1. Koordinatsystem
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Koordinatsystem
Denna lektion handlar om koordinatsystem, en central del av matematiken som används för att beskriva positioner. Koordinater, som är tal som representerar positioner, ligger längs en koordinataxel. När flera koordinataxlar kombineras bildas ett koordinatsystem. Detta kan användas för att beskriva positioner inom matematik och andra områden. Positionen beskrivs av punktens koordinater, ofta x och y, och skrivs på formen (x, y). Detta koordinatsystem kallas det kartesiska koordinatsystemet och punkten där axlarna skär varandra kallas origo.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Koordinatsystem
Sida av 6
Teori
Koordinat
I ett koordinatsystem kan punkter markeras med hjälp av koordinater. Koordinater är talpar skrivna i formen (x,y). Det första talet representerar positionen längs x-axeln, och det andra talet representerar positionen längs y-axeln.
En kommatecken eller semikolon används vanligtvis för att separera värdena inom parentes. Om koordinaterna innehåller decimaler, används semikolon för att separera värdena, till exempel (3,6;2,8).
Teori
Koordinatsystem
Ett koordinatsystem är ett rutnät som bildas genom att en vertikal tallinje skär en horisontell tallinje vid deras nollpunkter. Punkten där linjerna skär varandra är origo. Den horisontella tallinjen kallas vanligtvis x-axeln och den vertikala tallinjen kallas vanligtvis y-axeln.
Exempel
Läs av koordinaterna
Bestäm punkternas koordinater.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2","text2":"3"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-4","text2":"0"}}
Ledtråd
Rita en horisontell linje från punkten till y-axeln och en vertikal linje från punkten till x-axeln.
Lösning
Vi börjar med punkt A. x-koordinaten läser vi av på den horisontella axeln och y-koordinaten på den vertikala. Man skriver x-koordinaten först, och sedan y, precis som i alfabetet. Punkt A har alltså koordinaterna (2,3).
AB=(2,3)=(−4,0)
Exempel
Bestäm avståndet mellan två punkter
Markera punkterna (−3,1) och (7,1) i ett koordinatsystem och bestäm avståndet mellan dem.
Räknar vi rutorna ser vi att avståndet är 10 le. Vi får samma svar genom att subtrahera den minsta x-koordinaten från den största:
Svar
Graf:
Avstånd mellan punkterna: 10
Ledtråd
Flytta horisontellt från origo antalet enheter som anges av x-koordinaten och vertikalt antalet enheter som anges av y-koordinaten för att plotta varje ordnat par i ett koordinatsystem.
Lösning
Koordinater skrivs på formen (x,y), så punkten (−3,1) har x-koordinaten −3 och y-koordinaten 1. Vi placerar ut punkten.
Nu gör vi på samma sätt med (7,1) som har x-koordinaten 7 och y-koordinaten 1.
Nu ska avståndet bestämmas. Eftersom de har samma y-koordinat kan vi direkt bestämma avståndet genom att antingen räkna rutorna, eftersom varje ruta är 1 längdenhet, eller genom att beräkna skillnaden mellan punkternas x-koordinater.
7−(−3)=7+3=10 le.
Övning
Slumpmässiga punkter i ett koordinatsystem
Identifiera koordinaterna för den givna punkten genom att skriva koordinaterna i formen (x,y), där x representerar x-koordinaten och y representerar y-koordinaten. Alternativt, dra den givna punkten till önskad position.
Koordinatsystem
Övningar
I koordinatsystemet nedan är punkterna A,B,C och D markerade.
(−5,−7),(−9,4),(0,0),(5,8)
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"},{"id":3,"text":"D"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">8<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">9<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">7<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Vi bestämmer x- och y-koordinaterna för samtliga punkter genom att göra avläsningar på x- och y-axlarna. Vi börjar med A.
Punkten A har alltså koordinaterna A=(5,8). Vi läser av koordinaterna för punkt B och C på samma sätt.
Punkten D ligger direkt på båda axlarna och har därför är både x- och y-koordinaten 0. De fyra punkterna har alltså koordinaterna
A&=(5,8)
B&=(-9,4)
C&=(-5,-7)
D&=(0,0).
security
report
code
Beräkna avståndet mellan origo och följande punkt.
(0,7)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["7"]}}
(−4,0)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkterna (0, 0) och (0, 7) har samma x-koordinat, dvs. 0. Vi markerar längden mellan dem.
Avståndet mellan punkterna kan vi därför beräkna som skillnaden mellan punkternas y-koordinater: 7 - 0 = 7le.
Punkterna (0, 0) och (- 4, 0) har samma y-koordinat 0.
Vi beräknar avståndet mellan punkterna som skillnaden mellan deras x-koordinater: 0 - (- 4) = 0 + 4 = 4le.
security
report
code
Rita av koordinatsystemet och markera alla punkter där följande gäller.
x=3
y=−4
x=0
y=0
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att markera x=3 på x-axeln, dvs. punkten (3,0). Om vi rör oss lodrätt upp eller ner i koordinatsystemet kommer x-värdet fortfarande vara 3, t.ex. som i punkterna (3,5), (3,3.75), (3,-2.5) och (3,-4.5). Vi visar dessa i ett koordinatsystem.
Vi kan illustrera samtliga punkter med x-värdet 3 med en lodrät linje genom punkten (0,3).
I punkten (0,-4) befinner vi oss på y-värdet - 4. Men y är också -4 längs alla punkter som ligger rakt höger om och vänster om (0,-4), exempelvis (5,- 4). Vi kopplar ihop dessa med en vågrät linje.
Här kan vi resonera på samma sätt som tidigare. x är noll i origo, men x är fortfarande noll även om vi rör oss lodrät upp eller ner i koordinatsystemet. x=0 kan alltså illustreras med en lodrät linje som löper på y-axeln.
Motsvarande resonemang gäller för y=0.
Vi inser att längs x-axeln är y-värdet alltid 0. Av denna anledning kan vi läsa av en funktions nollställen, dvs. där en funktion antar värdet y=0, genom att undersöka var funktionens graf skär x-axeln.
security
report
code
Rita punkterna i ett koordinatsystem och bestäm avståndet mellan dem (i längdenheter le.).
(9,7) och (4,7)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["5"]}}
(−4,1) och (−4,5)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["4"]}}
(−4,0) och (2,0)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.
Vi ser nu att avståndet sträcker sig över 5 rutor, dvs. är 5 le. Eftersom linjen är vågrät kan vi även beräkna avståndet mellan punkterna som skillnaden mellan deras x-koordinater: 9 - 4 = 5le.
Punkterna har samma x-koordinat, -4. Vi markerar dem i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.
Eftersom linjen är lodrät kan vi beräkna avståndet mellan punkterna som skillnaden mellan punkternas y-koordinater: 5 - 1 = 4le.
Punkterna har samma y-koordinat, 0. Vi markerar dem i på samma sätt som tidigare i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.
Linjen är vågrät så vi kan räkna att den sträcker sig över 6 rutor, vilket betyder att avståndet mellan punkterna är 6 le. Vi kan också utföra beräkningen 2 - (-4) = 2 + 4 = 6le.
security
report
code
Beräkna omkretsen av en fyrhörning med hörn i punkterna (3,2),(−1,2),(−1,−3) och (3,−3).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["18"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att markera punkterna i ett koordinatsystem.
Vi får en rektangel.
Vi kan räkna hur lång varje sida är genom att räkna rutor. Kortsidan är 4 le. och långsidan är 5 le. Det ger omkretsen O = 4 + 4 + 5 + 5 = 18le.
security
report
code
Betrakta koordinatsystemet nedan.
(−5,4)(3,−2)(−4,−5)(2,5)
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"},{"id":3,"text":"D"}],[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">5<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":3,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mpunct\">,<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.16666666666666666em;\"><\/span><span class=\"mord\">\u2212<\/span><span class=\"mord\">2<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med punkt A. x-koordinaten läser vi av rakt neråt på x-axeln och y-koordinaten läser vi av på y-axeln till vänster.
Detta betyder att A:(2,5). Vi gör sedan på samma sätt för de andra punkterna.
De övriga punkternas koordinater är B:(-5,4), C:(-4,-5) D:(3,-2).
security
report
code
Vilka koordinater har punkten P?
Nationella provet VT10 MaA
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.13889em;\">P<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-3","text2":"4"}}
security
report
code
security
report
code
Om vi tittar på koordinatsystemet ser vi att mellan origo och - 5 är det fyra indelningar. Varje horisontellt streck representerar alltså 1 steg i koordinatsystemet. Eftersom punkten P ligger tre steg vänster om origo måste x=- 3.
Vi ser även att y-axeln är indelad på samma sätt som x-axeln. Mellan 0 och 5 är det fyra horisontella streck så varje streck måste representera 1 steg i koordinatsystemet.
Punkten har koordinaterna (- 3,4).
security
report
code
Koordinatsystem
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll