body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Att mäta höjden på en hög byggnad eller bredden på en flod kan vara utmanande, men trianglar erbjuder en effektiv lösning. Genom att tillämpa principerna för likformiga figurer kan dessa mätningar fastställas. Den här lektionen undersöker hur triangellikhet och modellering kan användas för att lösa problem, med fokus på följande koncept.

Likformiga och kongruenta trianglar
Topptriangelsatsen

Förkunskaper

Congruent Figures
Triangle Angle Sum Theorem
Corresponding Parts of Similar Figures

Teori

Likformiga och kongruenta trianglar

Likformighet avser figurer som har samma form men kan skilja sig i storlek. För att två figurer ska vara likformiga, som ett par trianglar, måste motsvarande vinklar vara lika och förhållandet mellan motsvarande sidlängder måste också vara lika.

Ett par likformiga trianglar. De motsvarande vinklarna är lika och förhållandet mellan motsvarande sidor är också lika.

När två trianglar är likformiga är den ena i princip en skalad version av den andra. Den kan antingen förstoras eller förminskas. Om de motsvarande delarna och vinklarna är identiska i storlek, sägs trianglarna vara kongruenta.

Ett par kongruenta trianglar. De motsvarande vinklarna är lika och de motsvarande sidorna är också lika.

Exempel

Undersöka om två trianglar är kongruenta

En modellbåt har ett segel som skapas av två trianglar.

Båtmodellen

Dessa trianglar verkar likformiga, men är de kongruenta?

Vad är summan av båda trianglarnas omkrets?

Ledtråd

Använd mätverktyget för att hitta sidlängderna och vinkelmåtten för varje triangel. Jämför dem sedan. Är alla motsvarande delar kongruenta? Om trianglarna är kongruenta har de lika omkrets.

Lösning

Börja med att hitta och märka ut sidlängderna och vinkelmåtten för varje triangel.

Båda trianglarna har samma sidlängder och vinkelmått. Detta betyder att alla deras motsvarande sidor och vinklar är kongruenta. Följaktligen är trianglarna kongruenta.

De två trianglarna i seglet är kongruenta.

Eftersom trianglarna är kongruenta har de samma omkrets. Genom att beräkna omkretsen för en triangel och dubblera den får man den totala omkretsen för båda trianglarna. Kom ihåg att omkretsen är summan av alla sidlängder i en figur.

Omkrets av en triangel 1, 1 + 1, 7 + 2 = 4, 8 centimeter

Eftersom

2 \cdot 4, 8

är

9, 6,

är den sammanlagda omkretsen av båda trianglarna

9, 6

centimeter.

Exempel

Den triangulära fasaden

William upptäcker två triangulära sektioner på sitt hus fasad. Med hjälp av en skalmodell mäter han båda trianglarna.

Husets fasad har två trianglar formade inom den.

Vilket påstående beskriver bäst förhållandet mellan dessa trianglar?

Ledtråd

Bestäm förhållandena mellan motsvarande sidor och jämför dem.

Lösning

Börja med att identifiera motsvarande sidor mellan de två trianglarna på fasaden.

Beräkna sedan förhållandet mellan varje sida i den lilla triangeln och motsvarande sida i den större triangeln.

\frac{2 , 2}{1 2 , 1} \approx 0, 18 \frac{1 , 8}{9 , 9} \approx 0, 18 \frac{2}{1 1} \approx 0, 18

Förhållandena är alla lika, vilket innebär att trianglarna är likformiga. Eftersom motsvarande sidor dock inte är lika långa, är trianglarna inte kongruenta.

Teori

Proportionella segment i trianglar

När en linje löper parallellt med en sida av en triangel och korsar de andra två sidorna, delar den dem i matchande proportioner. Detta samband kallas Triangelns proportionalitetssats.

Regel

Topptriangelsatsen

Om en linje är parallell med en sida av en triangel och skär de andra två sidorna, är den resulterande mindre triangeln likformig med den ursprungliga triangeln.

Triangel ABC med linjesegmentet DE ritat parallellt med AB.

Detta innebär att förhållandena mellan motsvarande sidor är lika.

$\frac{D E}{A B} = \frac{C D}{A C} = \frac{C E}{B C}$

Bevis

Eftersom parallelltransversalen $D E$ är parallell med sidan $A B$ bildas två likbelägna vinklar vid $A$ och $D$ som är lika stora.

Utöver detta finns vinkeln vid hörn $C$ både i topptriangeln och den stora triangeln.

Om två vinklar stämmer överens mellan två trianglar måste även den tredje göra det, vilket innebär att kravet för likformighet är uppfyllt. Detta betyder att topptriangeln $D E C$ och den stora triangeln $A B C$ är likformiga.

Q.E.D.

Exempel

Parallella gator

Kungsgatan och Drottninggatan löper parallellt med varandra. Avståndet mellan Williams hus och Drottninggatan längs Birger Jarlsgatan är $1110$ fot.

Gatukarta som visar en triangel bildad av korsande gator: Birger Jarlsgatan, Kungsgatan och Strandvägen. Williams hus ligger i korsningen mellan Birger Jarlsgatan och Strandvägen. Drottninggatan löper parallellt med Kungsgatan. Längs Birger Jarlsgatan är avståndet från Williams hus till Drottninggatan 1110 fot, och från Drottninggatan till Kungsgatan är det 1665 fot. Avståndet längs Strandvägen från Williams hus till Kungsgatan är 4440 fot.

Vad är avståndet mellan Williams hus och Drottninggatan längs Strandvägen?

Ledtråd

Förhållandet mellan längderna på motsvarande sidor i likformiga trianglar är alltid detsamma.

Lösning

Eftersom Drottninggatan och Kungsgatan är parallella bildar de likformiga trianglar. En triangel bildas av Williams hus och korsningarna mellan Kungsgatan och Birger Jarlsgatan och Strandvägen. Den andra triangeln bildas av Williams hus och korsningarna mellan Drottninggatan och samma gator.

Låt

x

vara avståndet från Drottninggatan till Williams hus längs Strandvägen. Eftersom trianglarna är likformiga bildar deras motsvarande sidor lika förhållanden. Denna information gör det möjligt att skriva följande ekvation.

\frac{1 1 1 0}{1 6 6 5 + 1 1 1 0} = \frac{x}{4 4 4 0}

Lös denna ekvation för att hitta

x .

\frac{1 1 1 0}{1 6 6 5 + 1 1 1 0} = \frac{x}{4 4 4 0}

Addera termerna

\frac{1 1 1 0}{2 7 7 5} = \frac{x}{4 4 4 0}

$VL \cdot 4440 = HL \cdot 4440$

\frac{1 1 1 0}{2 7 7 5} \cdot 4440 = x

Omarrangera ekvation

x = \frac{1 1 1 0}{2 7 7 5} \cdot 4440

MoveRightFacToNum

$\frac{a}{c} \cdot b = \frac{a \cdot b}{c}$

x = \frac{4 9 2 8 4 0 0}{2 7 7 5}

Beräkna kvot

x = 1776

Detta innebär att avståndet från Williams hus till Drottninggatan längs Strandvägen är

1776

fot.

Exempel

Trädets skugga

William står

66

meter bort från ett träd i dess skugga. Han är

6, 5

fot lång, och hans skugga mäter

13

fot och når ända till spetsen av trädets skugga.

En pojke placerad på trädets skugga som bildar två likformiga rätvinkliga trianglar.

Vad är trädets höjd?

Ledtråd

Förhållandet mellan längderna på motsvarande sidor i likformiga trianglar är alltid detsamma.

Lösning

Börja med att märka ut hörnen för var och en av trianglarna i diagrammet.

William står parallellt med trädet, så trianglarna

A B D

och

A C E

är likformiga. Observera att

\overline{A D}

motsvarar

\overline{A E},

och

\overline{B D}

motsvarar

\overline{C E} .

Eftersom trianglarna

A B D

och

A C E

är likformiga kommer förhållandet mellan deras motsvarande sidor att vara detsamma.

\frac{A D}{A E} = \frac{B D}{C E}

Observera att

A E

är lika med summan av

A D

och

D E .

\frac{A D}{A D + D E} = \frac{B D}{C E}

I detta fall är

A D,

B D,

A D

och

D E

kända. Sätt in dessa värden i proportionen och lös för

C E

för att hitta trädets höjd.

\frac{A D}{A D + D E} = \frac{B D}{C E}

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{1 3}{1 3 + 6 6} = \frac{6 , 5}{C E}

Addera termerna

\frac{1 3}{7 9} = \frac{6 , 5}{C E}

$VL \cdot C E = HL \cdot C E$

\frac{1 3}{7 9} \cdot C E = 6, 5

$VL \cdot 79 = HL \cdot 79$

13 \cdot C E = 513, 5

$VL / 13 = HL / 13$

C E = 39, 5

Trädets höjd är

39, 5

fot.

Övning

Övningar i topptriangelsatsen

Bestäm den saknade längden genom att använda topptriangelsatsen. Avrunda svaret till närmaste tiondel.

En applet som visar en triangel med en linje parallell med basen, där uppgiften är att hitta den saknade längden.

Avslut

Att koppla samman likformighet och kongruens

Den här lektionen fokuserade på egenskaperna hos likformiga trianglar, vilka anger att motsvarande vinklar är lika och att motsvarande sidor är proportionella. Dessa egenskaper leder till triangelns topptriangelsatsen, som säger att en linje parallell med en sida av en triangel delar de andra två sidorna proportionellt.

Triangel ABC med segment DE ritat parallellt med AB

Denna princip gör det möjligt att beräkna avstånd som verkar svåra att mäta direkt, som ett träds höjd eller den diagonala vägen mellan två punkter över parallella gator, genom att använda proportioner från mindre, likformiga trianglar.

{{ grade.displayTitle }}

Laddar innehåll