade 720 kr.
{x+y=2020x+60y=720
Bestäm hur många munkar och bubble teas Lucas köpte. {"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Munkar <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Bubble teas <span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>:","formTextAfter":null,"answer":{"text":["8"]}}
Ledtråd
Börja med att skriva båda linjära ekvationerna i k-form.
Lösning
Först, skriv om varje ekvation i systemet i k-form. Detta innebär att y-variabeln kommer att isoleras i båda ekvationerna.
Nu kommer lutningen och y-avskärningen för varje linje att användas för att rita graferna på samma koordinatsystem. y-avskärningen för den första ekvationen är 20, så den första punkten är (0,20). Lutningen är −1, så den andra punkten kan ritas 1 steg åt höger och 1 steg nedåt på grafen. Alternativt kan den andra punkten ritas 4 enheter åt höger och 4 enheter nedåt. 
{x+y=2020x+60y=720(I)(II)
▼
(I), (II): Skriv på k-form
SubEqn
(I): VL−x=HL−x
{y=−x+2020x+60y=720
DivEqn
(II): VL/20=HL/20
{y=−x+20x+3y=36
SubEqn
(II): VL−x=HL−x
{y=−x+203y=−x+36
DivEqn
(II): VL/3=HL/3
{y=−x+20y=3−x+36
WriteSumFrac
(II): Dela upp bråk
{y=−x+20y=3−x+336
CalcQuot
(II): Beräkna kvot
{y=−x+20y=3−x+12
MoveNumRight
(II): ba=b1⋅a
{y=−x+20y=3−1x+12
MoveNegNumToFrac
(II): Skriv minustecken framför bråk
{y=−x+20y=−31x+12
Eftersom antalet objekt inte kan vara negativt, beaktas endast den första kvadranten för grafen. y-avskärningen för den andra ekvationen är 12, så den första punkten på den linjen är (0,12). Lutningen är −31. Den andra punkten kan ritas genom att gå 3 steg åt höger och 1 steg nedåt.
Slutligen kan skärningspunkten P identifieras. I den följande grafen har rutnätet modifierats något för att göra grafen mindre tät.
Skärningspunkten för linjerna är P(12,8). I sammanhanget betyder detta att Lucas köpte x=12 munkar och y=8 bubble teas.
Utforska
Linjer i Samma Plan
I följande koordinatsystem visas fyra linjer och deras motsvarande linjära ekvationer. Bestäm vilka linjer som skär varandra i en punkt, vilka linjer som skär varandra i oändligt många punkter, och vilka linjer som inte skär varandra alls.
Teori
Antal Lösningar till ett System av Linjära Ekvationer
När två linjer ritas på samma koordinatsystem, finns det tre möjliga scenarier: linjerna är parallella, de korsar varandra en gång, eller så ligger de på varandra. Eftersom lösningen till ett system är den punkt där linjerna som representerar ekvationerna korsar varandra, kan ett system av två linjära ekvationer ha noll, en eller oändligt många lösningar.
Ingen Lösning
Om linjerna är parallella, korsar de inte varandra. Detta innebär att ekvationssystemet inte har någon lösning.
I det här fallet har linjerna samma lutning och olika y-intercept. Här är ett exempel på ett sådant system.
En lösning
Om linjerna korsar varandra exakt en gång, har ekvationssystemet en lösning. Skärningspunkten är systemets lösning.
{y=−x+5y=3x−2
Oändligt antal Lösningar
Om linjerna skär varandra i oändligt många punkter — linjerna ligger ovanpå varandra — har systemet av ekvationer oändligt många lösningar.
{y=3x+12y=6x+2
I det sista fallet, efter förenkling, blir båda ekvationerna desamma. Följande tabell sammanfattar de tre tidigare scenarierna. | Sammanfattning | |||
|---|---|---|---|
| Linjernas egenskaper | Kännetecken | Exempelsystem | Antal lösningar |
| Parallella | Samma lutning Olika y-intercept |
{y=5x−6y=5x+1 | 0 |
| Korsar en gång | Olika lutningar | {y=x+2y=3x+1 | 1 |
| Sammanfaller | Samma lutning Samma y-intercept |
{y=4x+22y=8x+4 | Oändligt många |
Exempel
Lösa ett system
Lös följande ekvationssystem.
{6t+2q=2415t=60−5q
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.61508em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">t<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">q<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":""},{"id":1,"text":""}],"noSolution":false,"infiniteSolution":true}}
Ledtråd
Först, skriv om ekvationerna till k-form. Rita sedan graferna för ekvationerna och hitta skärningspunkten för linjerna.
Lösning
Systemet kan lösas grafiskt. För att göra det bör båda ekvationerna först skrivas om i k-form. Därefter isoleras en variabel på vänster sida. Till exempel, lös båda ekvationerna för q.
Observera att båda ekvationerna förenklades till samma ekvation. Denna ekvation kan ritas genom att använda dess lutning och dess y-avskärning. Lutningen är −3 och y-avskärningen är 12. 
{6t+2q=2415t=60−5q(I)(II)
▼
(I): Skriv på k-form
SubEqn
(I): VL−6t=HL−6t
{2q=−6t+2415t=60−5q
DivEqn
(I): VL/2=HL/2
{q=2−6t+22415t=60−5q
MovePartNumRight
(I): ca⋅b=ca⋅b
{q=2−6t+22415t=60−5q
CalcQuot
(I): Beräkna kvot
{q=−3t+1215t=60−5q
▼
(II): Skriv på k-form
SubEqn
(II): VL−60=HL−60
{q=−3t+1215t−60=−5q
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
{q=−3t+12−5q=15t−60
DivEqn
(II): VL/(−5)=HL/(−5)
{q=−3t+12q=−515t−−560
MovePartNumRight
(II): ca⋅b=ca⋅b
{q=−3t+12q=−515t−−560
CalcQuot
(II): Beräkna kvot
{q=−3t+12q=−3t−(−12)
SubNeg
(II): a−(−b)=a+b
{q=−3t+12q=−3t+12
Linjerna överlappar varandra. De skär varandra i oändligt många punkter, vilket innebär att systemet av ekvationer har oändligt många lösningar.
Exempel
Lösa ett linjärt system
Lös det följande systemet grafiskt.
{5a+2m=284m=68−10a
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">m<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":""},{"id":1,"text":""}],"noSolution":true,"infiniteSolution":false}}
Ledtråd
Börja med att skriva om ekvationerna till k-form. Därefter, rita båda ekvationerna i samma koordinatsystem genom att använda deras lutningar och y-skärningar.
Lösning
Först behöver båda ekvationerna skrivas om till k-form. En variabel måste isoleras på ena sidan av varje ekvation. Till exempel, lös ekvationerna för m.
Observera att ekvationerna har samma lutning på −2,5 men olika y-skärningar. Detta betyder att linjerna är parallella. Rita dem genom att använda deras lutningar och y-skärningar.
Kom ihåg att lösningen till ekvationssystemet är skärningspunkten mellan linjerna. Men eftersom linjerna är parallella, skär de aldrig varandra. Därför har ekvationssystemet ingen lösning.
{5a+2m=284m=68−10a
{m=−2,5a+14m=−2,5a+17
Övning
Bestämning av Antalet Lösningar till ett Ekvationssystem
Bestäm antalet lösningar för det givna ekvationssystemet.
Avslut
Lösa ett system av linjära ekvationer - Grafisk metod
Givet ett system av två linjära ekvationer, kan dess lösning hittas genom att rita linjerna som representerar ekvationerna i samma koordinatsystem och kontrollera om linjerna skär varandra — och i så fall, vid hur många punkter. Det finns tre möjliga scenarier.
Vanligtvis är det första steget i att lösa ett system grafiskt att skriva om ekvationerna i k-form eftersom det är lättare att rita en linje när dess ekvation är skriven i lutnings-intercept form. Tänk på att ibland ger den grafiska metoden endast en uppskattad lösning till ett system, inte dess exakta lösning.
Laddar innehåll