1. Koordinatsystem
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Koordinatsystem
Denna lektion handlar om koordinatsystem, en central del av matematiken som används för att beskriva positioner. Koordinater, som är tal som representerar positioner, ligger längs en koordinataxel. När flera koordinataxlar kombineras bildas ett koordinatsystem. Detta kan användas för att beskriva positioner inom matematik och andra områden. Positionen beskrivs av punktens koordinater, ofta x och y, och skrivs på formen (x, y). Detta koordinatsystem kallas det kartesiska koordinatsystemet och punkten där axlarna skär varandra kallas origo.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Koordinatsystem
Sida av 6
Teori
Koordinat
I ett koordinatsystem kan punkter markeras med hjälp av koordinater. Koordinater är talpar skrivna i formen (x,y). Det första talet representerar positionen längs x-axeln, och det andra talet representerar positionen längs y-axeln.
En kommatecken eller semikolon används vanligtvis för att separera värdena inom parentes. Om koordinaterna innehåller decimaler, används semikolon för att separera värdena, till exempel (3,6;2,8).
Teori
Koordinatsystem
Ett koordinatsystem är ett rutnät som bildas genom att en vertikal tallinje skär en horisontell tallinje vid deras nollpunkter. Punkten där linjerna skär varandra är origo. Den horisontella tallinjen kallas vanligtvis x-axeln och den vertikala tallinjen kallas vanligtvis y-axeln.
Exempel
Läs av koordinaterna
Bestäm punkternas koordinater.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">A<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2","text2":"3"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.05017em;\">B<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-4","text2":"0"}}
Ledtråd
Rita en horisontell linje från punkten till y-axeln och en vertikal linje från punkten till x-axeln.
Lösning
Vi börjar med punkt A. x-koordinaten läser vi av på den horisontella axeln och y-koordinaten på den vertikala. Man skriver x-koordinaten först, och sedan y, precis som i alfabetet. Punkt A har alltså koordinaterna (2,3).
AB=(2,3)=(−4,0)
Exempel
Bestäm avståndet mellan två punkter
Markera punkterna (−3,1) och (7,1) i ett koordinatsystem och bestäm avståndet mellan dem.
Räknar vi rutorna ser vi att avståndet är 10 le. Vi får samma svar genom att subtrahera den minsta x-koordinaten från den största:
Svar
Graf:
Avstånd mellan punkterna: 10
Ledtråd
Flytta horisontellt från origo antalet enheter som anges av x-koordinaten och vertikalt antalet enheter som anges av y-koordinaten för att plotta varje ordnat par i ett koordinatsystem.
Lösning
Koordinater skrivs på formen (x,y), så punkten (−3,1) har x-koordinaten −3 och y-koordinaten 1. Vi placerar ut punkten.
Nu gör vi på samma sätt med (7,1) som har x-koordinaten 7 och y-koordinaten 1.
Nu ska avståndet bestämmas. Eftersom de har samma y-koordinat kan vi direkt bestämma avståndet genom att antingen räkna rutorna, eftersom varje ruta är 1 längdenhet, eller genom att beräkna skillnaden mellan punkternas x-koordinater.
7−(−3)=7+3=10 le.
Övning
Slumpmässiga punkter i ett koordinatsystem
Identifiera koordinaterna för den givna punkten genom att skriva koordinaterna i formen (x,y), där x representerar x-koordinaten och y representerar y-koordinaten. Alternativt, dra den givna punkten till önskad position.
Koordinatsystem
Övningar
De tre punkterna A, B och C har koordinaterna (a,0),(4,b) och (c,2).
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"a"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"b"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4","-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"c"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Origo och punkten (a, 0) ligger på samma y-koordinat så avståndet mäts vågrätt. 5 längdenheter åt höger innebär att vi hamnar i punkten (5,0). Men vi kan även mäta upp sträckan åt vänster, dvs. mellan origo och punkten (- 5,0). Att ena punkten ligger på negativa delen av x-axeln spelar alltså ingen roll för avståndet.
a kan vara - 5 eller 5.
Punkterna har samma x-koordinat så avståndet mäts nu lodrätt. Går vi 3 le. uppåt från punkten (4,1) hamnar vi i (4,4). Men sträckan kan även mätas nedanför punkten, dvs. i (4,- 2).
b kan allså vara - 2 eller 4.
Punkterna ligger på olika y- och x-koordinater så sträckan mellan punkterna kommer luta. Vi vet även att c är positivt vilket innebär att punkten (2c, 6) ligger längre högerut än (c,2). Linjen kommer därför luta snett uppåt som i figuren nedan.
Vi låter sträckan mellan punkterna utgöra hypotenusa i en rätvinklig triangel. Den vågräta katetens längd är skillnaden mellan punkternas x-koordinater, dvs. 2c-c=c och den lodräta kateten är skillnaden mellan punkternas y-koordinater, dvs. 6-2=4.
Genom att sätta in triangelns kateter och hypotenusa i Pythagoras sats kan vi lösa ut c.
c ska alltså vara 3.
security
report
code
Vad är avståndet mellan punkterna P=(2,3) och Q=(6,7)? Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["\\sqrt{32}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi markerar punkterna i ett koordinatsystem och drar en linje mellan dem.
Vi drar nu en lodrät linje genom P och en vågrät linje genom Q och får då en rätvinklig triangel där sträckan PQ utgör hypotenusa.
Vi får en rätvinklig triangel där båda kateterna är 4 le. och vi ska bestämma hypotenusan c. Denna kan vi lösa ut med Pythagoras sats. Kom ihåg att c > 0 eftersom c är en sträcka.
Avståndet mellan P och Q är sqrt(32) eller ca 5,7 le.
security
report
code
I nedanstående koordinatsystem syns en rektangel som har delats in i två mindre rektanglar med sträckan EF.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3.2"]}}
security
report
code
security
report
code
Punkten E ligger på sträckan mellan punkt A och D, vilket innebär att dess y-koordinat måste vara 3. På samma sätt måste punkten F ha y-koordinaten 6. För att få x-koordinaterna måste vi använda sambandet mellan rektanglarnas areor. Vi sätter den mindre rektangelns bas till a, vilket innebär att den större rektangeln får basen 6-a, eftersom längden på ABCD är 6. Höjden på båda kan vi läsa av som 3.
Arean för en rektangel beräknas som basen multiplicerad med höjden. Sätter vi in rektanglarnas sidor i formeln får vi följande uttryck för deras areor: A_1 = 3 * a och A_2 = 3 * (6-a). Den stora arean ska vara fyra gånger så stor som den lilla, vilket ger sambandet 4 * A_1 = A_2. Sätter vi in uttrycken för A_1 och A_2 i detta får vi en ekvation som vi kan lösa ut längden a ur.
a är alltså 1,2. Det innebär att x-koordinaten för punkterna E och F måste vara 3,2, eftersom avståndet från y-axeln till dem är 2 + a. Punkten E har alltså koordinaterna (3,2; 3) och F har koordinaterna (3,2; 6).
security
report
code
Koordinatsystem
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll